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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定2


3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

1.掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判断两条直线 是否平行或垂直. 2.通过两条直线斜率之间的关系判断其几何关系,初步体会数 形结合思想.

1.两条直线的平行
(1)如果两条直线的斜率存在,设这两条直线的斜率分别为 相等 反之,若两条直 k1,k2.若两条直线平行,则它们的斜率_____; k1=k2 平行 即l1∥l2?_____. 线的斜率相等,则它们_____,

(2)如果两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线的倾斜角 90° 这两条直线互相_____. 平行 都为_____,

2.两条直线的垂直 (1)当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,这两条 互相垂直 直线_________. (2)当两条直线的斜率都存在时,设斜率分别为k1,k2.若两条直

互为负倒数 反之,若两条直线的斜 线互相垂直,则它们的斜率___________;
1 互相垂直 即l ⊥l ?_______ k1 ? 率互为负倒数,则它们_________, 1 2 k2 ? ?

k1·k2=-1 _________.

1.已知直线l1的斜率为0,且直线l1∥l2,则直线l2的倾斜角为 ( A.0° B.135° C.90° D.180° )

【解析】选A.由题意知,直线l1的倾斜角为0°,又l1∥l2,故l2的 倾斜角与l1的倾斜角相等.

2.直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的倾 斜角为____________. 【解析】因为直线l1的倾斜角为30°,又因为l1⊥l2,所以l2的倾 斜角为120°. 答案:120°

3.直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直线l1

与l2的位置关系是____________.
【解析】因为直线l1过点A(0,3),B(4,-1),则直线l1的斜率k1=
3 ? ? ?1? 0?4

=-1,直线l2的斜率k2=tan 45°=1,因为k1·k2=-1,所以

l1 ⊥ l2 . 答案:l1⊥l2

4.直线l1过A(-2,m)和B(m,4),直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,则 m=____________. 【解析】由题知直线l1的斜率存在,则直线l1的斜率 k l ?
1

m?4 , ?2 ? m

因为直线l2的斜率 kl =-2,
2

且l1∥l2,所以 kl =-2,即
1

m?4 =-2,所以m=-8. ?2 ? m

答案:-8

一、两直线平行的条件
探究1:已知两直线l1与l2平行,请根据两条直线平行的条件思考 下列问题: (1)直线l1的倾斜角α 1与直线l2的倾斜角α 2有何关系? 提示:直线l1,l2满足l1∥l2,即两条直线向上方向与x轴正向夹角 相等,故直线l1,l2的倾斜角相等.

(2)直线l1的斜率与直线l2的斜率有何关系? 提示:①当两条直线的倾斜角都为90°时,两直线的斜率都不存 在;②当两条直线的斜率都存在时,直线l1的倾斜角α1与直线l2 的倾斜角α2相等,故tanα1=tanα2,即k1=k2.

探究2:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,若k1=k2,试判断直线l1,l2 的位置关系. 提示:若k1=k2,即tanα1=tanα2,又直线倾斜角的范围是 0°≤α<180°,所以α1=α2,故直线l1,l2平行或重合.

【探究总结】不重合直线l1,l2平行的等价条件

等价条件:l1∥l2? ?

? k1 ? k 2 , ?或?1 ? ? 2 ? 90?.

【拓展延伸】用倾斜角来刻画平面上两条直线的三种关系 若考虑两条直线可能重合,则平面上两条直线的位置关系共有 三种:平行、相交、重合.借助于倾斜角,它们之间的关系是: (1)平行:倾斜角相同,没有公共点. (2)相交:倾斜角不同,只有一个公共点. (3)重合:倾斜角相同,有无数多个公共点.

二、两直线垂直的条件 探究1:如图,直线l1,l2满足l1⊥l2,请根据图形,探究下面的问题:

(1)斜率都存在的两条直线l1,l2,若l1⊥l2(如图①),则其倾斜角
有何关系?斜率有何关系? 提示:由图可知倾斜角的关系为α2=α1+90°,所以tanα2 =tan(α1+90°)=1 ,即k2=- 1 ,所以k1·k2=-1. tan?1 k1

(2)当直线l1,l2中有一条直线与x轴垂直时,问题(1)中的斜率关 系还成立吗? 提示:不成立,当直线与x轴垂直时,其斜率不存在.此时一条直 线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.

