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第1章-解三角形-必修5-人教A版-数学


高中数学
人教A版·必修5

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第一章


解三角形

1.1 1.2

正弦定理和余弦定理 应用举例

本章总结提升

第一章

解三角形

1.1

正弦定理和余弦定理

1.1.1 正弦定理

1. 1.1 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 (1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦 定理的内容及其证明方法; (2)会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两 类基本问题.

1. 1.1 │ 三维目标
2.过程与方法 (1)让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角 形中,边与其对角的关系; (2)引导学生通过观察、推导、比较,由特殊到一般归纳 出正弦定理; (3)进行定理基本应用的实践操作.

1. 1.1 │ 三维目标
3.情感、态度与价值观 (1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算 能力; (2)培养学生探索数学规律的思维能力,通过三角函数、 正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普 遍联系与辩证统一.

1. 1.1 │ 重点难点 重点难点
[重点] 通过对于三角形的边角关系的探究,证明正弦定理并用它 解决有关问题. [难点] 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.

1. 1.1 │ 教学建议 教学建议
1.本节课宜采用“发现学习”的模式,即由“结合实例 提出问题——观察特例提出猜想——数学实验深入探究——证 明猜想得出定理——运用定理解决问题”五个环节组成的“发 现学习”模式,在教学中贯彻“启发性”原则,通过提问不断 启发学生,引导学生自主探索与思考; 2.贯彻“以学定教”原则,即根据教学中的实际情况及 时地调整教学方案.

1. 1.1 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 如图,固定△ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转 动.∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?

[解析] 边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增 大.

1. 1.1 │ 新课导入

[导入二] 在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角 三角函数,可以由已知的边和角求出未知的边和角.那么斜 三角形有一样的性质吗?

[解析] 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的 a b c 正弦比相等,即 = = =2R(R 为△ABC 外接圆半 sinA sinB sinC 径).

1. 1.1 │ 新课感知 新课感知
如图 1-1-1,固定△ABC 的边 CB 及角 B,使边 AC 绕着顶点 C 转动.C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有 怎样的数量关系?

解:边AB的长度随着其对角C的增大而增大.

1. 1.1 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 正弦定理 相等 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比________, a b c = = 即__________________. sinA sinB sinC 正弦定理的变形公式有: a b c b a c (1) = , = , = ; sinA sinB sinC sinB sinA sinC bsinA? csinA? csinB? asinB? ? ? ? ? a= b= (2)a= ,b= , sinC ? sinA ? sinB ? sinC ? ? ? ? ? asinC? bsinC? ? ? c= c= ; sinB ? sinA ? ? ?

1. 1.1 │ 自学探究

a b c (3) = = =2R, sinA sinB sinC 即 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.(R 为△ABC 外接圆 半径) ? 知识点二 解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b, c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求 其他元素 ____________________的过程叫做解三角形.

1. 1.1 │ 自学探究
? 知识点三 已知两边及其中一边的对角解三角形 从理论上讲正弦定理可解决两类问题: 1.已知两角和任意一边,求其他两边和一角; 2.已知两边(a,b)和其中一边的对角(A),求另一边的对 角及其他的边和角. 解决第二类问题,求B时可能有两解、一解或无解的情况, 具体解的情况如下: (1)当A为锐角时: ①a<bsinA?无解;②a=bsinA?一解(直角); _____________________________________________________ ____________________________________________________. ③bsinA<a<b?二解(一锐,一钝);④a≥b?一解(锐角)

1. 1.1 │ 自学探究
(2)当A为直角或钝角时: ____________________________________________________. ①a≤b?无解;②a>b?一解(锐角)

1. 1.1 │ 自学探究
? 知识点四 利用正弦定理判断三角形的形状时的常用结论 利用正弦定理判断三角形的形状,关键是将已知条件中的 边、角关系转化为角或边的关系.判断三角形的形状特征,不 仅要深入研究边与边的大小关系:是否两边相等?是否三边相 等?还要研究角与角的大小关系:是否两角相等?是否三角相 等?有无直角?有无钝角?此类问题常用正弦定理(或将要学 习的余弦定理)进行代换、转化、化简、运算,揭示出边与边 或角与角的关系,或求出角的大小,从而作出正确的判断.常 用结论有: (1)正弦定理及其变形公式; (2)三角形内角和公式; (3)同角基本关系式及三角恒等变换公式.

1. 1.1 │ 典例类析 典例类析
? 题组一 已知两角及一边解三角形 【例题演练】

例 1 已知在△ABC 中,A=30° ,C=105° ,a=10,则 b 与 c 的值分别为( ) A.10 2,5 2+5 6 B.10 3,5 3+5 2 C.20,5 6+4 2 D.12 3,4 6+5 2

1. 1.1 │ 典例类析
[答案] A

[解析] 因为 A=30° ,C=105° ,所以 B=45° . a b c 因为 = = , sinA sinB sinC asinB 10sin45° asinC 10sin105° 所以 b= = =10 2, c= = = sinA sin30° sinA sin30° 5 2+5 6.因此 b,c 的长分别为 10 2和 5 2+5 6.
[点评] 利用正弦定理解三角形时,一定要注意角与边的 对应关系.

1. 1.1 │ 典例类析
例2 已知在△ABC中,c=20 cm,A=45°,C=65°,解 三角形(边长精确到1 cm). [分析] 首先由三角形的内角和定理求出第三个角B,然后 利用正弦定理求出另外两条边.

1. 1.1 │ 典例类析

解:∵A=45° ,C=65° , ∴B=180° -(A+C)=70° . csinA 20×sin45° a c 由 = ,得 a= = ≈16(cm). sinA sinC sinC sin65° csinB 20×sin70° b c 由 = ,得 b= = ≈21(cm). sinB sinC sinC sin65°

[点评] 解三角形即在一个三角形内研究边、角关系, 因此在解三角形时要学会灵活运用三角形的边、角关系 及相应的平面几何性质.

1. 1.1 │ 典例类析

【变式巩固】 已知△ABC中,三个内角的正弦之比为4∶5∶6,又三 角形的周长为7.5,则其三边长分别为________________. [答案] 2,2.5,3

a b c [解析] 在△ABC 中,由 = = =2R 得,a=2RsinA,b sinA sinB sinC =2RsinB,c=2RsinC,由 sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,得 a∶b∶c= 4∶5∶6.设 a=4x,b=5x,c=6x(x>0), 由 4x+5x+6x=7.5,得 x=0.5,所以三边长分别为 2,2.5,3.

1. 1.1 │ 典例类析

?

