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云南省师大附中2016届高三上学期高考适应性月考(四)数学(文)试卷


云南师范大学附属中学 2016 届高考适应性月考(四) 数学文试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合 M ? {x | x ? 4} , N ? {x | log 2 x ? 1} ,则 M ? N ? (
2



A. [?2, 2]

B. {2}

C. (0, 2]

D. (??, 2] )

2.设 i 是虚数单位,复数 A.-2 B.2

a?i 是纯虚数,则实数 a=( 2?i 1 1 C. ? D. 2 2

3.某班级有 50 名学生, 现用系统抽样的方法从这 50 名学生中抽出 10 名学生, 将这 50 名学 生随机编号为 1~50 号, 并按编号顺序平均分成 10 组 (1~5 号, 6~10 号, ?, 46~50 号) , 若在第三组抽到的编号是 13,则在第七组抽到的编号是( A.23 B.33 C.43 D.53 )

4.已知向量 a, b ,其中 | a |? 1,| b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则向量 a 和 b 的夹角是( A.

? ?

?

?

?

? ?

?

?



?
2

B.

?
3

C.

?
4

D.

?
6

? ?0, x?R, 5.若函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x , 又 f ( x1 ) ? 2 ,f ( x2 ) ? 0 , 且 | x1 ? x2 |
的最小值为 A.

1 3

3? ,则 ? 的值为( 2 2 4 B. C. D.2 3 3



? x ? y ?1 ? 6.已知变量 x,y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 3 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值是( ? x?0 ?
A.4 B.3 C .2 D.1 )



7.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 的值为( A.2 B.3 C.4 D.5

1

8.抛物线 y ? 4 x 上一点 P 到它的焦点 F 的距离为 5,O 为坐标原点,则 ?PFO 的面积为
2

( A.1

) B.

3 2

C.2

D.

5 2


9. 一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.20 B.24 C.16 D. 16 ?

3 10 2

10. 数列 {an } 是等差数列,若 正值时,n 等于( A.17 B.16
2 2

a9 ? ?1 ,且它的前 n 项和 S n 有最大值,那么当 S n 取得最小 a8

) C.15 D.14

10.已知圆 C:x ? y ? 2 x ? 1 ? 0 , 直线 l : 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 , 圆 C 上任意一点 P 到直线 l 的
2

距离小于 2 的概率为( A.



1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

1 4

?1 ? x ? 1, x ? 2 12. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ,方程 f ( x) ? ax ? 0 恰有 3 个不同实根,则实数 a 的 ? ? ln x, x ? 2
取值范围是( A. ( ) B. (0, )

ln 2 1 , ) 2 e

1 2

C. (0, )

1 e

D. ( , )

1 1 e 2

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数,当 x ? [0, ] 时, f ( x) ? x ? 1 ,则

3 2

5 f( )? 2

.

14.已知正三棱柱的侧面展开图是相邻边长分别为 3 和 6 的矩形,则该正三棱柱的体积 是 .
2 2

15. ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ?ABC 的面积 S ? (b ? c) ? a , 则 sin A ? 16.点 P 为双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上的一点,其右焦点为 F2 ,若直线 PF2 的 a 2 b2
.

斜率为 3 ,M 为线段 PF2 的中点,且 | OF2 |?| F2 M | ,则该双曲线的离心率为

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (2 cos

?

?x

? ?x , 3) , b ? (3cos ,sin ? x) , ? ? 0 , 2 2

设函数 f ( x) ? a ? b ? 3 的部分图象如图所示,A 为图象的最低点,B,C 为图象与 x 轴的交 点,且 ?ABC 为等边三角形,其高为 2 3 . (1)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域;

? ?

(2)若 f ( x0 ) ?

8 3 10 2 ,且 x0 ? (? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 5 3 3

3

18. (本小题满分 12 分) 某校联合社团有高一学生 126 人,高二学生 105 人,高三学生 42 人,现用分层抽样的方法 从中抽取 13 人进行关于社团活动的问卷调查.设问题的选择分为 “赞同” 和 “不赞同” 两种, 且每人都做出了一种选择.下面表格中提供了被调查学生答卷情况的部分信息. (1)完成下列统计表:

(2)估计联合社团的学生中“赞同”的人数; (3)从被调查的高二学生中选取 2 人进行访谈,求选到的两名学生中恰好有一人“赞同” 的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ?BAD ? 600 , 侧面 SAB ? 底面 ABCD,并且 SA ? SB ? AB ? 2 ,F 为 SD 的中点. (1)证明: SB / / 平面 FAC; (2)求三棱锥 S ? FAC 的体积.