探究2:当k1·k2=-1时,l1⊥l2成立吗?

提示:成立,由k1·k2=-1,可知直线l1,l2的倾斜角α1,α2满足
α2=α1+90°,故直线l1,l2垂直.

【探究总结】对两条直线垂直的条件的说明 (1)直线的斜率存在时,l1⊥l2则k2=1 ,即k1·k2=-1. k1

(2)k1,k2中一个不存在,一个为0?l1⊥l2. (3)解决直线垂直的问题时,不要忽略斜率不存在的情况.

类型 一

直线的平行

1.已知直线l1与直线l2满足下列条件: (1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(-1,1),D(-3,5). (2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M( 3 ,0),N(2 3 ,3). (3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,1),Q(0,5). 其中l1∥l2的序号是____________. 2.已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3),l2经过点C(1,2),D(-2, a+2),若l1∥l2,求a的值.

【解题指南】1.两条直线斜率相等或斜率都不存在时 ,两条直 线平行. 2.根据题意可知两条直线的斜率相等,找到关于a的方程,从而 求出a的值.

【自主解答】1.根据题中的条件及斜率公式得 (1)k l ? ? , k l ? ?2,所以 kl ? kl ,所以直线l1与l2不平行.
1 2

4 5

1

2

(2) k l ? 3 ? k l ,所以l1∥l2或l1与l2重合.
1 2

(3)l1斜率不存在,且直线l1与y轴不重合,而l2的斜率也不存在, 且恰好是y轴,所以l1∥l2. 答案:(3)

2.因为l1∥l2,l2斜率存在,所以l1斜率存在.

直线l1的斜率 k l ?
1

a ?3 ? ?1, 2 ? ? a ? 1?
1 2

因为l1∥l2,所以 kl ? kl , 又直线l2的斜率
1 ? ? ?2 ? 所以- a =-1,即a=3. 3 k l2 ? 2 ? ?a ? 2? a ?? , 3

【规律总结】两条直线平行的判定技巧 (1)若l1与l2斜率存在,则l1∥l2?k1=k2(l1,l2不重合). (2)若l1与l2不重合,则l1∥l2?k1=k2或斜率都不存在.

【变式训练】
已知△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分别是AC,BC的中点,求直线 EF的斜率. 【解题指南】利用三角形的中位线与第三边平行,即斜率相等 来解. 【解析】因为E,F分别是AC,BC的中点,所以EF∥AB,故kEF=kAB=
?1 ? 3 =-2. 2?0

类型 二

直线的垂直

1.如果直线l1,l2的斜率分别是一元二次方程x2-4x-1=0的两根, 那么直线l1,l2的位置关系是 A.平行 B.垂直 ( C.重合 ) D.以上均不正确

2.判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,-1),N(2,1). (2)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3). (3)l1经过点A(3,4),B(3,100),l2经过点M(-10,40),N(10,40).

【解题指南】1.由k1,k2是方程x2-4x-1=0的两根,得出k1与k2的 关系,从而判定直线l1与l2的位置关系. 2.先判断斜率是否存在,若存在,求出斜率,利用l1⊥l2?k1k2=-1 进行判断.注意数形结合.

【自主解答】1.选B.由直线l1,l2的斜率k1,k2分别是一元二次方 程x2-4x-1=0的两根,故k1·k2=-1,所以l1⊥l2,故选B.
2.?1? k1 ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? ? ?1? ? 2, k 2 ? 1 ? , 2 ? ? ?2 ? 2 1 ? ? ?1?

k1k2=1,所以l1与l2不垂直. (2)k1=-10,k2= 3 ? 2 ? 1 ,
20 ? 10 10

k1k2=-1,所以l1⊥l2. (3)l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴; k 2=
40 ? 40 =0,则l2∥x轴, 10 ? ? ?10 ?

所以l1⊥l2.

【规律总结】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)看:就是看所给两点的横坐标是否相等 ,若相等,则直线的斜 率不存在,若不相等,则进行第二步. (2)用:就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时, 应用斜率公式要对参数进行讨论.

