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2014年全国高中数学联赛模拟卷(5)(一试+二试


2014 年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)__________
1. 正八边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 边长为 1,任取两点

Ai A j ,则 Ai A j ? A1 A2 最大值为__________ 2. 若 f ( x) ?
2007 k ?0

? (?1) C
k

k

(3 ? x) k ? 2007

2007 i ?0

?a x
i

2007 ?i

2007

,则

?a
k ?1

k

=_________

3. 若关于 x 的方程 x 2 ? (a 2 ? b 2 ? 6b) x ? a 2 ? b 2 ? 2a ? 4b ? 1 ? 0 的两个实数根 x1 , x 2 满足 x2 y2 4. 设 P 双曲线 2- 2=1 右支上一动点,过 P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为点 A, B ,若点 A, B 始 a b 终在第一、第四象限内,则双曲线离心率 e 的取值范围是___________. 5. 对于实数 x ,?x ? 表示不超过 x 的最大整数。 对于某个整数 k , 恰存在 2008 个正整数 n1 , n2 ,?, n2008 , 满足 k ?

x1 ? 0 ? x2 ? 1, 则 a 2 ? b 2 ? 4a ? 4 的最小值为______________, 最大值分别为____________

? n ? ? ? n ? ? ? ? ? n ? ,并且 k 整除 n (i ? 1,2,?2008) ,则 k =___________.
3 1 3 2 3 2008
i

6. A、 B 两队进行乒乓球团体对抗赛, 每队各三名队员, 每名队员出场一次。 A 队的三名队员是 A1 , A2 , A3 , i B 队三名队员是 B1, B2, B3,, 且 Ai 对 B j 的胜率为 (1≤i, j≤3), A 队得分期望的最大可能值是________. i+j 7. △ABC 的三边长分别为 13, 14, 15, 有 4 个半径同为 r 的圆 O, O1, O2, O3 放在△ABC 内,并且⊙O1 与 边 AB、AC 相切,⊙O2 与边 BA、BC 相切,⊙O3 与边 CB、CA 相切,⊙O 与⊙O1, O2, O3 相切, 则 r =_________. 8. 设 a , b 都是正整数,且 a ? b 2 ? 1 ? 2

?
n

?

100

,则 ab 的个位数字是__________

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 1 9.已知:实数 ai (i ? 1,2,?, n) 满足 a ? (i ? 1, 2, , n) ,证明: i 1 1 2 (a ? 1)(a ? ) (a ? ) ? (1 ? a ? 2a ? ? na ) 2 n (n ? 1)!
i

1

2

n

1

2

n

2 10. 已知数列 {an } 由 a ? , a ? a ? a ? a ,(n ? N ) 确定, 若对于任意 n ? N * , 3 1 1 1 ? ? ? M 恒成立。求 M 得最小值。 a ?1 a ?1 a ?1
2 2 2 * 1 n ?1 n n ?1 1

1

2

n

x2 y2 11. 在双曲线 C:4 - 5 =1 中, F1 , F2 分别为双曲线 C 的左右两个焦点,P 为双曲线上且在第一象限内 的点, ?PF (1) 是否存在一点 P, 使得 IG|| F1F2 ; 1F 2 的重心为 G,内心为 I. (2) 已知 A 为双曲线 C 的左顶点,直线 l 过右焦点 F2 与双曲线 C 交于 M,N 两点,若 AM,AN 的斜 1 率 k1 , k2 满足 k1 ? k2 ? - ,求直线 l 的方程. 2

2014 模拟卷(5)

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷(5)加试
(考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、 (本题满分 40 分)如图⊙O 切△ABC 的边 AB 于 D,切边 AC 于 C,M 是 BC 上一点,
AM 交 DC 于点 N,求证:M 是 BC 中点的充要条件是 ON ? BC D N B M O C A

二、 (本题满分 40 分) 有一个 m ? n ? p 的长方体盒子, 另有一个 (m ? 2) ? (n ? 2) ? ( p ? 2) 的长方体
盒子, 其中 m, n, p 均为正整数( m ? n ? p ), 并且前者的体积是后者一半, 求 p 的最大值.