题组二

已知两边及一边的对角解三角形 【例题演练】

例 1 已知△ABC 中,a= 2,b=2,A=30° ,则 C 与 c 的 值分别为( ) A.105° 3+1 , B.15° 3-1 , C.15° 3-1 或 105° 3+1 , , D.105° 3-1 ,

1. 1.1 │ 典例类析
[答案] C

[解析] 由题目已知条件,先用正弦定理求出另一边对角 的正弦,然后求解其他边、角. bsinA a b 由 = 得 sinB= , sinA sinB a 2sin30° 2 ∴sinB= = , 2 2 ∵a<b,∴B>A=30° , ∴B=45° B=135° 或 .

1. 1.1 │ 典例类析
当 B=45° 时,C=180° -(A+B)=105° , asinC 2sin105° ∴c= = = 3+1. sinA sin30° 当 B=135° 时,C=180° -(A+B)=15° , asinC 2sin15° ∴c= = = 3-1. sinA sin30° ∴B=45° ,C=105° ,c= 3+1,或 B=135° ,C=15° , c= 3-1.
[点评] (1)已知两边及一边对角时,解三角形可用正 弦定理,关键是准确判断解的情况,可能出现一解、两解或 无解的情况. (2)在同一个三角形中,注意运用大边对大角或大角对 大边的性质.

1. 1.1 │ 典例类析

例 2 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断 三角形是否有解,有解的作出解答. (1)a=7,b=8,A=105° ; (2)a=10,b=20,A=80° ; (3)b=10,c=5 6,C=60° ; (4)a=2 3,b=6,A=30° .

1. 1.1 │ 典例类析
[分析] 由题目可获取以下主要信息:已知三角形中的两边 及其一边的对角,求其他边和角.解答本题可先利用正弦定理 求另一边对角的正弦值,或利用三角形中大边对大角定理考虑 解的情况,可由正弦定理求其他边和角.

1. 1.1 │ 典例类析
解:(1)∵a=7,b=8, ∴a<b,又∵A=105° >90° ,∴本题无解. (2)a=10,b=20,a<b,A=80° <90° , ∵bsinA=20sin80° >20sin60° =10 3, ∴a<bsinA,∴本题无解. (3)b=10,c=5 6,b<c,C=60° <90° , 本题有一解. bsinC 10sin60° 2 ∵sinB= = = , c 2 5 6 ∴B=45° ,A=180° -(B+C)=75° , 6+ 2 10× 4 bsinA 10sin75° ∴a= = = =5( 3+1). sinB sin45° 2 2

1. 1.1 │ 典例类析
(4)a=2 3,b=6,a<b,A=30° <90° , ∴bsinA=6sin30° =3,a>bsinA, ∴本题有两解. bsinA 6sin30° 3 由正弦定理得 sinB= = = , a 2 2 3 ∴B=60° 120° 或 . 当 B=60° 时,C=90° , asinC 2 3sin90° c= = =4 3; sinA sin30° 当 B=120° 时,C=30° , asinC 2 3sin30° c= = =2 3. sinA sin30° ∴B=60° ,C=90° ,c=4 3或 B=120° ,C=30° ,c=2 3.

1. 1.1 │ 典例类析

[点评] 已知两边及一边的对角解三角形时,要注意三角 形解的个数.

1. 1.1 │ 典例类析

?

题组三

利用正弦定理判断三角形的形状 【例题演练】

例 1 在△ABC 中,已知 a2tanB=b2tanA,则△ABC 的形状 为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
[答案] D

1. 1.1 │ 典例类析
[解析] 判定三角形的形状, 实质上就是寻找三角形边角之 间的关系,观察本题中的条件的特点,可以应用正弦定理化边 a2sinB b2sinA 为角.由已知得 = , cos B cos A 由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB(R 为△ABC 的外接圆 半径),得 4R2sin2AsinB 4R2sin2BsinA = , cos B cos A 化简,得 sinAcos A=sinBcos B,∴sin2A=sin2B. 即 sin2A-sin2B=0. π ∴2A+2B=π 或 2A=2B.∴A+B= 或 A-B=0. 2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

1. 1.1 │ 典例类析
[点评] 已知三角形中的边角关系式判断三角形的形状, 可考虑使用正弦定理,把关系式中的边化为角,再进行三角恒 等变换,求出三个角之间的关系式,然后给予判定.在正弦定 理的推广中,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC是边化角的 主要工具.

1. 1.1 │ 典例类析

a b c 例 2 在△ABC 中,已知 = = ,判断△ABC cosA cosB cosC 的形状.

1. 1.1 │ 典例类析

a 解:令 =k,由正弦定理,得 a=ksinA,b=ksinB,c sinA =ksinC. sinA sinB sinC 代入已知条件,得 = = , cosA cosB cosC 即 tanA=tanB=tanC. 又 A,B,C∈(0,π),所以 A=B=C,从而△ABC 为正 三角形.
[点评] 利用正弦定理判断三角形的形状,关键是将已知 条件中的边角关系转化为角或边的关系.

1.1.2 余弦定理

1. 1.2 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方 法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 2.过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践 演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

1. 1.2 │ 三维目标
3.情感、态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来 理解事物之间的普遍联系与辩证统一.

1. 1.2 │ 重点难点 重点难点
[重点] 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. [难点] 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.

1. 1.2 │ 教学建议 教学建议
1.对于余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方 法,需要对三角形进行讨论,方法不够简洁,通过向量知识给 予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证 明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法,发挥了 向量方法在解决问题中的威力; 2.余弦定理是勾股定理的推广,教学时要启发引导学生 注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特 点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的;

1. 1.2 │ 教学建议
3.启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产 生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、 正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系; 4.可将教材中的部分例习题的角改为特殊角,考试基本 都是特殊角或可转化为特殊角的问题.

1. 1.2 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 我们学习了正弦定理,解决了有关三角形的两类问题: 已知两角和任意一边;②已知两边和其中一边的对角.三角形 中还有怎样的问题没有解决?如图,已知两边a,b及夹角∠C =90°,能否求第三边?

[解析] 已知两边和夹角,求第三边,用勾股定理c2=a2+b2.

1. 1.2 │ 新课导入

[导入二] 情景导入 在△ABC 中,当∠C=90° 时,有 c2=a2+b2. 若 a,b 边的长短不变,∠C 的大小变化,c2 与 a2+b2 有怎样的大小关系呢?

1. 1.2 │ 新课导入

[解析] 如图,若∠C<90° 时,由于 b 边与 a 边的长度不变, 所以 c 边的长度变短,即 c2<a2+b2. 如图,若∠C>90° 时,由于 b 边与 a 边的长度不变,所以 c 边的长度变长,即 c2>a2+b2. 当∠C≠90° 时,c2≠a2+b2,那么 c2 与 a2+b2 到底相差多 少呢?与怎样的角有关呢?显然应与∠C 的大小有关.

