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2011年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛


21 0 2年第 1 期 

2  9

21 年全 国高中数学联赛辽宁赛 区预赛  0  1
中圈分类号 :G 2 .9 4 4 7  文献标识码 :   A 文章编号 : 0 5— 4 6(0 2 0 0 2 0   10 6 1 2 1 ) l一 0 9— 5




<

br />选 择题 ( 每小 题 6分 , 3 共 6分 )  
) .  

3 一个 盒子 里 有 3个 黑 球 和 4个 白球 , .  

1 已 知  ∈ R, . Y∈ R. “I l , 则   <1 且  I I ” “ + +I Y <1 是 I yI  —Y < ”   I 2 的(

现从 盒子里 随 机 每 次取 出一 个 球 , 出后 不  取 再放回, 每个 球 被取 出的 可能性 相等 , 到某  直
种颜 色 的球 全 部 被 取 出. 最后 取 出 的是 黑  则

( 充 分条 件而 非必要 条件  A) ( 必要 条件 而非 充分条 件  B) ( 充分 必要 条件  c) ( 即非充 分条 件亦 非必要 条件  D) 2 函数 f )= ̄ 3 + l . ( /  一   2—3 x的值  域为(   ) .  

球 的概率 为 (  


) .  
(    B) 4 (    c)1 (    D) 3

4 ff .、是互 相 垂 直 的 异 面 直 线 , 与平 面    Z
平 行 , 在 平 面  内. 在 平 面  内 到 ZZ Z   则 、  

( [, ] A) 1   

( 『寻 BL 1 ) ,J     1
( ) 12  D [ ,]

距离 相等 的点 的轨迹 是 (  
( 直 线  A)

) .  

( 椭 圆  B)

( )1 ] C [,    
以上两 式相 加得 

( ) 物 线  C抛

( 双 曲线  D)

凼 此 ,  1   l a . 口 + +a 一 =4    

(  4 c b 一 a )+(  4s ≤0 e一 d O .   此 时 ,a —   4f—   . 4 c b ≥1d e I  

( ) 口 =1口 = 口 + = a 一  l 2 由 1 ,2 4, 1 4   口 一, 得 
一  

若 e 一 d<O 则 g x >0 且 g( 的    4f. , () , 1  )

)  ,

最小值为 

.  

其 中 , =   , 2一 .   2+ 口=    
因 为  >1>3 0 且  =1 所 以 , /> , ,   卢 >   _一   )    ( 。 卢   1(  



在 已知 条件 中取  =一二 . 0 - 则  -
4a   z  c-b



≥_) de g ≥r 2 ( 4d . _ 4.   - 

一  

)I ) ( ≥2   j }

故 4 c b >4f—   a —  d e  ̄ 4 c—   1d e I a b ≥ 4f—   .  


0 

( ≥2 后 )
.  

ak 1  

于是 , n>1时 , 当 有 

3 () . 1 由条件知 { 是递增数列 , = . 0} 0 4    
将 递推 公式 移项 并平 方得 

s +   塞   塞 <+  =  

=  

(川 一 a) = a + , 口 2  3: 1     且 口+一 a+   口 = . p : 4 l + : I l n  
进 而 , 一 aa 一 +口  1  口 4    I 2 l= .


+S 1< +  卢.  13. (-) .s 口Ⅱ  
=   .  
( 龙. 丁 云 提供)  

 ̄ n   U < S

以上两 式相 减并 分解 因式 得  (   1 0 一 ) n + +n 一 - a )= . n+ —  1 ( l  1 4   0  

21 0 2年第 1期 
Z-U .  

a  =6'- I   1

=  

一  

=  

因为 3  ≤4 所 以 , ≤ ≤ , 0  一 ≤1 3 .  

令 一 ≤ 詈.   s   ) i ≤  叫0
则 - )= 厂 (   +   -_ = 




an  

=n n+1 . ( )  

因为 4 4 4× 5=19 0,5× 6=20 0 所   8 4 4  7 ,

= i0   s  + n

; i  

以,列L J最 近21的 是18 数 f } 接  1 数  0  . a    中 0 9.  
6 A. .  

= + s=i + ) s  。 2  詈. 砌   s0   n

故 =i +) ?s詈 詈 2(   n 2(+) . s詈詈= i n 2  
因此,  
3.B.  

如 图 4 作  , MM - D 于  l -A
M ,NN  A  

DC于点 ⅣI .   易证 

) 的值域为[ ,] 12 .  

7个球全被取出的方式共有 C = 5种 , ;3  

N ,A . 1 C /   / 设D M 


.  
A 

亍 DN 1=    .

3 个黑球全被取出的方式有 C = 0 故所  : 2 种,
求概率为  =4 了
.  

则 MMI  , =  
NN 。= 1 一    .

