大二高数模拟卷
新程专转本第一次模拟考试
高等数学
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试题卷
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1、考生务必将密封线内的各项目及第 2 页右下角的座位号填写清楚。 2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效。 3、本试卷共 8 页，五大题 24 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分． ） f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 4 ，则 f ?( x0 ) ? ( 1．设函数 f ( x ) 在点 x0 处可导，且 lim h ?0 h (A) ?2 (B) 2 (C) ?1 (D) 1
)．
? f ( x) x?0 ? 2．若 f ( x) 是奇函数， f ( x ) 在点 x ? 0 处可导，则 x ? 0 是函数 F ( x) ? ? x 的 ? ? f ?(0) x ? 0
（ ） ． (A) 跳跃间断点 3．曲线 y ? （A） 1 条 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 ） ． （C） 3 条 （D） 4 条 ） ． (D) 连续点
x ?1 的渐近线共有（ x3 ? x
（B） 2 条
?x 4．若 e 为函数 f ( x ) 的一个原函数，则 x f ( x) d x ? （
?
（A） ( x ? 1)e? x ? C （C） ( x ?1)e 5.二次积分 （A）
?x
(B) ?( x ? 1)e? x ? C （D） ?( x ?1)e
?x
?C
1 x
?C
? d x?
0 y 0
1
f ( x, y) d y 交换积分次序后得（
（B）
） ．
0
?
1
0
d y ? f ( x, y) d x
?
1
0
d y ? f ( x, y)d x
y
1
（C）
? d y?
0
1
y
1
f ( x, y) d x
） ．
（D）
? d y?
0
1
1
y
f ( x, y)d x
6.下列级数中，收敛的是（ (A)
? n ?1 ? ? ? ? n ?1 ? n ?
?
n
(B)
2n ? 2 n ?1 n
?
(C)
n! ? n n ?1 n
?
(D)
? sin n
n ?1
?
1
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分． ）
7．设 z ? arctan
x? y ，则 d z x? y
(1,2)
?
．
8．曲线 xe y ? y ? 1 在点 (1, 0) 处的切线方程为 9．设 y ? x sin x ，则 y ? ? ．
．
10．微分方程 xy? ? y ? x3 满足初始条件 y x?2 ? 3 的特解 11．设 a ? 2 ， b ? 4 ，且 a ? b ? 4 3 ，则 a ? b ?
． .
?
?
? ?
? ?
12．幂级数
( x ? 1) n 的收敛域为 ? n n ?1
?
．
三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． ）
13．求极限 lim
x ?0
1 ? tan x ? 1 ? sin x 1 ? x sin 2 x ? 1
．
14. 求不定积分 e
?
2 x
dx .
2
15．求定积分
?
2 1
4 ? x2 d x． x2
16． 求过点 P(?1, 0, 4) ， 且平行于平面 3x ? 4 y ? z ? 10 ? 0 ， 又与直线 交的直线方程．
x ?1 y ? 3 z ? ? 相 1 1 2
17．设 z ? f ( x 2 ? y 2 , xy), 其中 f 具有二阶连续偏导数，求
?2 z ． ?x 2
18 设函数 y ? y ( x) 由参数方程 ?
? x ? arctan t d y d2 y 所确定，求 ， ． 2 d x d x2 ? y ? t ? ln(1 ? t )
3
19．计算二重积分
?? x d x d y ，其中 D 是由曲线 x
D
2
? y 2 ? 2 ( x ? 0) ，直线 y ? x 及 x 轴
所围成的平面闭区域．
20．求微分方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? (3x ? 1)e x 的通解．
四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分． ） y 2 21.某曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率满足 y ' ? ? ? 4 x ，且曲线过 (1,1) 点， x
（1）求该曲线方程； （2）求由 y ? 1 ，曲线及 y 轴围成的区域面积； （3）求上述图形绕 y 轴旋转所得的旋转体体积.
4
22．已知 f ( x) ?
2x ?1 ，试求： ( x ? 1)2
（1）函数 f ( x ) 的单调区间与极值； （2）曲线 y ? f ( x) 的凹凸区间与拐点； （3）曲线 y ? f ( x) 的渐近线．
五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分． ）
23．证明：当 x ? 0 时， 1 ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2 ．
5
24． 设 f ( x ) 在 [0, a ] 上可导， 且 f (0) ? 0 , f ?( x) ? 0 ， 证明： 在 ( 0 , a ) 内存在唯一的点 ? ， 使 y ? f ( x) , x ? a , y ? 0 所围平面图形被直线 y ? f (? ) 分成面积相等的两部分．
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