第1课时 余弦定理 (一)

第1课时 │ 新课感知 新课感知
在一个三角形中,已知三角形的两边及一角,能否解此 三角形?
解:已知三角形的两边及一边的对角,可借助于正弦定 理解三角形;若知道三角形中的两边及夹角,可借助余弦定 理来解决.

第1课时 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 余弦定理 任意三角形中的任何一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. a2=b2+c2-2bccosA 即________________________________; b2=c2+a2-2cacosB __________________________________; c2=a2+b2-2abcosC __________________________________.

第1课时 │ 自学探究

余弦定理的推论: b2+c2-a2 cosA=__________________, 2bc
a2+c2-b2 cosB=__________________, 2ac a2+b2-c2 cosC=__________________. 2ab

第1课时 │ 自学探究
[思考] 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关 系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如 何看这两个定理之间的关系? 解:若△ABC中,C=90°,则cosC=0,这时c2=a2+b2, 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的 特例.

第1课时 │ 自学探究
? 知识点二 余弦定理的应用 利用余弦定理主要解答如下三种求解三角形的问题: (1)已知三角形的两边和它们的夹角,求 _________________________________________________; 三角形的第三边和其他两个角 (2)已知三角形的三边,求____________________; 三角形的三个角 (3)已知三角形的两边及其中一边的对角,求 三角形的第三边和其余两个角 ______________________________.

第1课时 │ 典例类析 典例类析
? 题组一 已知三边解三角形 【例题演练】

(

例 1 在△ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,则 sinC 的值为 ) 2 5 3 A. B. 3 14 3 5 3 C. D. 2 12

[答案] B

[解析] ∵a>c>b,∴A 为最大角.由余弦定理得 b2+c2-a2 1 3 cosA= =- ,∴A=120° ,∴sinA= . 2bc 2 2 5 3 5 3 c 由正弦定理得 sinC= sinA= × = . a 7 2 14

第1课时 │ 典例类析

例 2 已知△ABC 中,a∶b∶c=2∶ 6∶( 3+1),求各角 度数.
[分析] 由余弦定理的推论直接求各角,也可由余弦定理 的推论求出一角,然后用正弦定理去求其他角.

第1课时 │ 典例类析

解:解法一:∵a∶b∶c=2∶ 6∶( 3+1), ∴令a=2k,b= 6k,c=( 3+1)k(k>0), b2+c2-a2 6+? 3+1?2-4 由余弦定理的推论得cos A= = 2bc 2× 6×? 3+1? 2 = , 2 ∴A=45° . a2+c2-b2 4+? 3+1?2-6 1 cos B= = = , 2ac 2×2×? 3+1? 2 ∴B=60° , ∴C=180° -A-B=180° -45° -60° =75° .

第1课时 │ 典例类析

解法二:由解法一可知 A=45° , 2 6× 2 bsinA 3 a b 由 = 得 sinB= = = , sinA sinB a 2 2 ∴B=60° 120° 或 ,又 b<c,∴B=60° , ∴C=180° -45° -60° =75° .
[点评] 知道三边解三角形时直接利用余弦定理,要注 意角边关系的利用.

第1课时 │ 典例类析

?

题组二

已知两边和一角求解三角形 【例题演练】

例1 在△ABC中,已知a=2 3,c= 6+ 2,B=45° ,则b 与A的值分别为( ) A.2 5,30° B.2 3,60° C.2 2,60° D.2 2,45°

[答案] C

第1课时 │ 典例类析
[解析] ∵b2=a2+c2-2accosB =(2 3)2+( 6+ 2)2-2· 3· 6+ 2)cos45° 2 ( =12+( 6+ 2)2-4 3( 3+1) =8,∴b=2 2. b2+c2-a2 ?2 2?2+? 6+ 2?2-?2 3?2 法一:∵cosA= = = 2bc 2×2 2×? 6+ 2? 1 , 2 ∴A=60° . 2 3 3 a 法二:∵sinA= sinB= · sin45° = , b 2 2 2 又∵ 6+ 2>2.4+1.4=3.8,2 3<2×1.8=3.6, ∴a<c,即 0° <A<90° ,∴A=60° .

第1课时 │ 典例类析

例 2 在△ABC 中,已知角 A,B,C 所对的三边长分别为 π a,b,c,若 a=8,b=4+4 3,C= ,求其他的边和角. 3

[分析] 由余弦定理求出第三边长,再由正弦定理求出另外 两个角.

第1课时 │ 典例类析

解:由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC=82+??4+4 3??2 π ? ? ?4+4 3 ?×cos =96,所以 c=4 6, -2×8×? ? 3 π 8×sin 3 asinC 2 由正弦定理得 sinA= = = . c 2 4 6 π 5π 又因为 a<c,所以 A= ,故 B= . 4 12
[点评] 知道两边及一角解三角形时要注意正弦定理、余 弦定理的准确选用,同时还要注意三角形解的个数.

?

?

第1课时 │ 典例类析

【变式巩固】 在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=45° ,求 A、C 及 c.
[分析] 解本题有两种方法,方法1是利用余弦定理求出边c, 然后再次利用余弦定理及三角形内角和公式分别求出角C和角A; 方法2是利用正弦定理求出角A和角C,然后求出第三边c.以下 仅给出方法1的过程.

第1课时 │ 典例类析
解:由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得, 6± 2 2 c - 6c+1=0,解得 c= . 2 6+ 2 当 c= 时, 2 ? 6+ 2? ?2 2+? -3 ? b2+c2-a2 1+ 3 2 ? 1 ? ? cosA= = = = ,从而 A= 2bc 6+ 2 2? 3+1? 2 2× 2× 2 60° ,C=75° . 6- 2 当 c= 时,同理可求得 A=120° ,C=15° . 2 6+ 2 6- 2 综上得 c= , A=60° C=75° c= , 或 , A=120° C=15° , . 2 2

第1课时 │ 典例类析
[点评] 本题是利用余弦定理及方程思想解答,此解可回 避分类讨论.因此要优越于利用正弦定理求解.

第2课时 余弦定理 (二)

第2课时 │ 新课感知 新课感知
在斜三角形中边和角有怎样的关系?若 a,b 边的长短 不变,C 的大小变化,c2 与 a2+b2 有怎样的大小关系呢?

第2课时 │ 新课感知

解:如图(1),在 Rt△ABC 中,当 C=90° 时,有 c2=a2+ b2. 如图(2),若 C<90° 时,由于 b 边与 a 边的长度不变,所以 c 边的长度变短,即 c2<a2+b2. 如图(3),若 C>90° 时,由于 b 边与 a 边的长度不变,所以 c 边的长度变长,即 c2>a2+b2. 当 C≠90° 时,c2≠a2+b2,那么 c2 与 a2+b2 到底相差多少 呢?与怎样的角有关呢?显然应与 C 的大小有关.