三、 (本题满分 50 分)求方程 x2+x=y4+y3+y2+y 的整数解.

四、 (本题满分 50 分)设 n∈N*,把集合{1, 2, …, n}分拆为两个非空集合 A 与 B(即有 A∩B=Φ ,
A∪B={1, 2, …, n}) ,使得对 A 中任意两个不同的元素 a、b,有 a ? b ? A ;对 B 中任意两个不同 的元素 c、d,有 cd ? B .求 n 的最大可能值,使得存在满足题意的分拆.

2014 模拟卷(5)

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷(5)答案
1、解:根据向量内积的几何意义,只要看向量在 A1 A2 方向上的投影即可。最大值为 2+1 2、令 x ? 1 得
2007 2007 k ?0

? ak = ? (?1) k C 2007 2 k = ?C 2007 (?2) k ? (1 ? 2) 2007 ? ?1 ,
k k k ?0 k ?0 k

2007

2007

又 a0 为

? (?1) C
k ?0

(3 ? x) k 展开式中最高次项的系数 ? 1 ,则 ? ak ? ?2 2007
k k ?1

2007

3、解:设 f ( x) ? x 2 ? (a 2 ? b 2 ? 6b) x ? a 2 ? b 2 ? 2a ? 4b ? 1 ? 0 ,则 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,整理得

(a ? 1) 2 ? (b ? 2) 2 ? 4 ,且 a ? b ? 1 ? 0 ,在以 a , b 分别为横轴和纵轴的坐标系中画出上面两个不等 式所表示的规划区域。则 a 2 ? b 2 ? 4a ? 4 ? (a ? 2) 2 ? b 2 ,点 (?2,0) 到规划区域最小值即为到直线
a ? b ? 1 ? 0 的距离
1 1 2 2 ,则 a ? b ? 4a ? 4 的最小值为距离的平方 ;点 (?2,0) 到规划区域最大值 2 2

2 2 为 (?2,0) 的圆心 (?1,2) 的距离与半径 2 的和 5 ? 2 ,则 a ? b ? 4a ? 4 的最大值为 ( 5 ? 2) 2 = 9 ? 4 5

4、解:由对称性,我们只讨论 A 在第一象限情形.设 P( x0 , y0 ) , A( x A , y A ) ,则直线 PA 的方程为

a b b a a b y ? y 0 ? ? ( x ? x0 ) ,与 y ? x 联立,得: ( ? ) x A ? x0 ? y 0 ? 0 ? x0 ? ? y 0 . b a a b b a 2 2 b 2 2 2 x0 若 P 在第一象限显然满足,若 P 在第四象限或坐标轴上,则 y 0 ? 0 ? 2 x0 ? y 0 ? b ( 2 ? 1) , a a 2 2 2 2 a b a b 2 2 所以 ( 2 ? 2 ) x0 ? ?b ,只须 2 ? 2 ? 0,? a ? b,1 ? e ? 2 b a b a 3 3 3 3 5、解:若 n ? 1 ? k ? n ,则 k ? n, (k ? 1) ? n ,满足 k 整除 n ,则 n 可取

, k ? 668 k 3 , k 3 ? k ,?k 3 ? 3k 2 ? 3k ,共 3k ? 4 个,所以 3k ? 4 ? 2008 91 6、解:讨论可知, A1 : B3 ; A2 : B1 ; A3 : B2 ,最大期望 E? ? 60 7、解:不妨设 a ? 13, b ? 14, c ? 15 。可知 ?ABC 与 ?O1O2 O3 相似,且 O 为 ?O1O2 O3 的外心, 5 12 外接圆半径为 2 r ,则 cos ?O1O3 O2 ? cos C ? , sin ?O1O3 O2 ? ,由正弦定理 13 13 48r 3 4 33 56 O1O2 ? 4r sin ?O1O3O2 ? ,sin B ? ,同理可得 cos A ? , sin A ? , cos B ? , 13 5 5 65 65 48r 15r 260 A B 1 ? cos A 1 ? cos B 15 ? 15 ? ?r ? 15 ? r ,所以 又 O1O2 ? 15 ? r cot ? r cot = 15 ? r ,r ? 13 4 129 2 2 sin A sin B 4 100 100 100 1? 1? 2 ? 1? 2 ? , 8、由二项式定理: a ? b 2 ? 1 ? 2 ,a ? ? ? ? 2? 100 100 200 200 1 ? 1 ? ? b? 1? 2 ? 1 ? 2 ? ,故 ab ? 1? 2 ? 1? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2? 4 2? 100 100 n n 1 ? 1 ? ? 3? 2 2 ? 3 ? 2 2 ? ,设 xn ? 3? 2 2 ? 3? 2 2 ? , ? ? ? ? ? ? 4 2? 4 2?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