4

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

ln x a , g ( x) ? f ( x) ? x ,若 x ? 1 是函数 g ( x) 的极值点. ? x ?1 2x n 恒成立,求整数 n 的最大值. x

(1)求实数 a 的值; (2)若 f ( x) ?

21. (本小题满分 12 分)如图,过椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 内一点 A(0,1) 的动直线 l a 2 b2

与椭圆相交于 M,N 两点,当 l 平行于 x 轴和垂直于 x 轴时,l 被椭圆所截得的线段长均为 2 2

???? ? ???? ???? ? ???? | BM | ? | AN |?| AM | ? | BN | ?若存在,求出定点 B 的坐标,若不存在,请说明理由.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
5

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,?ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E,?BAC 的平分线与 BC 相交 于点 D,求证: (1) EA ? ED ; (2) DB ? DE ? DC ? BE .

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? ? x ? ?5 ? 2 cos t ? y ? 3 ? 2 sin t ?

, (t 为参数) ,在以原点

O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

? ? ? cos(? ? ) ? ? 2 ,A,B 两点的极坐标分别为 A(2, ), B(2, ? ) .
4 2
(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)点 P 是圆 C 上任一点,求 ?PAB 面积的最小值. 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | . (1)解不等式: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ; (2)已知 a ? 2 ,求证: ?x ? R, f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.

6

云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(四) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1. M ? [?2,2],N ? (0,2], ∴M ? N ? (0,2] ,故选 C. 2.
a ? i (a ? i)(2 ? i) (2a ? 1) ? (a ? 2)i 1 是纯虚数,∴2a ? 1 ? 0 ,∴a ? ,故选 D. ? ? 2?i 5 5 2

1 C

2 D

3 B

4 B

5 A

6 D

7 B

8 C

9 A

10 C

11 D

12 A

3.抽样间隔为

50 ? 5 ,由系统抽样的特点,可得所抽编号成等差数列,由等差数列性质知 10

a7 ? a3 ? 4 ? 5 ? 33 ,故选 B.

? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? 4 . 由 题 意 知 , a ? ( a ? b ) ? a ? a ?b ? 0 , 所 以 a ? b ? 1 , 设 a 与 b 的 夹 角 为 ? , 则
? ? a ?b 1 π cos? ? ? ? ? , ∴? ? ,故选 B. 3 |a| ?| b | 2
π? T 3π 1 ? 5.因为 f ( x) ? 2sin ? ? x ? ?, ,所以 T ? 6π ,所以 ? ? ,故选 | x1 ? x2 | 的最小值为 ? 3? 4 2 3 ?

A. 6.作出可行域如图 1 中阴影部分,目标函数过点 (0, 1) 时, 最小值为 1,故选 D.

7

7.由程序框图知,输出的结果为 s ? log 2 3 ? log 3 4 ? … ? log k (k ? 1)
? log 2 (k ? 1) ,当 k ? 7 时, s ? 3 ,故选 B.

8.抛物线的焦点为 F (1,0) ,准线 l: x ? ?1 ,设点 P( x,y ) ,则 x ? 1 ? 5 ,∴x ? 4 , y ? ?4 ,
∴S△PFO ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ,故选 C. 2

9.该几何体为一个正方体截去三棱台 AEF ? A1 B1 D1 ,如图 2 所示, 截面图形为等腰梯形 B1 D1 FE , EF ? 2,B1 D1 ? 2 2,B1 E ? 5 , 梯形的高 h ? 5 ?
1 3 2 9 1 3 2 ,所以 S梯形B1D1FE ? ? ( 2 ? 2 2) ? ? , ? 2 2 2 2 2

所以该几何体的表面积为 20,故选 A.

10. ∵数列 {an } 的前 n 项和有最大值, ∴数列 {an } 为递减数列, 又 且 a8 ? a9 ? 0 , 又 S15 ?

a9 ? ?1 , ∴a8 ? 0,a9 ? 0 a8

15(a1 ? a15 ) 16(a1 ? a16 ) ? 15a8 ? 0,S16 ? ? 8(a8 ? a9 ) ? 0 , 故 当 2 2

n ? 15 时, Sn 取得最小正值,故选 C.