第2课时 │ 自学探究
自学探究
? 知识点一 余弦定理的变形应用 1. 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三 边. 2 b2+c2-2bccosA a =______________________;

a2+c2-2accosB b =______________________;
2

a2+b2-2abcosC c =______________________.
2

第2课时 │ 自学探究
2.已知三角形的三条边就可以求出三个角.

b2+c2-a2 cosA=____________; 2bc
a2+c2-b2 cosB=____________; 2ac

b2+a2-c2 cosC=____________. 2ab

第2课时 │ 自学探究
[思考] 解三角形时,会常用到哪些结论?

解:在解三角形中常用到的结论有: (1)A+B+C=π; A+B A+B C C (2)sin =cos ,cos =sin ; 2 2 2 2 (3)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC; (4)大角对大边,大边对大角; (5)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

第2课时 │ 自学探究
? 知识点二 判断三角形的形状 学习了正、余弦定理后,判断三角形的形状通常有两种 途径:一是利用正弦定理和余弦定理,化边为角,然后再利 用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时 要充分注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.(如sinA A=B =sinB?______________;sin(A-B)=0?________;sin2A A=B

π A=B 或 A+B= =sin2B?_____________________________等) 2 二是利用正弦定理和余弦定理,化角为边,然后再利用代 数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.

第2课时 │ 自学探究
在判断一个三角形是锐角、直角或者钝角三角形时,常借助 下述结论来解决.在△ABC 中,若 a2 >b2 +c2 ,则 cosA= b2+c2-a2 <0,角 A 为钝角,△ABC 为钝角三角形; 2bc b2+c2-a2 若 a2=b2+c2, cosA= 则 =0, A 为直角, 角 △ABC 2bc 为直角三角形; 若 a2 <b2 +c2 且 b2 <a2 +c2 且 c2 <a2 +b2 ,则 cosA= b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 >0,cosB= >0,cosC= >0,角 A、 2bc 2ca 2ab B、C 均为锐角,则△ABC 为锐角三角形.

第2课时 │ 典例类析 典例类析
? 题组一 余弦定理的变形应用 【例题演练】

例 1 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 已知 a2-c2=2b,且 sinAcosC=3cosAsinC,则 b 为( ) A.4 B.3 C.2 D.5

第2课时 │ 典例类析
[答案] A

[解析] 法一:在△ABC 中,∵sinAcosC=3cosAsinC,则 a2+b2-c2 b2+c2-a2 由正弦定理及余弦定理有:a· =3· · c, 2ab 2bc 化简并整理得:2(a2-c2)=b2. 又由已知 a2-c2=2b,∴4b=b2.解得 b=4 或 b=0(舍).

第2课时 │ 典例类析
法二:由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccosA, 又 a2-c2=2b,b≠0. 所以 b=2ccosA+2,① 又 sinAcosC=3cosAsinC, ∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC, 即 sinB=4cosAsinC. b 由正弦定理得 sinB= sinC,故 b=4ccosA.② c 由①,②解得 b=4.
[点评] 解决此类问题的关键是正、余弦定理的正确选用 及余弦定理公式的变形应用.

第2课时 │ 典例类析

例 2 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 1 2 2 2 且 a +c -b = ac. 2 (1)求 cosB 的值; 2A+C (2)求 sin +cos2B 的值. 2

第2课时 │ 典例类析

a2+c2-b2 1 解:(1)由已知得 cosB= = . 2ac 4 1 1 2A+C 2B 2 (2)sin +cos2B=cos +cos2B=2cos B+ cosB- 2 2 2 2 1 =- . 4

第2课时 │ 典例类析

?

题组二

判断三角形的形状 【例题演练】

例1 在△ABC中,已知sinA=2sinBcosC,则该三角形的形 状为( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

第2课时 │ 典例类析

[答案] D

sinA a [解 析 ] 由正 弦定理 及余 弦定理, 得 = , cosC= sinB b a2+b2-c2 a2+b2-c2 a ,所以 =2· ,整理得 b2=c2, 2ab b 2ab 因为 b>0,c>0,所以 b=c.因此,△ABC 为等腰三角形.

第2课时 │ 典例类析
例2 在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边, 且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求A的大小; (2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.

第2课时 │ 典例类析
解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=- ,A=120° . 2 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC, 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= , 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° , 故 B=C,所以△ABC 是等腰的钝角三角形.
[点评] 判断三角形形状时常用的解题思路有两种:一是 利用余弦定理将角转化为边;另一种是利用正弦定理将边化 为角.

1.2 应用举例

1.2 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 (1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题; (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 有关计算角度的实际问题; (3)掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.

1.2 │ 三维目标
2.过程与方法 (1)结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题; (2)通过将实际问题建立数学模型,使学生充分认识到建立 数学模型的重要性,进行测量,掌握数学术语及数学作图方法, 体会数学的严谨性; (3)本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学 生证明,同时总结出该公式的特点,循序渐进地具体运用于相 关的题型.

1.2 │ 三维目标
3.情感态度与价值观 (1)进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归 纳、类比、概括的能力; (2)培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能 力,并在教学过程中激发学生的探索精神.

1.2 │ 重点难点 重点难点
[重点] 1.分析测量问题的实际情景,从而找到测量距离的方法; 2.能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所 求角的关系; 3.推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目. [难点] 实际问题向数学问题转化思路的确定,即根据题意建立数 学模型,画出示意图.

1.2 │ 教学建议 教学建议
1.解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用,如测量、 航海等都要用到这方面的知识.对于解三角形的实际问题,我 们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角 等)的基础上,正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形 相应的边和角,创造可解的条件,综合运用三角函数知识以及 正弦定理和余弦定理来解决.学习这部分知识有助于增强学生 的数学应用意识和解决实际问题的能力.

1.2 │ 教学建议
2.本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测 量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,例 2是测量两个不可到达的点之间距离的问题.对于例1可以引导 学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角 形的问题,从而可以用正弦定理去解决.对于例2首先把求不 可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的 边长的问题,然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量 可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.

1.2 │ 教学建议

3.关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的 高和面积的问题,教科书直接给出了计算三角形的高的公式 hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA.这 三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到, 教科书 1 证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式 S= 2 1 1 absinC,S= bcsinA,S= acsinB,引导学生灵活选用三角形 2 2 的面积公式.

1.2 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 情境导入 塞乐斯生于公元前624年,是古希腊第一位闻名世界的大 数学家.他原是一位很精明的商人,靠卖橄榄油积累了相当财 富后,塞乐斯便专心从事科学研究和旅行.他游历埃及时,曾 用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度,使古埃及国王阿美西 斯钦羡不已.

