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大二高数模拟卷


新程专转本第一次模拟考试

高等数学
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注意事项:

试题卷
姓名:

1、考生务必将密封线内的各项目及第 2 页右下角的座位号填写清楚。 2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上,答在草稿纸上无效。 3、本试卷共 8 页,五大题 24 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 4 ,则 f ?( x0 ) ? ( 1.设函数 f ( x ) 在点 x0 处可导,且 lim h ?0 h (A) ?2 (B) 2 (C) ?1 (D) 1

).

? f ( x) x?0 ? 2.若 f ( x) 是奇函数, f ( x ) 在点 x ? 0 处可导,则 x ? 0 是函数 F ( x) ? ? x 的 ? ? f ?(0) x ? 0
( ) . (A) 跳跃间断点 3.曲线 y ? (A) 1 条 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 ) . (C) 3 条 (D) 4 条 ) . (D) 连续点

x ?1 的渐近线共有( x3 ? x
(B) 2 条

?x 4.若 e 为函数 f ( x ) 的一个原函数,则 x f ( x) d x ? (

?

(A) ( x ? 1)e? x ? C (C) ( x ?1)e 5.二次积分 (A)
?x

(B) ?( x ? 1)e? x ? C (D) ?( x ?1)e
?x

?C
1 x

?C

? d x?
0 y 0

1

f ( x, y) d y 交换积分次序后得(
(B)

) .
0

?

1

0

d y ? f ( x, y) d x

?

1

0

d y ? f ( x, y)d x
y

1

(C)

? d y?
0

1

y

1

f ( x, y) d x
) .

(D)

? d y?
0

1

1

y

f ( x, y)d x

6.下列级数中,收敛的是( (A)

? n ?1 ? ? ? ? n ?1 ? n ?
?

n

(B)

2n ? 2 n ?1 n

?

(C)

n! ? n n ?1 n

?

(D)

? sin n
n ?1

?

1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. )
7.设 z ? arctan

x? y ,则 d z x? y

(1,2)

?



8.曲线 xe y ? y ? 1 在点 (1, 0) 处的切线方程为 9.设 y ? x sin x ,则 y ? ? .



10.微分方程 xy? ? y ? x3 满足初始条件 y x?2 ? 3 的特解 11.设 a ? 2 , b ? 4 ,且 a ? b ? 4 3 ,则 a ? b ?

. .

?

?

? ?

? ?

12.幂级数

( x ? 1) n 的收敛域为 ? n n ?1
?



三、计算题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分. )

13.求极限 lim
x ?0

1 ? tan x ? 1 ? sin x 1 ? x sin 2 x ? 1



14. 求不定积分 e

?

2 x

dx .

2

15.求定积分

?

2 1

4 ? x2 d x. x2

16. 求过点 P(?1, 0, 4) , 且平行于平面 3x ? 4 y ? z ? 10 ? 0 , 又与直线 交的直线方程.

x ?1 y ? 3 z ? ? 相 1 1 2

17.设 z ? f ( x 2 ? y 2 , xy), 其中 f 具有二阶连续偏导数,求

?2 z . ?x 2

18 设函数 y ? y ( x) 由参数方程 ?

? x ? arctan t d y d2 y 所确定,求 , . 2 d x d x2 ? y ? t ? ln(1 ? t )

3

19.计算二重积分

?? x d x d y ,其中 D 是由曲线 x
D

2

? y 2 ? 2 ( x ? 0) ,直线 y ? x 及 x 轴

所围成的平面闭区域.

20.求微分方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? (3x ? 1)e x 的通解.

四、综合题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分. ) y 2 21.某曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率满足 y ' ? ? ? 4 x ,且曲线过 (1,1) 点, x
(1)求该曲线方程; (2)求由 y ? 1 ,曲线及 y 轴围成的区域面积; (3)求上述图形绕 y 轴旋转所得的旋转体体积.

4

22.已知 f ( x) ?

2x ?1 ,试求: ( x ? 1)2

(1)函数 f ( x ) 的单调区间与极值; (2)曲线 y ? f ( x) 的凹凸区间与拐点; (3)曲线 y ? f ( x) 的渐近线.

五、证明题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,满分 18 分. )
23.证明:当 x ? 0 时, 1 ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2 .

5

24. 设 f ( x ) 在 [0, a ] 上可导, 且 f (0) ? 0 , f ?( x) ? 0 , 证明: 在 ( 0 , a ) 内存在唯一的点 ? , 使 y ? f ( x) , x ? a , y ? 0 所围平面图形被直线 y ? f (? ) 分成面积相等的两部分.

6


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