n n n ?1 n ?1 ? xy x n ? 2 ? y n ? 2 得: 则 x1 ? 1, x2 ? 6 ,由恒等式 x ? y ? ? x ? y ? x ? y

?

?

?

?

0,…,所以 xn ? 6 ≡ xn ? mod10? , x100 ≡ x6?16?4 ≡ x4 ? 4 ? mod10?

xn ? 6xn?1 ? xn?2 ? n ? 3? , ?xn ? 的个位数字依次为 1,6,5,4,9,0,1,6,5,4,9,

2014 模拟卷(5)

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9、证明:原不等式等价于 (n ? 1)(a1 ? 1)(2a2 ? 1)?(nan ? 1) ? 2 n (1 ? a1 ? 2a2 ? ?nan ) , 设 xi ? iai ? 1, (i ? 1,2,?n) ,则 xi ? 2, (i ? 1,2,?n) ,原不等式即为

n ? 1 x1 ? x2 ? ? ? xn ? (n ? 1) (*) ? x1 x2 ? xn 2n x ? x ? ? ? xn ? (n ? 1) 1? 2 3 x1 若令 x2 , x3 ,?, xn 不变,则(*)式右边为 ,由 xi ? 2, (i ? 1,2,?n) 知 x1 ? 2 时 x 2 x3 ? x n n ?1 (*)式右边取最大值。同理知 xi ? 2, (i ? 1,2,?n) 时,(*)式右边取最大值为 n ,即原不等式成立 2 4 12 1 1 2 2 10、解:由题可知 n ? 2 时, an?1 ? an ? an ,又 a 2 ? a1 ? ? ( ) ? ,不妨设 b1 ? , bn ? a n (n ? 2) , 9 3 3 3 2 b b b ?b 1 1 1 2 则 bn?1 ? bn ? bn (n ? N * ) ,∴ ? n ? n ? n?1 n ? ? bn ? 1 bn?1 bn?1bn bn?1bn bn bn?1 3b ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ? ? ? ( ? )?( ? )? ?( ? ) ? 3? ? n?1 b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1 b1 b2 b2 b3 bn bn?1 bn?1 bn?1 3b ? 1 3 57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 则 = = n?1 ? ?? ? ??? ? ? a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1 1 ? a1 1 ? b1 bn?1 20 20 bn?1 57 1 2 2 易知 bn ?1 为正数,且 bn ?1 ? bn ? bn ? b1 ? , n 趋于无穷大时, bn ?1 趋于无穷大,则 M 的最小值为 20 9 x0 y0 , ). 11、解:(1)假设存在点 P 坐标为 ( x0 , y0 )( y0 ? 0) ,而 G 为 ?PF 1F 2 的重心, 故 G ( 3 3 而 I 为 ?PF 1F 2 的内心, 设 ?PF 1F 2 的内切圆半径为 r , 则 1 1 1 1 S?PF1F2 ? | F1 F2 | ? | y0 |? (| PF1 | ? | PF2 | ? | F1F2 |) ? r , 于是 ? 2c? | y0 |? (| PF1 | ? | PF2 | ?2c) ? r . 2 2 2 2 2cy0 2cy0 y0 . 由 IG∥ F1F2 知, r? ? , 即 | PF1 | ? | PF2 |? 4c . | PF1 | ? | PF2 | ?2c | PF1 | ? | PF2 | ?2c 3 c 又 a ? 2 , e ? . 由焦半径公式知, | PF 1 |? ex0 ? a,| PF 2 |? ex0 ? a , 则 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2ex0 . a x2 y2 2c 2 ? 3 故 2ex0 ? 4c , 即 x0 ? ? ? 4 . 又点 P ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 在双曲线上, 则 0 ? 0 ? 1. 3 4 5 e 2 解得 y0 ? 15 (舍负). 故存在 P(4, 15) , 使得 IG∥ F1F2 . (2) 若直线 l 斜率不存在, 显然 k1 ? k2 ? 0 不合题意. 若直线 l 斜率存在, 设过 F2 (3,0) 的直线方程
(n ? 1) x1 x2 ?xn ? 2n ( x1 ? x2 ? ? ? xn ? n ? 1) ,等价于
为 y ? k ( x ? 3) , 直线和椭圆交于 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .将 y ? k ( x ? 3) 代入 5x ? 4 y ? 20 中,
2 2