1.2 │ 新课导入
[解析] 塞乐斯的方法既巧妙又简单:选一个天气晴朗的 日子,在金字塔边竖立一根小木棍,然后观察木棍阴影的长度 变化,等到阴影长度恰好等于木棍长度时,赶紧测量金字塔影 的长度,因为在这一时刻,金字塔的高度也恰好与塔影长度相 等.

1.2 │ 新课导入
[导入二] 问题导入 在日常生活和工农业生产中,为了达到某种目的,常常想 测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的两个物 体之间的距离,这样的想法能实现吗?如何实现呢? [解析] 有时由于条件所限,需要测量像一个点与河对面一 点或船到礁石这类不可到达点的距离时,一般作法是在河这边 或主航道上发生一段位移,从两个不同地点测出到这个不能到 达点的视角及这段位移的长度,从而通过计算得出答案.从而 将问题转化为一个数学问题:已知一个三角形的两角及夹边, 要求这个三角形的其中一边,显然只要根据正弦定理,就可以 达到目的.

1.2 │ 新课导入
[导入三] 师:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都 可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实 际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的 解三角形的知识来解决,大家身边有什么例子吗? 生:像航海,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方 向,保持一定的航速和航向. 生:飞机在天上飞行时,如何确定地面上的目标. 师:实际生活当中像这样的例子很多,今天我们接着来探 讨这方面的测量问题.

1.2│ 新课感知 新课感知
在日常生活和工农业生产中,为了达到某种目的,常常 想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的 两个物体之间的距离,这样的想法能实现吗?如何实现呢?

1.2│ 新课感知
解:有时由于条件所限,需要测量如一个点与河对面一点 或船到礁石这类不可到达点的距离时,一般作法是在河这边或 主航道上选定一段位移,从两个不同地点测出到这个不能到达 点的视角及这段位移的长度,从而通过计算得出答案.这样将 问题转化为一个数学问题:已知一个三角形的两角及夹边,要 求这个三角形的其中一边,显然只要根据正弦定理,就可以达 到目的.

1.2│ 自学探究 自学探究
? 概念 1.水平距离、垂直距离、坡面距离:如图 1-2-1,BC 水平距离 垂直距离 坡面距离 代表__________,AC 代表__________,AB 代表__________. 知识点一 解斜三角形应用题中与距离相关的几个

1.2│ 自学探究

铅直高度h 2.坡度、坡角:如图 1-2-2,把坡面的___________ 水平宽度l 和______________的比叫做坡度(或叫做坡比),用字母 i 表 1 h 示, i= , 即 坡度一般写成 h∶l 的形式. i=1∶4(即 i= ). 如 l 4 坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角,坡角与坡度之间有如

h i= =tanα 下关系:________________. l

1.2│ 自学探究
3.与测量高度相关的概念 仰角、俯角:如图1-2-3,当我们进行测量时,在视线与 视线在水平线上方 水平线所成的角中,______________________的角叫做仰角, 在水平线下方 ________________的角叫做俯角.

1.2│ 自学探究
? 知识点二 测量距离问题 解三角形的应用题的重要内容之一是解决测量距离问题, 主要包括: (1)测量________________________________________的距 从一个可到达的点到另一个不可到达的点之间 离问题; 两个不可到达的点之间 (2)测量________________________的距离问题.

1.2│ 自学探究
其基本的解题思路为: ①求从一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离 已知三角形的两个角和一边解三角形 问题,就是将其转化为_________________________________ 的问题,直接利用正弦定理就可解决; ②求两个不可到达的点之间的距离问题,首先把求不可到 转化为应用正弦定理解三角形 达的两点A、B之间的距离___________________________的边 长问题,然后把未知的两边长问题转化为测量可到达的一点与 不可到达的一点之间的距离问题.

1.2│ 自学探究
[思考] 解决距离问题时常用的策略是什么? 解:解决距离问题常见的策略:(1)先选定或要创建的三 角形,然后确定所求量所在三角形,若其他量已知,则直接求 解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2) 根据条件确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择 更便于计算的定理.

1.2│ 自学探究
? 知识点三 求角问题 1.方向角:指北或指南方向线与_________ _______________________________________________,叫方 目标方向线所成的小于90°的水平角 向角,目标方向线方向一般可用“×偏×多少度”来表示,这 “北”字或“南”字 里第一个“×”号是指_____________________,第二个“×” 号是指_____________________. “东”字或“西”字 顺时针 2.方位角:从某点开始的指北方向线按________转到目 标方向线为止的水平角,叫方位角.它是方向角的另一种表现 形式.

1.2│ 自学探究
3.测量角度就是在三角形内,利用__________________求 正弦定理和余弦定理 角的三角函数值,然后____________,再根据需要求 求角 ____________,包括求三角形中角度的大小、求不能直接测得 其他的角 的角的大小问题,求轮船航行时航向等问题,这些问题均可结 合正弦定理及余弦定理,通过解三角形求解.

1.2│ 自学探究
? 知识点四 三角形的面积公式 已知△ABC的三边为a,b,c,三内角分别为A,B,C,则 △ABC的面积公式为:

1 1 1 acsinB absinC bcsinA S△ABC=________=________=________. 2 2 2

1.2│ 自学探究
[思考] 到目前为止,你知道的三角形的面积公式有几种 形式?

解: 到目前为止, 接触到的三角形的面积公式有三种形式: 一是底乘高的一半; 二是正弦定理的应用即两边乘夹角正弦的 一半;再就是海伦公式设△ABC 的三边分别为 a、b、c,p= a+b+c ,则 S△ABC= p?p-a??p-b??p-c?. 2

1.2 │ 典例类析 典例类析
? 题组一 测量两点间的距离及角度问题 【例题演练】

例 1 如图 1-2-4,设 A、B 两城镇在河的两岸,要测量 A、 B 两城镇之间的距离, 由于受到地理条件和测量工具的限制无法 进行直接测量.现在 A 镇所在的河岸边选定一村庄 C,测出 AC 的距离是 60 m,∠BAC=45° ,∠ACB=75° A、B 两城镇的 .则 距离(注:选城镇及村庄的中心为测量点)为( )

1.2 │ 典例类析

A.(20 B.(30 C.(10 D.(20

2+60 6)m 2+10 6)m 3+2 6)m 3+9 2)m

1.2 │ 典例类析

[答案] B

AB AC [解析] 根据正弦定理,得 = , sin∠ACB sin∠ABC ACsin∠ACB 60sin∠ACB 所以 AB= = sin∠ABC sin∠ABC 60sin75° 60sin75° = = sin?180° -45° -75° sin60° ? =(30 2+10 6)m.

