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排列组合的综合运用


例1:7种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花 盆中,问有多少不同的种法?
小结:当排列或组合问题中,若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候,那么,一般先按排这些特殊元素或位置,然后再 按排其它元素或位置,这种方法叫特殊元素(位置)分析法。

例2:要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目 的节目单,如果舞蹈节目不排头,并且任何2个 舞蹈节目不连排,则不同的排法有几种?
小结:当某几个元素要求不相邻时,可以先排没有条件限 制的元素,再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中,这种方法叫插空法。

例3:某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮, 其中3个方按钮一定要装在一起,而且红色方钮必在另两 方钮中间,有多少种装法? 捆绑法

例4 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中 取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问 题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪 来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就 会很容易解决问题. 解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 3 1 1 ? C23 C10 共有 C23 种取法. 结论: 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转 化为求剩法.

例5:12个相同的球分给3个人,每人至少一 个,而且必须全部分完,有多少种分法?
解:将12个球排成一排,一共有11个空隙,将两个隔板插入 这些 空隙中,规定两 隔板分成的左中右三部分球分别分给3个人,每一 种隔法 对应一种分法,于是分法的总数为 种方法。 2

C11

=55

小结:将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),可以用m-1 块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有的插法数就是 分法数,这种方法叫隔板法。

例6.某区有7条南北向街道5条东西向街(如 图)从A点走向B点,最短走法有多少种?
6 4 C10 ? C10 ? 210

例7 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲 的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列 中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种 情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避 免了问题的复杂性. 9 种,“语文安排 解 不加任何限制条件,整个排法有 A9 在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法 1 9 A9 是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 2 种 . 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与 结论
否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求 出全体,就可以得到所求.

例8.把5件相同奖品发给4位先进工作者,每 人至少一份,有多少种不同的发放方法?

例9.把5件不同奖品发给4位先进工作者,每人至少 一份,有多少种不同的发放方法?
有6只不同的灯泡,5个不同的灯座,现在要从 中选配成2盏灯,共有 种不一样的选配. ---先组合后排列

重排问题求幂策略 例10.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有7种分法. 把第二名实习生分配 依此类推,由分步计 到车间有7种分法, 6 数原理共有7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排 各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 n 种 m

小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解题 技巧,具体有元素分析法,位置分析法,插空法,捆绑法, 剩余法,对等法,隔板法;对于不同的题目,根据它们的 条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一 些比较复杂的问题,我们可以将几种技巧结合起来应用, 便于我们迅速准确地解题.在这些技巧中所涉及到的数 学思想方法,例如:分类讨论思想,变换思想,特殊化思 想等等,要在应用中注意掌握.

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其数啊!这可怜的三个娃儿??”耿老爹痛哭失声,再也说不出一句话来??“耿大哥啊!”“耿伯伯啊!”李长善夫妇和尚 文、尚英、尚武兄妹三人也都痛哭失声??华老郎中终于擦把虚汗松了一口气,也流下了心酸的泪水。哭罢多时,耿老爹对李 长善全家人和华老郎中谈了自己当初带着三个孩子远道南下创业的初衷,谈了他们在汉口镇上首次创业的成功、洪灾后的无奈 过江、白家的热心收留,以及以后发生的所有一切。说到为了抄近路翻越碧山而遭遇突如其来的天降洪灾,三个亲生骨肉生死 不明时,耿老爹再次痛哭失声??了解了这些之后,华老郎中和李长善全家人对耿老爹更加敬佩了。想到不幸遇难的耿家三兄 妹,李长善全家人心酸的眼泪怎么也擦不干。华老郎中的心里也久久不能平静??第二天晚饭后,华老郎中继续与耿老爹攀谈, 发现他对洪灾逃生和逃生之后的记忆还有些个模糊。所以他认为,还必须得继续一段时间,这个顽疾才能算是被彻底治愈了! 华老郎中也看到,李家三兄妹并没有因为耿老爹已经清醒过来,而不再把他当“爹”来对待了。晚饭后,他们依然还是亲亲热 热地围在耿老爹的周围,只是将“爹”改成了“耿伯伯”,而耿老爹也只是将“正儿”和“小直子”改成了“文儿”和“武 儿”。至于“英子”,是不需要改口的。考虑到他们之间已经建立起了真挚感人的父子情谊,也为了耿老爹的后续,华老郎中 郑重地向李长善夫妇提出建议:“这自古就说了,人间最难是真情。你们的三个儿女和他们耿伯伯之间的感情是多么真挚啊! 你们如果让尚文、尚英和尚武认耿老弟作义父,岂不更好!再者说了,这样做,对耿老弟的后续肯定会有利的!”李长善夫妇 听了,高兴地拍手称好,连声说:“老先生言之有理,言之有理啊!我夫妻也正有这个意思呢!”华老郎中转而再与耿老爹和 李家三兄妹说这事儿。耿老爹当即就高兴地流下了眼泪,哽咽着说:“我虽然不幸丢失了自己的三个骨肉,但以后有文儿、英 子和武儿做我的义子和义女,这也是上天的恩赐啊!在我的心目中,他们三个早已经就是我的亲生娃儿了哇!”李尚文说: “我很愿意认耿伯伯为义父!”李尚英说:“我真得很喜欢这个爹爹呢!”李尚武则说:“耿伯伯本来就是我的爹,他给了我 第二次生命呢!我有两个爹!”于是,李长善夫妇当即就准备香案和跪垫,请耿老爹端坐在正堂上,在华老郎中的见证下,让 李尚文、李尚英和李尚武兄妹三人并排向耿老爹行跪拜礼,隆重地认了义父:“义父在上,义子李尚文给您磕头了!”“义父 在上,义女李尚英给您磕头了!”“义父在上,义子李尚武给您磕头了!”耿老爹和李家仨兄妹,还有李长善夫妇和华老郎中, 全都激动得热泪盈眶!耿老爹泪流满面地将李家兄妹三个一一扶


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