11.圆 C: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ,圆心 (1,0) ,半径 r ? 2 ,因为圆心到直线的距离是 3,所以 圆上到直线距离小于 2 的点构成的弧所对弦的弦心距是 1, 设此弧所对圆心角为 ? , 则
cos

?
2

?

1 2

?

π 2 2 ? π π ,所以 ? ,即 ? ? , ? 所对的弧长为 ? 2 ? π ,所以所求 2 2 2 2 4 2
8

2π 1 2 概率为 ? ,故选 D. 2π ? 2 4

12.当直线 y ? ax 与曲线 y ? ln x 相切时,设切点为 ( x0,ln x0 ) ,切线斜率为 k ? 方程为 y ? ln x0 ?

1 ,则切线 x0

1 1 ( x ? x0 ) ,切线过点 (0,0) ,∴ ? ln x0 ? ?1,x0 ? e > 2 ,此时 a ? ; e x0

当直线 y ? ax 过点 (2,ln 2) 时, a ?

ln 2 ? ln 2 1 ? .结合图象知 a ? ? , ? ,故选 A. 2 ? 2 e?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】
3 ?5? ?5 ? ? 1? ?1? 1 13. f ? ? ? f ? ? 3 ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? ? 1 ? . 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

13
3 2

14
3 3 或3 3 2

15
8 17

16
(1,2]

14.若正三棱柱的高为 6 时,底面边长为 1, V ? 为 3 时,底面边长为 2, V ? 15.由余弦定理 cos A ?

1 3 3 3 ;若正三棱柱的高 ? 1? 1? ?6 ? 2 2 2

1 3 ? 2? 2? ?3 ? 3 3 . 2 2

b2 ? c2 ? a 2 , ∴b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A , 2bc 1 ∵S ? (b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? 2bc(cos A ? 1) ,又 S ? bc sin A , 2

1 1 ∴2bc(cos A ? 1) ? bc sin A ,∴cos A ? 1 ? sin A , 2 4

1 8 ?1 ? ∴sin 2 A ? ? sin A ? 1? ? 1, ∴sin A ? . 即 cos A ? sin A ? 1, 4 4 17 ? ?

2

16 . 设 左 焦 点 为 F1 , 则 | PF1 |? 2 | OM |?
| PF1 | ? | PF2 | ≥ | F1 F2 |

c c , ∵| PF2 | ? | PF1 |? 2a , ∴| PF2 |? ? 2a , 又 2 2

c ∴c ? 2a≥2c, ∴2a≥c, ∴e ? ≤2 ,∴e ? (1,2] . a

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)
9

解: (Ⅰ)由已知可得

得? ?

π , 4

????????????????????????????(4 分)

? πx π ? 故 f ( x) ? 2 3 sin ? ? ? , ? 4 3?

所以函数 f ( x) 的值域为 [?2 3,2 3] . (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?
8 3 , 5

????????????????(6 分)

π? π? 4 ? πx ? πx 由(Ⅰ)有 f ( x0 ) ? 2 3 sin ? 0 ? ? ,即 sin ? 0 ? ? ? , 3? 3? 5 ? 4 ? 4 πx π ? π π? ? 10 2 ? 由 x0 ? ? ? , ? ,得 0 ? ? ? ? , ? , 4 3 ? 2 2? ? 3 3?

π? 3 ? πx ?4? 所以 cos ? 0 ? ? ? 1 ? ? ? ? , 3? 5 ?5? ? 4

2

?? πx π π? π? ? πx 故 f ( x0 ? 1) ? 2 3 sin ? 0 ? ? ? ? 2 3 sin ?? 0 ? ? ? 4 4 3 4 3? ? ? ?? ? 2 3? 2 ? ? πx0 π ? π ?? ? πx sin ? ? ? ? cos ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? 4 3? 3 ?? ? 4

π? 4? ?