1.2 │ 典例类析
例 2 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势,在 3a 两个相距为 的军事基地 C 和 D,测得蓝方两支精锐部队分 2 别在 A 处和 B 处,且∠ADB=30° ,∠BDC=30° ,∠DCA= 60° ,∠ACB=45° .如图 1-2-5 所示,则蓝方这两支精锐部队 的距离为 ________.

1.2 │ 典例类析

6 [答案] a 4
[解析] 由题目可获取以下主要信息: (1)求解的是 A,B 两点之间的距离,即 AB 的长; 3 (2)CD= a,且已知了四个角度. 2 ∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60° . 又∵∠ACD=60° ,∴∠DAC=60° , 3 ∴AD=CD= a, 2

1.2 │ 典例类析
在△BCD 中,∠DBC=180° -30° -105° =45° , DB CD 由正弦定理 = , sin∠BCD sin∠DBC 6+ 2 sin∠BCD 3+ 3 4 3 得 BD=CD· = a· = a. 4 sin∠DBC 2 2 2 在△ADB 中,由余弦定理 AB2=AD2+BD2-2· BD· AD· cos∠ADB 3+ 3 3 2 ?3+ 3 ?2 3 3 3 2 ? ? = a +? a? -2× 4 a× 2 a× 2 =8a , 4 ? 4 ? 6 6 ∴AB= a,∴蓝方这两支精锐部队的距离为 a. 4 4

1.2 │ 典例类析
【变式巩固】 当地时间 1 月 29 日 9 时 30 分, 在亚丁湾东部海域 A 处(如 图 1-2-6),希腊一商船发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1) n mile 的 B 处有多艘海盗快艇,请求立即支援,在 A 处北偏西 75° 方向,距 A 处 2 n mile 的 C 处正在执行护航任务的我国海 军“武汉”号导弹驱逐舰, 奉命以 10 3n mile/h 的速度追截海 盗快艇, 此时海盗快艇正以 10 n mile/h 的速度, B 处向北偏 从 东 30° 方向逃窜,问:我国海军护航编队应沿什么方向行驶才 能最快截获海盗快艇?并求出所需时间(精确到 1 min).

1.2 │ 典例类析

[分析] 设我海军护航编队应沿CD方向行驶t小时,才能 最快(在D点)截获海盗快艇,则在△ABC中由余弦定理求得BC 的值,然后再在△BCD中利用正弦定理求得航行方向,进而 求得需要航行的时间.

1.2 │ 典例类析
解:设我海军护航编队应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最 快(在 D 点)截获海盗快艇,则 CD=10 3t n mile,BD=10t n mile. ∵BC2=AB2+AC2-2AB· cos∠CAB AC· =( 3-1)2+22-2( 3-1)· 2cos120° =6, ∴BC= 6(n mile). BC AC ∵ = , sin∠CAB sin∠ABC AC· sin∠CAB 2sin120° 2 ∴sin∠ABC= = = , BC 2 6 ∴∠ABC=45° ,∴B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠CBD=90° +30° =120° .

1.2 │ 典例类析
BD CD ∵ = , sin∠BCD sin∠CBD BD· sin∠CBD 10t· sin120° 1 ∴sin∠BCD= = = , CD 2 10 3t ∴∠BCD=30° ,∴∠DCE=90° -30° =60° . 由∠CBD=120° ,∠BCD=30° ,得∠D=30° , 6 ∴BD=BC,即 10t= 6,∴t= (h)≈15(min). 10 答:我国海军护航编队应沿北偏东 60° 的方向行驶,才能 最快截获海盗快艇,所需时间约 15 min.
[点评] 解决此类问题首先明确题中所给各个角的含义, 然后分析题意,根据题意画出正确的示意图,将实际问题转 化为数学问题,运用正余弦定理求解.

1.2 │ 典例类析
测量高度问题 【例题演练】 例1 如图1-2-7,在山顶电视转播塔上B处测得地面上一 点A的俯角为α ,在塔底C处测得A处的俯角为β ,已知塔BC部 分的高为h m,则山高CD为________ m. ? 题组二

1.2 │ 典例类析
hcosβsinα [答案] -h sin?α-β?

[解析] 在△ABC 和△ABD 中, ∠BCA=90° +β, ∠ABC =90° -α,∠BAC=α-β,∠BAD=α. BC AB 根据正弦定理, = , sin?α-β? sin?90° +β? BCsin?90° +β? BCcosβ 所以 AB= = . sin?α-β? sin?α-β? BCcosβsinα 在 Rt△ABD 中,得 BD=ABsin∠BAD= = sin?α-β? hcosβsinα hcosβsinα . ∴CD=BD-BC= -h. sin?α-β? sin?α-β?

1.2 │ 典例类析
例2 如图1-2-8,地平面上有一旗杆OP,为了测得它的 高度h,在地面上选一基线AB,AB=20 m,在A点处测得P点的 仰角∠OAP=30°,在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°,又测 得∠AOB=60°,求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)

图1-2-8

1.2 │ 典例类析
解:在 Rt△AOP 中,∠OAP=30° ,OP=h, 1 ∴OA=OP· = 3h. tan30° 1 在 Rt△BOP 中,∠OBP=45° ,∴OB=OP· =h. tan45° 在△AOB 中,AB=20,∠AOB=60° , 由余弦定理得 AB2=OA2+OB2-2×OA×OB· cos60° , 1 2 2 2 即 20 =( 3h) +h -2· 3h· , h· 2 400 2 解得 h = ≈176.4,∴h≈13. 4- 3 答:旗杆高度约为 13 m.

1.2 │ 典例类析
[点评] 在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,弄清 题目中的条件与所求,根据题意画出正确的示意图,将实际问 题转化成可用数学方法解决的问题,解题时也要注意体会正、 余弦定理“联袂”使用的优点.

1.2 │ 典例类析

?

题组三

与三角形面积有关的问题 【例题演练】

5 3 例 1 在△ABC 中,若 cosA=- ,cosB= ,BC=5,则△ 13 5 ABC 的面积为( ) 8 A.3 B.2 C. D.4 3
[答案] C

1.2 │ 典例类析
5 12 3 [解析] 由 cosA=- , sinA= ; cosB= , sinB 得 由 得 13 13 5 4 = . 又 A+B+C=π, 5 16 所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= . 65 4 BC×sinB 5×5 13 由正弦定理得 AC= = = , sinA 12 3 13 1 1 13 所以△ABC 的面积 S= ×BC×AC×sinC= ×5× 2 2 3 16 8 × = . 65 3

1.2 │ 典例类析

例 2 在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对 的边,且 3a=2csinA. (1)求角 C; 3 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2
[分析] (1)利用正弦定理求角C. (2)先根据面积求ab,再用余弦定理求a+b.

