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《3.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式》 教案


两角和与差的正弦、余弦、正切公式
适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 两角和与差的正弦公式 两角和与差的余弦公式 两角和与差的正切公式 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 教学目标 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切 公式,了解它们的内在联系. 教学重点 教学难点 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值 2.公式逆用、变形用(尤其是余 弦二倍角的变形用) 公式的灵活应用 适用年级 课时时长(分钟) 高三 60

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教学过程
复习预习 1、用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图的方法; 2、函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤: 法一 法二

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知识讲解 考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β cos(α± β)=cos_αcos_β?sin_αsin_β tan(α± β)= tan α± tan β 1?tan αtan β

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考点 2

二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α=2sin_αcos_α cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α tan 2α= 2tan α 1-tan2α

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三、例题精析 【例题 1】 【题干】 (1) (2) 化简下列各式:

?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? ; sin 2α sin 50° ?1+ 3tan 10° ?-cos 20° . cos 80° 1-cos 20°

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α α α?? α α α? ? ?2sin2cos2-2sin22??2sin2cos2+2sin22? ? ?? ? 【解析】 (1)原式= α α 4sin2cos2cos α α?? α α? α ? 2α α? α α ? α ?cos2-sin2??cos2+sin2?sin ?cos 2-sin22?sin cos αsin2 2 2 ? ?? ? ? ? α = = = α =tan2. α α cos2cos α cos2cos α cos2cos α cos 10° + 3sin 10° 2sin 40° (2)∵sin 50° (1+ 3tan 10° )=sin 50° · = sin 50° · =1, cos 10° cos 10° cos 80° 1-cos 20° =sin 10° 2sin2 10° = 2sin210° . ∴ sin 50° ?1+ 3tan 10° ?-cos 20° 1-cos 20° = = 2. 2sin210° cos 80° 1-cos 20°

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【例题 2】 β? π 1 ? ?α ? 2 【题干】已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ?

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π 【解析】∵0<β<2<α<π, π α π π β ∴-4<2-β<2,4<α-2<π, ?α ? ∴cos?2-β?= ? ? β? ? sin?α-2?= ? ? 5 ?α ? 1-sin2?2-β?= , ? ? 3 β? 4 5 ? 1-cos2?α-2?= 9 , ? ?

α+β β? ?α ?? ?? ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? β? ? α ? β? ?α ? ? ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?-9?× 3 + 9 ×3= 27 , ? ? α+β 49×5 239 ∴cos(α+β)=2cos2 2 -1=2× 729 -1=-729.

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【例题 3】 1 13 π 【题干】已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2. (1) 求 tan 2α 的值 ; (2)求 β.

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1 π 【解析】 (1)由 cos α=7,0<α<2,得 sin α= 1-cos2α= 故 tan α= ?1? 4 3 1-?7?2= 7 . ? ?

sin α 4 3 7 = × =4 3. cos α 7 1 2×4 3 2tan α 8 3 =- 47 . 2 = 2 1-tan α 1-?4 3?

于是 tan 2α=

π π 13 (2)由 0<β<α<2,得 0<α-β<2.又∵cos(α-β)=14, ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= ?13? 3 3 1-?14?2= 14 . ? ?

由 β=α-(α-β),得 cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π ∴β=3.

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【例题 4】 π? ? 【题干】 (天津高考)已知函数 f(x)=tan?2x+4?. ? ? (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π? ? ?α? (2)设 α∈?0,4?,若 f?2?=2cos 2α,求 α 的大小. ? ? ? ?

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π π π kπ 【解析】(1)由 2x+4≠2+kπ,k∈Z,得 x≠8+ 2 ,k∈Z,
? ? π kπ π 所以 f(x)的定义域为?x∈R|x≠8+ 2 ,k∈Z?.f(x)的最小正周期为2. ? ?

π? ? ?α+4? sin π? ? ? ?α? ? 2 2 (2)法一:由 f?2?=2cos 2α,得 tan?α+4?=2cos 2α, π?=2(cos α-sin α), ? ? ? ? ? cos?α+4? ? ? 整理得 sin α+cos α cos α-sin α =2(cos α+sin α)(cos α-sin α).

π? 1 1 ? ∵α∈?0,4?,所以 sin α+cos α≠0.∴(cos α-sin α)2=2,即 sin 2α=2. ? ? π? π? π π ? ? 由 α∈?0,4?,得 2α∈?0,2?,∴2α=6,即 α=12. ? ? ? ? π? ?α? ? 法二:∵由 f?2?=2cos 2α,得 tan?α+4?=2cos 2α, ? ? ? ? π? ? ?π ? ?π ? 即 tan?α+4?=2sin?2+2α?=2sin2?4+α?, ? ? ? ? ? ?

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π? ? sin?α+4? ? ? ?π ? ?π ? ?4+α?cos?4+α?. ∴ = 4sin π? ? ? ? ? ? cos?α+4? ? ? π? π? ? ? 又∵α∈?0,4?,∴sin?α+4?≠0. ? ? ? ? ∴ ?π ? ?π ? 1 =4cos?4+α?.∴cos2?4+α?=4. π ? ? ? ? ? ? cos?α+4? ? ? 1

π? π ? ?π π? ∵α∈?0,4?,∴4+α∈?4,2?. ? ? ? ? π ?π ? 1 π ∴cos?4+α?=2,4+α=3. ? ? π π π 即 α=3-4=12.