? 24k 2 x ? x ? , ? ? 1 2 4k 2 ? 5 2 2 2 2 得到 (5 ? 4k ) x ? 24k x ? 36k ? 20 ? 0 . 由韦达定理可知: ? 2 ? x x ? 36k ? 20 . ? 1 2 4k 2 ? 5 ? y1 y x ? 3 x2 ? 3 1 1 ? 2 ? k( 1 ? ) ? k[2 ? 5( ? )] , 又 k AM ? k AN ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

2014 模拟卷(5)

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x1 ? x2 ? 4 1 1 24k 2 ? 4(4k 2 ? 5) 2k 2 ? 1 , ? ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 36k 2 ? 20 ? 48k 2 ? 4(4k 2 ? 5) 5k 2
2k 2 ? 1 1 1 ) ? ? ? , 即 k ? ?2 . 故所求直线 l 的方程为 y ? ?2( x ? 3) . 2 5k k 2

从而 k AM ? k AN ? k (2 ? 5 ?

二试
一、证明:充分性:过点 N 作 EF∥BC,分别交 AB,AC 于 E,F。 连结 OC,OD,OE,OF,因为 ON⊥BC,则 ON⊥EF,又 OC⊥AC, 则 N,O,C,F 四点共圆,故∠NFO=∠NCO, 同理由 N,O,E,D 四点共圆,∠NDO=∠NEO,因∠NCO=∠NDO, 则∠NFO=∠NEO,故 OE=OF,从而 EN=FN,所以 BM=CM 必要性:用同一法,作 ON ? ? BC 交 CD 于 N ? , 连 AN ? 并延长交 BC 于 M ? ,类似充分性的证明可得 B M ? =C M ? , 而 BM=CM,则点 M ? 与 M 重合,因此,点 N ? 是 CD 与 AM 的交点, 故点 N ? 与 N 重合, ON ? BC B E D N A F C O

M

2 2 2 )(1 ? )(1 ? ) ? 2 . m n p 2 2 2 2 3 (1) 当 m ? 8 时, 由 m ? n ? p , 则 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 , 矛盾! m n p 8 2 2 2 (2) 当 m ? 2 时, (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 , 矛盾! m n p (3 ) 当 m ? 3 时, 则 6np ? 5(n ? 2)( p ? 2) , 即 (n ? 10)( p ? 10) ? 120 . 所以 p 的最大值为 130 (4) 当 m ? 4 时, 则 4np ? 3(n ? 2)( p ? 2) , 即 (n ? 6)( p ? 6) ? 48 . 所以 p 的最大值为 54 2 2 2 (5) 当 m ? 5 时, (1 ? ) ? , 得 p ? 98 . ? 2 2 2 p (1 ? )(1 ? ) (1 ? )(1 ? 2 ) m n 5 5 综上所述: p 的最大值为 130.
二、解:由题意 2mnp ? (m ? 2)(n ? 2)( p ? 2) , 得 (1 ? 三、解:原方程可变形为 4x2+4x+1=4y4+4y3+4y2+4y+1. ∴(2x+1)2=(2y2+y)2+3y2+4y+1=(2y2+y)2+2× (2y2+y)+1+(-y2+2y)=(2y2+y+1)2+(-y2+2y)