? 4 3? 7 6 ? 6 ?? ? ? ? . 5 ?5 5?
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得

?????????????????????? (12 分)

赞同 高一 高二 高三 4 3 1

不赞同 2 2 1

合计 6 5 2

??????????????????????????????(3 分)
10

4 3 1 (Ⅱ) ? 126 ? ? 105 ? ? 42 ? 168 (人) . 6 5 2

?????????????(6 分)

(Ⅲ)设高二学生中“赞同”的三名学生的编号为 1,2,3, “不赞同”的两名学生的编号为 4, 5,选出两人有 (1,2),(1, 3),(1,4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) ,共 10 种结果, 其中恰好有一人“赞同” ,一人“不赞同”的有 (1,4),(1,5),(2,4),(2, 5),(3,4),(3, 5) , 共 6 种结果满足题意,且每种结果出现的可能性相等, 所以恰好有一人“赞同”的概率为 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图 3,连接 BD 交 AC 于点 E,连接 EF, ∵ABCD 是菱形,∴EB ? ED ,
∴EF∥SB ,

6 3 ? . 10 5

?????????????(12 分)

? EF ? 平面FAC, 又? ? SB ? 平面FAC,

∴ SB∥平面FAC .?????????????(6 分)

(Ⅱ)解:如图 4,取 AB 的中点 O,连接 SO,OD, 过 F 作 FG∥SO 交 OD 于点 G,

∵SO ? 平面ABCD ,

∴FG ? 平面ACD ,
且 FG ?
1 3 , SO ? 2 2

11

S△ACD ?

1 ? 2 ? 2sin120? ? 3 , 2

∴三棱锥 S?FAC 的体积 V三棱锥S ? FAC ? V三棱锥S ? ACD ? V三棱锥F ? ACD
1 1 1 1 ? V三棱锥S ? ACD ? ? ? 3 ? 3 ? . 2 2 3 2

?????????????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分)
1 ( x ? 1) ? ln x a 1 x ? ? 解: (Ⅰ) g ( x) ? f ( x) ? , ? ? 2? 2 ( x ? 1) 2x 2 x 2 x 1

依题意, g ?(1) ? 0 ,据此,
1 ? (1 ? 1) ? ln1 a 1 1 ? ? ? 0 ,解得 a ? 2 . 2 2 (1 ? 1) 2 ?1 2 1

?????????????(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? 于是 n ?

ln x 1 n ln x 1 n ? ,由 f ( x) ? ,得 ? ? , x ?1 x x x ?1 x x

x ln x ? 1 对 x ? 0 恒成立, x ?1 ln x ? x ? 1 x ln x 令 h( x ) ? , ? 1 ,则 h?( x) ? ( x ? 1) 2 x ?1

记 t ( x) ? ln x ? x ? 1 ,求导得 t ?( x) ? 可知 t ( x) 在区间 (0,? ?) 上递增,

1 ?1 ? 0 , x

1 1 ?1? ?1? 由 t ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? 1 ? 0,t ? ? ? ?1 ? ? 1 ? 0 , e e ?e ? ?e? ? 1 1? 可知 ?x0 ? ? 2 , ? 使得 t ( x0 ) ? 0 ,即 h?( x0 ) ? 0 , ?e e?

当 x ? (0,x0 ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递减; 当 x ? ( x0,? ?) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递增,

12

所以 h( x) min ? h( x0 ) ?

x0 ln x0 ?1 . x0 ? 1

∵t ( x0 ) ? ln x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,
∴ln x0 ? ? x0 ? 1 ,

∴h( x) min ?

x0 ln x0 1? ? 1 ? 1 ? 1 ? x0 ? ?1 ? , 1? 2 ? , x0 ? 1 e e ? ?

故当 n ? h( x) 恒成立时,只需 n ? (??,0] ,又 n 为整数, 所以,n 的最大值是 0. 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 b ? 2 ,点 ( 2, 1) 在椭圆上, 所以
2 1 ? 2 ? 1 ,解得 a ? 2 , 2 a b

?????????????????????(12 分)

所以椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

????????????????(4 分)

???? ? ???? ???? ? ???? (Ⅱ)当直线 l 平行于 x 轴时,则存在 y 轴上的点 B,使 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,设
B(0,y0 )( y0 ? 1) ;

当直线 l 垂直于 x 轴时, M (0, 2),N (0,? 2) ,
???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? | BM | | AM | 若使 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,则 ???? ? ???? , | BN | | AN |
| y0 ? 2 | | y0 ? 2 | ? 2 ?1 2 ?1



,解得 y0 ? 1 或 y0 ? 2 .

