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3.3函数的奇偶性


复 一、 函数图象的作法 二、 函数的单调性



(注意定义域优先原则)

1.定义:当自变量由小到大 ( x1 ? x2 ), 函数值也由小到大 ( f ( x1 ) ? f ( x2 )), 或函数图象从左到右上升, 是增函数 当自变量由小到大 ( x1 ? x2 ), 函数值反而由大到小 ( f ( x1 )

? f ( x2 )),

或函数图象从左到右下降, 是减函数 注意事项 (1) 单调性是局部性质,所以它必须落到具体区间上去。 (2)自变量( x1、x2 ) 必须取区间上的任意两个值。 2.判断一个函数单调性常用图象观察法;

3.证明函数单调性的步骤是 (1)取值,区间中任取两个值x1、x2,且令x1<x2 (2)作差,f(x1)-f(x2) (3) 变形, (4) 定号,(须利用x1<x2 ) (5) 结论,(根据增、减函数的定义)

三.已学函数的单调性
⑴ 一次函数y=ax+b(a≠0)

a?0

y 0
x

a?0

y
0

x



( ??,??) 上是增函数
k



( ??,??) 上是减函数
y 0 x 在 ( ??,0), (0,??) 上 是增函数

(2)反比例函数 y ? x ( k ? 0)

k?0

k?0

y 0 x

在 ( ??,0), (0,??) 上 是减函数

(3)二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)

a?0
y

a?0
y

在 ( ??,? 2a ] 上是减函数
x1 0 x2 x
b x?? 2a

b

在 ( ??,? 2a ] 上是增函数
x1 0 x2 x
x?? b 2a

b

在 [?

b ,??) 上是增函数 2a

在 [?

b ,??) 上是减函数 2a

四、作业讲评 ( 一)教材P29习题3.1中第3题)
(1) y ? x
y

( 2) y ? x ? 5

y

1
0 1 x

0 -5

5 x

(3) y ? ? x 2
y -2 0 2x

(4) y ? ? x 2 ? 3
y 3

-4

-2

-1

0

2

x

( 二)教材P31习题3.2 1.(1) y ? 3 x ? 1 y
3
? 1 3

(2) y ? x 2 ? 1

y

2
1 0 x -1 0 1 x

∴在R上是增函数
(3) f ( x) ? x 3

∴在 (??,0]上是减函数 在 [0,??)上是增函数
y
8

∵函数的定义域为 ( ??,??)
x ┅ y ┅
-2 -1 -1 0 0 1 1 2 8

-8

┅ ┅
-2 -1 1 2

∴函数在 ( ??,??) 上是增函数

x

-8

2.

y
∴函数在 (0,??)上是减函数

y?

1 x

x

3.

x 且 证明:在R上任取两个值 x1、 2, x1 ? x2

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 x1 ? 3) ? (2 x2 ? 3)
? 2 x1 ? 3 ? 2 x2 ? 3 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 于是 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即f ( x1 ) ? f ( x2 )

∴函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 在R上是增函数.



课:

§3.3函数的奇偶性
本节课内容: 1.函数奇偶性的定义 2.函数奇偶性的判断及证明 (重点) 3.函数单调性、奇偶性的综合应用 (难点)

观察下面两个函数你能发现它们有什么共同特征吗?
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 2 -1

y=x2

y=|x|

y
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3

x

x

这两个函数图象有什么共同特点吗?

结论:这两个函数的图象都关于y轴对称。

填写表(1),你发现了什么?
x

y 6 5 4 3

-3 -2 -1 0
2

1 2 3

y=x

9 4 1 0 1 4 9
f(1) = 1 ∴f(-1) = f(1) ∴f(-2) = f(2) ∴f(-3) = f(3)
-3 -2

表(1)

f(-1)= 1

2

f(-2)= 4 f(2) = 4 f(-3)= 9 f(3) = 9

1
-1 0

……

-x

1

x

2

3

x

f(-x)=(-x)2 =x2 f(x)=x2

∴f(-x) = f(x)

y=x2

特点:当自变量x取一对相反数时,相应的 两个函数值相等.

填写表(2),你发现了什么?
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 6

y=|x| 3 2 1 0 1 2 3
表(2)

5
4 3 2

f(-1)= 1

f(1) = 1

∴f(-1) = f(1) ∴f(-2) = f(2) ∴f(-3) = f(3)
-3 -2

f(-2)= 2 f(2) = 2 f(-3)= 3 f(3) = 3

1
-1 0

……
f(-x)=|-x| =|x| f(x)= |x|

1

2

3x

∴f(-x) = f(x)

y=|x|

特点:当自变量x取一对相反数时,相应的 两个函数值相等.