?3 y 2 ? 4 y ? 1 ? 0 (1)当 ? ,即当 y<-1 或 y>2 时,(2y2+y)2<(2x+1)2<(2y2+y+1)2 2 ? ? y ? 2y ? 0 而 2y2+y 与 2y2+y+1 为两相邻整数,所以此时原方程没有整数解.
(2)当 y=-1 时,x2+x=0,所以 x=0 或-1. (3)当 y=0 时,x2+x=0,所以 x=0 或-1. (4)当 y=1 时,x2+x=4,此时 x 无整数解. (5)当 y=2 时,x2+x=30,所以 x=-6 或 5.

? x?0 ? x ? ? 1 ? x ? 0 ? x ? ?1 ? x ? ? 6 ? x ? 5 综上所述: ? ,? ,? ,? ,? ,? . ? y ? ?1 ? y ? ?1 ? y ? 0 ? y ? 0 ? y ? 2 ? y ? 2
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四、 (1)若 1∈B,∵1×2=2,1× 3=3,1× 5=5,∴2,3,5∈A 或 n≤4. 假设 n≥5,则∴2,3,5∈A,2+3=5,与题意矛盾! (2)当 1∈A,2∈B,不防假定 n≥4. 当 3∈A 时,∵1+3=4,∴4∈B. ∵2,4∈B,2×4=8,∴8∈A 或 n≤7. 当 n≥8 时,∵1,3,8∈A,3+5=8,1+8=9,∴5,9∈B 或 n≤8. 当 n≥9 时,∵2,5∈B,2×5=10,∴10∈A 或 n≤9. 当 n≥10 时,∵8,10∈A,8+10=18,∴18∈B 或 n≤17. 设 n≥18 时,由于 2,9,18∈B,2×9=18,所以产生矛盾! ∵3∈A 时,n≤17.当 n≥6 时,∵1,6∈A,1+5=6,1+6=7,∴5,7∈B 或 n≤6. 当 n≥7 时,∵2,5,7∈B,2×5=10,2×7=14. ∴10,14∈A 或 n≤13.当 n≥14 时,∵6,14∈A,6+8=14,∴8∈B. ∵2,8∈B,2×4=8,∴4∈A.但 4,6,10∈A,4+6=10,矛盾! ∴当 3∈B 时,n≤13. (3)若 1∈A,2∈A,不防假设 n≥18,则由 1+2=3 知 3∈B. 当 4∈B 时,∵3,4∈B,3×4=12,∴12∈A. ∵2,12∈A,2+10=12, ∴10∈B ∴3, 10∈B,3×10=30, ∴30∈A 或 n≤29. 当 n≥30 时,∵2,12,30∈A,2+28=30,12+18=30, ∴18,28∈B. ∵3,18∈B,3×6=18,∴6∈A.∵4,28∈B,4×7=28,∴7∈A. 但 1,6,7∈A,1+6=7,矛盾!故 n≤29. 当 4∈A 时,∵1+4=5,2+4=6,∴5,6∈B. ∵3,5,6∈B,3×5=15,3×6=18,∴15,18∈A. ∵4,15∈A,∵4+11=15,∴11∈B. 若 n≥33,∵15,18∈A,15+18=33,∴33∈B. ∵3,11∈B,3×11=33,∴33∈A,与 33∈B 矛盾!故 n≤32. (1) 、 (2) 、 (3)说明:nmax≤32. (4)使 n=32 成立的例子有:A={1,2,4,15,18,21,24,27,30},B={1,2,3,…,32}/A. 其中,A 中 1+2=3,1+4=5,2+4=6,而任意一个不小于 15 的数加上另一个数,或者大于 30, 或者大于 15 且不是 3 的倍数,这些都不属于 A. 再考虑 B 中,若取出的两数的积在 33 以内,则两数中必有 3 或 6(否则,若 3 与 6 均不在其中, 则两数之积不小于 5×7>32) ,易知此积必为不小于 15 的 3 的整倍数,但这些都不在 B 中. 由此上述例子成立.综上可知:nmax=32.

2014 模拟卷(5)

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