1.2 │ 典例类析
2c a 解:(1)∵ 3a=2csinA,∴ = . sinA 3 2c 3 a c c 由正弦定理知 = ,∴ = ,∴sinC= . sinA sinC sinC 2 3 π ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= . 3 π 1 π 3 3 (2)∵c= 7,C= ,由面积公式得: absin = ,即 3 2 3 2 ab=6. π 2 2 由余弦定理得 a +b -2abcos =7,∴a2+b2-ab=7, 3 即(a+b)2-3ab=7,∴(a+b)2=25, ∴a+b=5.

1.2 │ 典例类析

[点评] 三角形面积公式有多种形式,根据题中的条件选 1 1 择最合适的面积公式. 在解三角形中通常选用 S= absinC= 2 2 1 bcsinA= acsin B,这个公式中含有正弦值,可以和正弦定理 2 建立关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定 理建立关系,另外面积公式中有两边的乘积,在余弦定理中 也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变 换,关键是根据题中的条件选择正确的变换方向.

1.2 │ 典例类析
【变式巩固】 已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设 向量 m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,C= ,求△ABC 的面积. 3

[ 分 析 ]

(1) m∥n → asinA=bsinB

→ 由正弦定理得a=b → △ABC为等腰三角形 . (2) m⊥p → a+b=ab → 由余弦定理求出ab → S△ABC

1.2 │ 典例类析
解:(1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB, a b 即 a· =b· ,其中 R 是三角形 ABC 的外接圆半径, 2R 2R ∴a2=b2,a=b,∴△ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知 m· p=0, 即 a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab, 由余弦定理可知 4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4 或 ab=-1(舍), 1 1 π ∴△ABC 的面积 S= absinC= ×4×sin = 3. 2 2 3 [点评] 解决三角形与向量、三角函数的综合题目,首先 要正确应用所学知识“翻译”题目条件,然后再根据题目条 件和要求选择正弦或余弦定理求解.

本章总结提升

本章总结提升 │ 单元回眸 单元回眸

本章总结提升│ 整合创新 整合创新

?

题组一

利用正弦定理解三角形

【例题演练】 例 1 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,已知 b=acosC,则△ABC 的形状为________.

本章总结提升│ 整合创新
[答案] 直角三角形

[解析] ∵b=acosC,∴由正弦定理,得 sinB=sinAcosC, (*) ∵B=π-(A+C),∴sinB=sin(A+C),从而(*)式变为 sin(A+C)=sinAcosC,∴cosAsinC=0. π 又 A,C∈(0,π),∴cosA=0,A= ,∴△ABC 是直角 2 三角形.

本章总结提升│ 整合创新

例 2 在△ABC 中,A,B 为锐角,角 A,B,C 所对应的 3 10 边分别为 a,b,c,且 cos2A= ,sinB= . 5 10 (1)求 A+B 的值; (2)若 a-b= 2-1,求 a,b,c 的值.
[分析] 本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和 差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运 算能力.

本章总结提升│ 整合创新
10 解:(1)∵A、B 为锐角,sinB= , 10 3 10 2 ∴cosB= 1-sin B= , 10 3 2 又 cos2A=1-2sin A= , 5 5 2 5 2 ∴sinA= ,cosA= 1-sin A= , 5 5 2 5 3 10 5 ∴ cos(A+ B)= cosAcosB- sinAsinB= × - 5 10 5 10 2 × = . 10 2 π ∵0<A+B<π,∴A+B= . 4

本章总结提升│ 整合创新
3π 2 (2)由(1)知 C= ,∴sinC= . 4 2 a b c 由正弦定理 = = 得 5a= 10b= 2c, sinA sinB sinC 即 a= 2b,c= 5b.∵a-b= 2-1, ∴ 2b-b= 2-1,∴b=1, ∴a= 2,c= 5.
[点评] 熟练掌握正弦定理是解决本题的关键,同时注意 有关三角函数公式的应用.

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?

题组二 利用余弦定理解三角形

【例题演练】 例 1 △ABC 的周长为 20,面积为 10 3,A=60° ,则 BC 的边长是( ) A.5 B.6 C.7 D.8

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[答案] C

[解析] 设△ABC 的三边分别为 a, c; a+b+c=20, b, 则 1 3 3 即 b+c=20-a, 面积 s= bcsin60° = bc, 所以 bc=10 3, 2 4 4 即 bc=40,a2=b2+c2-2bc×cos60° 2+c2-bc=(b+c)2- =b 3bc=(20-a)2-120,解得 a=7,即 BC=7.

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例 2 在△ABC 中,已知 a,b,c 分别是角 A,B,C 所 对的边. (1)若 a=2 6,b=6+2 3,c=4 3,求角 A、B、C; 1 (2)若 a=2,c=3,cosB= .求 b 和 sinC 的值. 4
[分析] (1)用余弦定理的推论直接求内角的余弦值,再根 据余弦值求角;(2)条件相当于已知两边及夹角,还是要用余 弦定理.

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b2+c2-a2 解:(1)∵cosA= 2bc ?6+2 3?2+?4 3?2-?2 6?2 3 = = ,∴A=30° . 2 2×?6+2 3?×4 3 a2+c2-b2 又∵cosB= 2ac ?2 6?2+?4 3?2-?6+2 3?2 6- 2 = =- <0, 4 2×2 6×4 3 ∴B=105° ,∴C=180° -A-B=45° .

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(2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB, 1 2 2 2 得 b =2 +3 -2×2×3× =10,∴b= 10. 4 方法一:由余弦定理得, a2+b2-c2 4+10-9 10 cosC= = = , 2ab 8 2×2× 10 3 6 ∵C 是△ABC 的内角,∴sinC= 1-cos C= . 8
2

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1 方法二:∵cosB= ,且 B 是△ABC 的内角, 4 15 2 ∴sinB= 1-cos B= . 4 b c 根据正弦定理, = , sinB sinC 15 3× 4 csinB 3 6 得 sinC= = = . b 8 10
[点评] 已知三角形的三边或已知两边及夹角解三角形可 用余弦定理,熟练掌握余弦定理及推论是解题的关键,同时 还要注意方程思想的运用.

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?

题组三 利用正、余弦定理判断三角形的形状

【例题演练】 例 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, → AC → BC → → 若AB· =BA· =k(k∈R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c= 2,求 k 的值.
[分析] 先由向量数量积的定义得出△ABC的边角关系, 再依据判定方法判定或求值.