1.偶函数 (even function)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 例如,函数 f ( x ) ? x 2 ? 1, f ( x ) ? ? x 2 ? 3 都是偶函数, 它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
f ( x) ? x 2 ? 1
y
2 1 -1 0 1 x y 3

f ( x) ? ? x 2 ? 3
2
x

-2

-1

0

(1)

(2)

观察下面两个函数你能发现它们有什么共同特征吗?
y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x y

3
2 1 -2 -1 0 1 2 3 x

-1
-2 -3

f(x)=x

1 f ( x) ? x

结论:两个函数图象都关于原点对称。

填写表(3),你发现了什么?
y

x

-3 -2 -1

0 1 2 3
2 3
-2

3 2 1

f(x)=x

-3 -2 -1 0 1
表(3)

f(-1)= -1 f(1)= 1 f(2)= 2 f(-3)= -3 f(3)= 3
……

f(-1) =-f(1) f(-2) =-f(2) f(-3) =-f(3)

-x

-1 0 -1 -2 -3

1

2

x

3 x

f(-x) = -f(x)

f(x)=x

特点:当自变量x取一对相反数时,相应的函数值也是 相反数

填写表(4),你发现了什么?
x

-3 -2 -1 0 1 2 3
无 意 义

1 1 1 f ( x) ? ? ? -1 x 3 2
表(4)

1

1 2

1 3

y 3 2 1

f(-1)= -1
1 2 1 f(-3)= ? 3 ?

f(1) = 1
1 2 1 3

f(-1) =-f(1)
f(-2) =-f(2) f(-3) =-f(3)

-2 -1 0 -1 -2 -3

1

2

3 x

f(3)=

……

f(-x) = -f(x)

1 f ( x) ? x

特点:当自变量x取一对相反数时,相应的函数值也是 相反数

2.奇函数(odd function)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)= - f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
f ( x) ? x 3、f ( x) ? x x 都是奇函数,它们 例如,函数

的图象分别如下图(3)、(4)所示.
y
8

f ( x) ? x

3

y 4 2 1

f ( x) ? x x

-2 -1

1 2

x

-2 -1 0 -1

1

2

x

(3)
-8

(4)
-4

图像特征
偶函数
y 2 1 -1 y
8

观察以下图象,奇函数的图象、偶函数的图象 有何特征?
f ( x) ? x 2 ? 1
y

3

f ( x) ? ? x 2 ? 3
2 x

0 1

x

-2

-1

0

(1) 奇函数
f ( x) ? x
3

(2)
y 4 2 1

f ( x) ? x x

-2 -1

1 2

x

-2 -1 0 -1

1

2

x

(3)
-8

(4)
-4

图像特征
奇函数的图象(如y=x3 ) y 偶函数的图象(如y=x2) y

P/(-a ,f(-a)) p(a ,f(a))

p(a ,f(a))

-a

o

a
奇函数的

x

偶函数的

-a

o

a

x

性质

P/(-a ,f(-a))

性质
偶函数的图象关于y轴对称.
. 反之, 若一个函数的图象关于 y 轴

奇函数的图象关于原点对称. . 反之,若一个函数的图象关于原点
对称,那么这个函数是奇函数

对称,那么这个函数是偶函数

前提条件
问题:1.
问题:2

定义域关于原点对称

f ( x) ? x, x ? ? ?1, ??? 是奇函数吗?
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x 1 2

f ( x) ? x 2 , x ? ? ?1, 2? 是偶函数吗?

解:

不是。

解:

y 3 2 1

不是。

3 x

-3

-2

-1 0

一、函数奇偶性的定义 1.偶函数: 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为D,如果对于任意的 x ? D, 都有 ? x ? D, 且满足 f (? x ) ? f ( x ) 则函数 f ( x ) 叫偶函数 2.奇函数: 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为D,如果对于任意的 x ? D, 都有 ? x ? D, 且满足 f (? x ) ? ? f ( x ) 则函数 f ( x ) 叫奇函数 如果一个函数是奇函数或偶函数,则称这个函数具有奇偶性 3.如果一个函数即不是奇函数也表示偶函数,则称这个函数叫

非奇非偶函数
注意: 1.函数具有奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称。 2.函数的奇偶性是定义域上的一个整体性质。

二、函数奇偶性的性质 1.奇函数的图象关于原点对称. 反之,若一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数 2.偶函数的图象关于y轴对称. 反之, 若一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数 它是判断函数奇偶性的一种方法。