【变式训练】 已知直线l1的斜率k1= l1⊥l2,求实数a的值. 【解题指南】已知l1的斜率存在,又l1⊥l2,所以l2的斜率也存在, 设为k2,则由k1·k2=-1,可得关于a的方程,解方程即可.
3 ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且 4

【解析】设直线l2的斜率为k2,
2 a ?3 则 k2 ? ?? . 0 ? 3a 3a 3 因为l1⊥l2,且 k1 ? , 4

a 2 ? 1 ? ? ?2 ?

所以k1·k2=-1,
2 3 a 所以 ? ? 3 ? 1, 4 3a

即a2-4a+3=0, 解得a=1或a=3.

类型三

直线平行和垂直的综合应用

1.已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆与x轴有交点C,则 交点C的坐标为____________. 2.已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),四边形ABCD为直角梯形 (A,B,C,D按逆时针方向排列),求D点的坐标. 【解题指南】1.设出点C的坐标(x,0),根据AC⊥BC,得出关于x 的方程,从而求出点C的坐标. 2.四边形ABCD为直角梯形,利用直线平行与垂直的关系,列出方 程,从而解得所求点的坐标.

【自主解答】1.以AB为直径的圆与x轴有交点C,则AC⊥BC,设C
点坐标为(x,0),则 k AC ? ?3 ,k BC ? ?2 , 所以 ?3 ? ?2 ? ?1,整理得x2-3x+2=0,解得x1=1或x2=2,所以C点
x ?1 x ? 4 x ?1 x?4

坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)

2.设D点坐标为(x,y),由kAB=3,kBC=0,kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC 不垂直,故AB与BC都不可作为直角梯形的垂直于底的腰. (1)若CD是直角梯形的垂直于底的腰,则BC⊥CD,AD⊥CD. 因为kBC=0,所以CD的斜率不存在,从而有x=3, 又因为kAD=kBC,所以 y ? 3 =0,即y=3,
x

此时AB与CD不平行,故所求点D的坐标为(3,3).

(2)若AD是直角梯形的垂直于底的腰,则AD⊥AB,AD⊥CD.
因为 k AD ? y ? 3,k CD ? y ,又AD⊥AB, 所以 y ? 3 ·3=-1①,又AB∥CD, y =3②. 由①②可得 x ? 18,y ? 9 , 此时AD与BC不平行.
18 9 综上可知点D的坐标为(3,3)或 ( , ) . 5 5 5 5 x x ?3 x x ?3

【延伸探究】把题1中的条件“与x轴有交点C”改为“与y轴
有交点C”,求交点C的坐标. 【解析】以AB为直径的圆与y轴有交点为C,则 AC⊥BC,设C点坐标为(0,y),则 k AC ? y ? 3 ? y ? 3, k BC ? y ? 2
y?2 y?2 =-1,整理得y2-5y+2=0,解得 , 所以(y-3)· ?4 ?4 5 ? 17 5 ? 17 或 y2 ? , y1 ? 2 2 5 ? 17 或 5 ? 17 所以C点坐标为 ) . (0, ) (0, 2 2 ?

0 ? ? ?1?

0?4

【规律总结】利用两条直线平行或垂直的条件处理图形问题的 步骤 (1)画点,在坐标系中描出已知点的坐标. (2)设点找关系,根据已知条件,设出所求点的坐标,并判断图中 线线之间满足的关系. (3)列方程,根据平行与垂直的条件列出方程. (4)求解,求出方程的解,进而得出所需结果. 提醒:在处理直线的位置关系时,要时刻考虑斜率是否存在.

【变式训练】
已知四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针方向排列)为平行四边形,且

顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2),求第四个顶点D的
坐标. 【解析】设顶点D的坐标为(x,y),由题意可知,kAB=-1,kBC=1,即 AB⊥BC,从而AD⊥CD,AD∥BC,所以kAD·kCD=-1,且kAD=kBC,
? y ?1 y ? 2 ? ? ?1, ? ? x ? 0 x ? 3 所以 ? 解得x=2,y=3, ? y ? 1 ? 1, ? ?x ?0

即第四个顶点D的坐标为(2,3).


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