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→ AC → → BC → 解:(1)∵AB· =cbcosA,BA· =cacosB, → AC → BC → → 又AB· =BA· ,∴bccosA=accosB, ∴bcosA=acosB. 方法一:∴sinBcosA=sinAcosB, 即 sinAcosB-sinBcosA=0,∴sin(A-B)=0. ∵-π<A-B<π,∴A=B. ∴△ABC 为等腰三角形. 方法二:利用余弦定理将角化为边. ∵bcosA=acosB, b2+c2-a2 a2+c2-b2 ∴b· =a· , 2bc 2ac ∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,∴a2=b2,∴a=b. 故此三角形是等腰三角形.

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(2)由(1)知 a=b, b2+c2-a2 c2 → AC → ∴AB· =bccosA=bc· = =k. 2bc 2 ∵c= 2,∴k=1.
[点评] 方法一中用到了三角函数中两角差的正弦函数公 式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的 范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式 sinBcosA=sinAcosB两端同除以cosAcosB得tanA=tanB,再 由0<A,B<π ,得A=B.

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利用正、余弦定理解决实际问题 【例题演练】 例1 一缉私艇发现在北偏东45°方向,距离12 n mile的 海上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向逃 窜,若缉私艇的速度为14 n mile/h,缉私艇沿北偏东45°+ α 的方向追去,若要在最短的时间内追上该走私船,则追上所 需的时间为________ h,α 角的正弦值为________. ? 题组四

5 3 [答案] 2 14

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[解析] 引入变量,构造可解三角形 ABC. 如图所示,A、C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经 x 小时后在 B 处追上走私船. 则 AB=14x,BC=10x,∠ACB=120° , 由(14x)2=122+(10x)2-240· cos120° x· ,得 x=2. 20sin120° 5 3 故 AB=28,sinα= = , 28 14 5 3 即所需时间为 2 小时,sinα= . 14

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[点评] 将海上问题作为应用题背景,研究最多的是方向 角,解答时应当根据所学的简单地理知识,先确定正北方向, 根据题中条件作出其他方向角的位置示意图,再分析图中的已 知量和未知量,将应用问题转化为解三角形问题.

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例 2 如图 T1-1,池塘两侧有两物体 A,B,不能直接量 得它们间的距离,但可以测算出它们的距离,为此,在池塘边 选取 C,D 两点,并测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC =30° ,∠ADB=90° ,CD=80 m,试求 A,B 两物体间的距离 (精确到 0.1 m). (参考数据: 2≈1.414, 3≈1.732, 5≈2.236, 10.464 ≈3.235)

图 T1-1

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[分析] 分别解△ACD,△BCD,构造含有边CD的可解三角 形.

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解:在△ACD 中,∠ACD=75° +45° =120° ,∠CAD=180° - (120° +30° )=30° ,CD=80 m. CD AD 由正弦定理得, = , sin30° sin120° ∴AD=80 3(m). 在△BCD 中,∠BCD=45° ,∠BDC=90° +30° =120° ,∠CBD =180° -(45° +120° )=15° , BD CD sin45° 由正弦定理,得 = ,∴BD=80· . sin45° sin15° sin15° ∵ sin15°= sin(45°- 30° = sin45° ) cos30°- cos45°sin30°= · 6- 2 ,∴BD=80( 3+1) m. 4 在 Rt△ABD 中,AB= AD2+BD2 =80 7+2 3≈80 10.464≈258.8(m). 答:A、B 两物间的距离约 258.8 m.

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[点评] 本例是求解测量不能到达的两点间的距离问题,它 充分体现了正弦定理在测量学中的广泛应用.解题的关键是仔 细分析清楚题意,构造出可解的三角形,并找出解哪些三角形 最利于解题,然后再利用正、余弦定理给出解答.

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1.[2011· 辽宁卷] △ABC 的三个内角 A,B,C 所 b 2 对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos A= 2a,则 a =( ) A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2

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a b [解析] D 由正弦定理 = 得 asinB=bsinA,所以 sinA sinB asinAsinB+bcos2A= 2a 化为 bsin2A+bcos2A= 2a,即 b= 2a,故选 D.

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2.[2011· 浙江卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c.若 acosA=bsinB,则 sinAcosA+cos2B=( ) 1 A.- 2 C.-1 1 B. 2 D.1

[解析] D ∵acosA=bsinB,∴sinAcosA=sin2B, ∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.

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3.[2011· 福建卷] 如图 T1-2,△ABC 中,AB=AC=2, BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45° ,则 AD 的长度等 于________.

图 T1-2

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[答案]

2

[解析] 在△ABC 中,由余弦定理,有 AC2+BC2-AB2 ?2 3?2 3 cosC= = = ,则∠ACB= 2AC· BC 2×2×2 3 2 30° . AD AC 在△ACD 中,由正弦定理,有 = , sinC sin∠ADC 1 2× 2 AC· sin30° ∴AD= = = 2,即 AD 的长度等于 2. sin45° 2 2

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4. [2011· 课标全国卷] △ABC 中,B=120° ,AC=7,AB =5,则△ABC 的面积为________.

15 3 [答案] 4

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7 AC AB [解析] 解法 1:由正弦定理,有 = ,即 sinB sinC sin120° 5 5sin120° 5 3 = ,所以 sinC= = , sinC 7 14 ?5 3? ? ? 2 11 2 所以 cosC= 1-sin C= 1-? = , 14 ? 14 ? ? 又因为 A+B+C=180° ,所以 A+C=60° , 3 所以 sinA=sin(60° -C)=sin60° cosC-cos60° sinC= 2 11 1 5 3 3 3 × - × = , 14 2 14 14 1 1 3 3 15 3 所以 S△ABC= AB· ACsinA= ×5×7× = . 2 2 14 4

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解法 2:设 BC=x(x>0),由余弦定理,有 52+x2-72 cos120° = ,整理得 x2+5x-24=0, 10x 解得 x=3,或 x=-8(舍去),即 BC=3, 1 1 1 所 以 S △ ABC = AB· BCsinB = ×5×3×sin120°= 2 2 2 3 15 3 ×5×3× = . 2 4

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5.[2011· 天津卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c.已知 B=C,2b= 3a. (1)求 cosA 的值; ? π? ? (2)求 cos?2A+ ?的值. 4? ? ?

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3 解:(1)由 B=C,2b= 3a,可得 c=b= a. 2 3 2 3 2 a + a -a2 2 2 2 b +c -a 4 4 1 所以 cosA= = = . 2bc 3 3 3 2× a× a 2 2

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1 2 2 2 (2)因为 cosA= , A∈(0, 所以 sinA= 1-cos A= π), , 3 3 7 2 故 cos2A=2cos A-1=- . 9 4 2 sin2A=2sinAcosA= . 9 ? π? π π ? 7? 2 ? ? ? ? 所以 cos ?2A+ ? =cos2Acos -sin2Asin = ?- ? × - 4? 4 4 ? 9? 2 ? 8+7 2 4 2 2 × =- . 9 2 18


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