三、函数奇偶性的应用 (-)函数奇偶性的判断 例1.将下面的函数图像分成两类,并判断它们的奇偶性
y y y y y y

O

x

0

x

0

x

0

x

0

x

0

x

奇函数

偶函数

三、函数奇偶性的应用

(-)函数奇偶性的判断

(1) f ( x) ? x 2 ? 1

[例2] 判断下列函数的奇偶性(教材P32例) 解: ∵函数 f ( x ) ? x 2 ? 1 的定义域为R

则x ? R,? x ? R 判断奇偶性步骤: 2 2 又∵ f (? x ) ? (? x ) ? 1 ? x ? 1 ? f (x ) 一看 定义域 ∴函数 f ( x ) ? x 2 ? 1 是偶函数 二找 关系 f(?x)= ?f(x) 或f(?x)=f(x) (2) f ( x) ? x 2 ? x 3 三判断 奇或偶 解:∵函数 f ( x ) ? x 2 ? x 3 的定义域为R
定义域关于原点对称 2 3 2 3 又∵ f (? x ) ? (? x ) ? (? x ) ? x ? x

f (? x ) ? f ( x ) 且f (? x ) ? ? f ( x )
∴函数 f ( x ) ? x 2 ? x 3 是非奇非偶函数

三、函数奇偶性的应用

(-)函数奇偶性的判断

[例2] 判断下列函数的奇偶性(教材P32例)

(3) f ( x) ? x 2 ? x 4 , x ? [?1,3]
解:∵函数 f ( x ) ? x 2 ? x 4 的定义域是 x ? [?1,3] 定义域不关于原点对称, ∴ f ( x ) 是非奇非偶函数

1 ( 2) f ( x ) ? x ? x
解:∵函数 f ( x ) ? x ? 1 的定义域是 ( ??,0) ? (0,??)
x

1 1 1 ? ? x ? ? ?( x ? ) 又∵ f ( ? x ) ? ( ? x ) ? ?x x x ? f (? x ) ? ? f ( x )
∴ f ( x )是奇函数

课堂练习
教材P32~33练一练1、2 1. (1) (-2,-1) (2) (1,2) (3) (2,3) 小结: 1.点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标是P1(a,-b) 2.点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标是p2(-a,b) 3.点P(a,b)关于原点对称的点的坐标是p3(-a,-b)
P2(-a,b) P(a,b)

P3(-a,-b)

P1(a,-b)

2.

(1) (2)

偶函数

非奇非偶函数

(定义域不对称)

三、函数奇偶性的应用 (二)利用函数的奇偶性作图 例如: 作 y ? x 的图象 ∵ y ? x 是偶函数 ∴当 x ? 0时,函数化为 y ? x ∴先作 y ? x( x ? 0) 的图象 再作关于 y 轴对称的图象 又如:作 y ? x x 的图象 ∵当 x ? 0时,原函数化为 y ? x 2 ( x ? 0) ∵ y ? x x 是奇函数 ∴先作 y ? x 2 ( x ? 0)的图象 再作关于原点对称的图象。

(三)函数的单调性、奇偶性的综合应用——比较大小 1.利用函数的单调性比较两个函数值的大小
(1)已知 f ( x ) 在 (0,? ?)上是增函数,试比较 f (1)与f (2) 的大小 (2)已知 f ( x ) 在 (0,? ?)上是减函数,试比较 f (1)与f (2) 的大小

解:(1) ∵ f ( x )在 (0,??) 上是增函数,
? f (1) ? f ( 2) ?1 ? 2 (2) ∵ f ( x )在 (0,??) 上是减函数, ? f (1) ? f ( 2) ?1 ? 2

y f(2) f(1) 1 2

y f(1) f(2) 2 xx

xx

1

2.综合利用单调性、奇偶性比较两个函数值的大小
(1)已知 f ( x ) 是偶函数,且在 (0,? ?) 上是增函数,试比较 f (?1)与f (2) 的大小
(2)已知 f ( x ) 是偶函数,且在 (0,? ?) 上是减函数,试比较 f (?1)与f (2) 的大小

? (1) ∵ f ( x )是偶函数, f ( ?1) ? f (1)

∵ f ( x ) 在 (0,??) 上是增函数,

(2)

?由 ? 2 ? f (1) ? f ( 2) 1 即f (- ) ? f ( 2) 1 ? ∵ f ( x )是偶函数, f ( ?1) ? f (1) ∵ f ( x ) 在 (0,??) 上是减函数, ?由 ? 2 ? f (1) ? f ( 2) 1 即f (- ) ? f ( 2) 1

一、 知识拓展 1.y=1(或y=2等)是函数吗? 是 2.y=1的图象是什么? 3.y=1有单调性吗? 不是单调函数

1

是偶函数 4.y=1有奇偶性吗? 二、函数有奇函数、偶函数、非奇非偶函数,那么有既奇又偶函 数吗? 有 如果有,它是什么样的函数? 如:y=0(x∈R)

f ( ?0 ) ? f ( 0 ) ? ? f ( 0 ) ? 0
从图象上看

∴是既奇又偶函数
1

y=0(x∈R)的图象如图

它既关于y轴对称,又关于原点对称,

∴是既奇又偶函数

小结:

本课小结

1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,

如果都有f(-x)=-f(x) ? f(x)为奇函数
如果都有f(-x)=f(x) 2、两个性质:

?f(x)为偶函数

?它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 ? 它的图象关于y轴对称
一个函数为奇函数 3. 判断函数的奇偶性时,要注意定义域是否关于原点对称。 4.判断函数奇偶性的方法:(1)图象法;

(2)定义法:一看(看定义域是否关于原点对称)、二找(找关 系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x))、三判断

作 业:
1.教材P33习题3.3第1、2、3、4题
2.练习册P20 3.3函数的奇偶性全部
(其中二、填空题中的3不做)

练习册P16第三章函数3.1函数的概念及表示法习题讲评 一、 1. B A、D:定义域不同;C:值域不同 2. B 3. C 4. A 5. B f(2)=4a-2+a=8,∴a=2 6. C f ( 2 x ? 1) ? 3(2 x ? 1) ? 5 ? 6 x ? 8 二、 1. f ( x ) ? 4 x 2 ? x ? 5 2. f (3) ? 4 y 3. 定义域:x ? [2,??) 值域: ? { y y ? 0} 4. [?2,1] 作函数图象,可得值域 2 面积 S ? 5? 5. S ? ?r 定义域: {r r ? 0}

三、 1.

f (1) ? ?1

f ( 2) ? 1

f ( 5) ? 7

∵定义域是 x ? {0,1,2,3,5}

∴值域:y ? {?3,?1,1,3,7}

2 2. (1) 为使函数有意义,必须 x ? 4 ? 0 解得 x ? -2且x ? 2 ∴函数的定义域是 { x x ? ?2且x ? 2}

(2) 为使函数有意义,必须
?x ? 8 ? x?8 ?? ? x ? ?3 ∴函数的定义域是 [8,??) ?x ? 8 ? 0 ? ?3 ? x ? 0

3. (1) f ( x ) ? 2 x ? 1
y

3 (2) f ( x ) ? ?   x
-3

y
3 1

0 -1

1 2

x

-1 0 1 -1 -3

3

x

(3) f ( x) ? ?2 x ? 1, x ? Z且 x ? 3 定义域为{ ? 3,?2,?1,0,1,2,3}
y
7 5 3 1 -3 -2 -1 1 2 3 x -3 -5

f ( x) ? 2 x ? 1
y

0
-2

1

3 x

练习册P18第三章函数3.2函数的单调性习题讲评
一、选择题 1. A 2. 3. A B B C C D D ∴选D ∴选D ∴选C ∴选B

y ? x( x ? 2) ? x 2 ? 2 x 对称轴: x ? ?1 1 对称轴: x ? 4. 2 1 2k ? 1 ? 0 ? k ? ? 5. 2 二、填空题 1. y轴

∴选D

2. 先求定义域 3 ? 2 x ? x 2 ? 0 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? ?3 ? x ? 1 x y -3 0 -2 -1 0 1 ∴观察图象知, 递增区间为[-3,-1) 左图 [-2,0), [0,1), [-2,0), [1,2] [0,1), [1,2]
[?? ,? [?

3 2

3 0

-3

-1
?

1

三、 1. 单调区间 增函数区间 减函数区间

右图
?
2 ) [?

? ?
2 2 ,

)

[

2

,? ]

? ?

, ) 2 2 [?? ,?

?
2

)

[

?
2

,? ]

2. (1) y ? x ? 2 , x ? (3,??) 先作 y ? x ? 2 的图象

(2)

y?

1 , x ? ( 3,? ?) x?2

再把 x 轴下方的图象沿 x轴翻折上去
2 3

3

∴在相应区间内是增函数

∴在相应区间内是减函数

函数 y ? f ( x ) 的作图方法: 先作 y ? f ( x ) 的图象, 再把 x 轴下方的图象沿 x轴翻折上去 3. 简称作:“上不动,下翻上” 证明: 在R上任取 x1、x2,且设 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (?2 x1 ? 1) ? (?2 x 2 ?1) ? ?2 x1 ? 1 ? 2 x2 ? 1 ? ?2( x1? x2 )
? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? ?2( x1 ? x2 ) ? 0 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

∴函数 f ( x ) ? ?2 x ? 1 在R上是减函数 如果函数在R上是减函数,则
由f (m 2 ) ? f (? m ) ? m 2 ? ? m

4.

∵函数 f ( x )在R上是增函数
2 2

?由f (m ) ? f (? m ) ? m ? ? m ? m 2 ? m ? 0 ? m(m ? 1) ? 0

? m ? ?1或m ? 0


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