所以,若存在与点 A 不同的定点 B 满足条件,则点 B 的坐标只可能是 (0,2) . ??????????????????????????????(6 分)
???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? | BM | | AM | 下面证明:对任意直线 l,都有 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,即 ???? ? ???? . | BN | | AN |

当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立; 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 . 设 M,N 的坐标分别为 ( x1,y1 ),( x2,y2 ) ,
13

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 2 ? 0 , 2 ? y ? kx ? 1 ?
其判别式 ? ? (4k ) 2 ? 8(2k 2 ? 1) ? 0 ,
4k 2 , ,x1 x2 ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 1 1 x ? x2 因此, ? ? 1 ? 2k . x1 x2 x1 x2

所以, x1 ? x2 ? ?

易知点 N 关于 y 轴对称的点 N ? 的坐标为 (? x2,y2 ), 又 k BM ?
k BN ? ? y1 ? 2 kx1 ? 1 1 ? ?k? , x1 x1 x1

y2 ? 2 kx2 ? 1 1 1 ? ? ?k ? ? k ? , ? x2 ? x2 x2 x1

所以 k BM ? k BN ? ,即 B,M ,N ? 三点共线,
???? ? ???? ? ???? ? | BM | | BM | | x1 | | AM | ? ? 所以 ???? ? ???? ? ???? . | BN | | BN ? | | x2 | | AN |

???? ? ???? ???? ? ???? 故存在与点 A 不同的定点 B(0,2) ,使得 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | .

????????????????????????????(12 分) 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)∵∠ADE=∠ABD+∠BAD,∠DAE=∠DAC+∠EAC, 而∠ABD=∠EAC,∠BAD=∠DAC,∴∠ADE=∠DAE,
∴EA ? ED .

??????????????????????????(5 分)

??ABE ? ?CAE, (Ⅱ)∵? ??AEB ? ?CEA,
∴△ABE∽△CAE ,
∵?ABE ? ?CAE ,

∴ ∴

AB BE AB DB ,又∵ , ? ? AC AE AC DC DB BE ,即 DB ? AE ? DC ? BE , ? DC AE

由(Ⅰ)知 EA ? ED ,

14

∴DB ? DE ? DC ? BE .

??????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
? ? x ? ?5 ? 2 cos t, 解: (Ⅰ)由 ? ? ? y ? 3 ? 2 sin t, ? ? x ? 5 ? 2 cos t, 得? ? ? y ? 3 ? 2 sin t,

消去参数 t,得 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 , 所以圆 C 的普通方程为 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 .
π? ? 由 ? cos ? ? ? ? ? ? 2 , 4? ?



2 2 ? cos ? ? ? sin ? ? ? 2 , 2 2

即 ? cos ? ? ? sin ? ? ?2 , 换成直角坐标系为 x ? y ? 2 ? 0 , 所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 . ??????????????(5 分)

? π? (Ⅱ)∵A ? 2, ?,B(2,π) 化为直角坐标为 A(0,2),B(?2,0) 在直线 l 上, ? 2?

并且 | AB |? 2 2 , 设 P 点的坐标为 (?5 ? 2 cos t,3 ? 2 sin t ) ,
? π? ?6 ? 2 cos ? t ? ? 4? | ?5 ? 2 cos t ? 3 ? 2 sin t ? 2 | ? 则 P 点到直线 l 的距离为 d ? , ? 2 2 4 ∴d min ? ?2 2, 2 1 所以 △PAB 面积的最小值是 S ? ? 2 2 ? 2 2 ? 4 . ??????????(10 分) 2

(说明:用几何法和点到直线的距离公式求 d ?

| ?5 ? 3 ? 2 | 2

? 2 ? 2 2 也可参照给分. )

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 (Ⅰ)解: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ,即 | x ? 1| ? | x |? 4 ,
3 ①当 x≤0 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 x ? ? , 2

15

∴?

3 ? x≤0 是不等式的解; 2

②当 0 ? x≤1 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 1 ? 4 恒成立,
∴0 ? x≤1 是不等式的解;

③当 x ? 1 时,不等式为 x ? 1 ? x ? 4 ,即 x ?
∴1 ? x ? 5 是不等式的解. 2

5 , 2

? 3 5? 综上所述,不等式的解集为 ? ? , ? . ? 2 2?

????????????????(5 分)

(Ⅱ)证明:∵a ? 2 ,
∴f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 2 | ? a | x ? 2 | ?| ax ? 2 | ? | ax ? 2a | ?| ax ? 2 | ? | 2a ? ax | ≥ | ax ? 2 ? 2a ? ax |?| 2a ? 2 |? 2 , ∴?x ? R,f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.

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