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课堂运用 【基础】 1.(2012· 辽宁高考)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A.-1 2 C. 2 2 B.- 2 D.1 )

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π? 3π 3π ? 解析:选 A 由 sin α-cos α= 2sin ?α-4?= 2,α∈(0,π),解得 α= 4 ,所以 tan α=tan 4 =-1. ? ?

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3 2.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= 3 ,则 cos 2α=( 5 A.- 3 5 C. 9 5 B.- 9 5 D. 3

)

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3 1 2 5 解析:选 A 将 sin α+cos α= 3 两边平方,可得 1+sin 2α=3,sin 2α=-3,所以(-sin α+cos α)2=1-sin 2α=3. 15 因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0,所以-sin α+cos α=- 3 ,所以 cos 2α=(-sin α+cos α)· (cos α+sin α) 5 =- 3 .

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π 3.已知 α+β=4,则(1+tan α)(1+tan β)的值是( A.-1 C .2 B.1 D.4

)

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解析:选 C

tan α+tan β π ∵α+β=4,tan(α+β)= =1, 1-tan αtan β

∴tan α+tan β=1-tan αtan β. ∴(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β =1+1-tan αtan β+tan αtan β=2.

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【巩固】 4 . 3-sin 70° =________. 2-cos210°

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2 3-sin 70° 3-cos 20° 3- 10° - 解析: = = 2-cos210° 2-cos210° 2-cos210°

=2.

答案:2

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5.(2013· 南通模拟)设 f(x)=

1+cos 2x ? π? 2 ?x+4?的最大值为 2+3,则常数 a=________. + sin x + a sin ? ? ?π ? 2sin?2-x? ? ?

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1+2cos2x-1 ? π? 解析:f(x)= +sin x+a2sin?x+4? 2cos x ? ? ? π? =cos x+sin x+a2sin?x+4? ? ? ? π? ? π? = 2sin?x+4?+a2sin?x+4? ? ? ? ? ? π? =( 2+a2)sin?x+4?. ? ? 依题意有 2+a2= 2+3,故 a=± 3. 答案:± 3

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【拔高】 π? ? 6.已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1,cos θ)互相垂直,其中 θ∈?0,2?. ? ? (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; 10 π (2)若 sin(θ-φ)= 10 ,0<φ<2,求 cos φ 的值.

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π? 2 5 5 ? 解:(1)∵a⊥b,∴sin θ-2cos θ=0,又∵θ∈?0,2?,∴sin θ= 5 ,cos θ= 5 . ? ? 10 3 10 3 10 (2)∵sin(θ-φ)= 10 ,∴cos(θ-φ)= 10 或- 10 . 3 10 当 cos(θ-φ)= 10 时,cos φ=cos[θ-(θ-φ)] 5 3 10 2 5 10 2 =cos θ· cos(θ-φ)+sin θ· sin(θ-φ)= 5 × 10 + 5 × 10 = 2 . 当 cos(θ-φ)=- 3 10 时,cos φ=cos[θ-(θ-φ)]=cos θ· cos(θ-φ)+sin θ· sin(θ-φ) 10

5 3 10 2 5 10 2 =- 5 × 10 + 5 × 10 =- 10 <0. π? 2 ? ∵φ∈?0,2?,∴cos φ<0 不合题意,舍去.∴cos φ 的值等于 . 2 ? ?

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π ? ? 7.(2013· 岳阳模拟)已知向量 a=(sin ωx,cos ωx),b=(cos φ,sin φ),函数 f(x)=a· b?ω>0,3<φ<π?的最小正周期为 2π, ? ? ?π 3? 其图象经过点 M? , ?. ?6 2 ? (1)求函数 f(x)的解析式; π? 3 12 ? (2)已知 α,β∈?0,2?,且 f(α)=5,f(β)=13,求 f(2α-β)的值. ? ?

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解:(1)依题意有 f(x)=a· b=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ=sin(ωx+φ). 2π ∵函数 f(x)的最小正周期为 2π,∴2π=T= ω ,解得 ω=1. 3 ?π 3? ?π ? 将点 M? , ?代入函数 f(x)的解析式,得 sin?6+φ?= 2 . ? ? ?6 2 ? π π 2π π ? π? ∵3<φ<π,∴6+φ= 3 ,∴φ=2.故 f(x)=sin?x+2?=cos x. ? ? π? 3 12 ? (2)依题意有 cos α=5,cos β=13,而 α,β∈?0,2?, ? ? ∴sin α= ?3? 4 1-?5?2=5,sin β= ? ? 5 ?12? 1-?13?2=13, ? ?

24 9 16 7 ∴sin 2α=25,cos 2α=cos2α-sin2α=25-25=-25, 7 12 24 5 36 ∴f(2α-β)=cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=-25× + × = 13 25 13 325.

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课程小结 1.两角和与差的三角函数公式的理解: (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和,则后面中间为“+”号;前面是两角差,则 后面中间为“-”号. (2)余弦公式概括为“余余,正正符号异”. (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令 β=α 所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1- 2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考题中常有体现. 2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为:对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特 殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、 证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.

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