图4  

过 M 作 MH上 Ⅳ 。 Ⅳ 于点 H 则 
4.D.  

如 图 3 在平 面  内以 Z为  轴 . Z .   以 在 

N H=1— xMl 1 √    2 , N = 2.
由勾 股定理 得 
:  

平 面 O 的 投  l内

影为 y轴 建 立 
直 角 坐标 系. 则 

)( 6一)÷  1 ( 。 . +一   +    =

平 面  内 动 点 
( y 到 Z的   , )   距 离 为 I  ,   I 到  Y

)) ,  

当=时 到小 孚    , 最值 .   删取
二 、 一9. 7.  

f  

令  = 得 a =1 0, 0 .   对题设 等 式两边 求导 得 
1 (  一 ) 1— x  0 1+    ( 2 )
=al+2a   +… +2 2  . 2 0a 0  

f 的 距 离 为 
( 口是  异 面直 线 Z Z 和   的距 离 ) .  

故 II   ) : ,
5. . A 

, 一 =口.     。  

令  =1 得  ,
al+2 口2+… +2 a2 0 0= 一l   O.

因此 , 所求 轨迹 是双 曲线.  

贝 0 a +2 2 4 + 1 口 +… +2 a0 一 . a 0 2= 9  

由知 暑( ,  1 已  n c .   I   =
则  =?   一   =一   = 2+( n-1 xl= )   n+l  
1  
Cn  

8÷ . .  
易知 , ( ,) F 10 为抛 物线 Y = x的焦点 .   4   将 Y= /x一 代入 y = x 得  v 3   2 4,
3 一1   +3:0.   0  

6  
=  

(4、 一 . 3 ̄  竽) ,- 2)  
由题设 得 

3  2

中 等 数 学 

( 1 ,) 1 竽) , 2+ 一 .   f  3  
解得 = 1  
,  

=  

n  ) )  .   + )   -   = | (



詈  .

1 .1 O 0. 2  2  

所 有 顶 点颜 色不 同的 染 色 方式 有 A    =

从而, 一 = .        
9.   0. 4 95  

10 , 2 种 两个相邻顶 点颜 色相 同其余 顶点颜  色不 同 的染 色方式 有 

A = ( x 3 2 = 0 种, ; 55 4   ) 60     xx
两对相邻顶点分别同色余下一个顶点颜色不  同的染色方 式有  5 5x 3 3 0种. (  4× )= 0   故共 有 1 2   0种染 色方 式. 0  


由集合 A 中 的元 素 构 成 的 有 序 实 数 对  ( ,) 有 10 =1 0 ab 共 0  000个.  
因为 a —   0 A, 以 ,   a:   所  

( a) S i , , ,o )   i   ( =12 … 1o .  

当 (  ) S时 ,a,  S 口, ∈   (ia) .    

三 、3 设 t   1 . =2.  

于是 , 集合 S中元素的个数最多为  
1( 00 0 1 o


于是 , 问题 转 化 为 求 直 线 Y=a 和 圆弧  t

lO 49 0 O )=  5 .  

Y 2 1 t( < ≤1 的交点. = —4 一 0 t )  
由圆弧的图像在第一象限 , 若有交点 , 则 
n> , , . 0且 ,   ≤2

当 a = ( =12 … ,0 ) ,   ii ,, 10 时 S中元素 的 
个 数为 49 0  5 .  
1 2 0.   .  

此 时 , 点在第 一象 限 , 0< ≤1 交 故 t .   当 0<口< 时 , 线与 圆弧不 相交.   直  

由 一1≤ s   ≤ 1 0≤CS ≤ 1 知 当  i n , O  ,
:  

当 口 √ 时, = 3 直线与圆弧相切 , 有一个交 
点  当  < ≤2时 , 与圆弧有 两个 交点. o 直线   当 a>2时 , 直线与 圆弧有 一个 交点.  
由 a= t 2一 ̄l—  / t
(  +1 t一 a + 口 ) 4 t 3=O    
£= 

时 ,n + s    i

取最小值  一 . 1  

令 s   = CS 其中, i   O , n  

∈r ,s )(等 [o a( ]詈 ) a去r- c ,. c c砉 c c s 。  
则  : s  .   i0 n  

从 , i +) 而y s0詈. = n    

:  二
.  

a  + 1  

由+ ∈号 ) y s0 )  号 (,知 = i +   兀  n 号 ,  
单调 减少.  

综上 , n< 时 , 曲线无 交点 ; 当   两   当 0= 时 , 曲线 有一个 交点    两

ir    nc 1 (。 哼) as c
=  

(   ) 扣 3 ;    
当  <0 ≤2时 , 曲线有 两个 交点  两

( + )+     =1  .  
. 

故最大值与最小值之和为 2  . √  
1 .  一 1 — -1 n

(2 - 一  a +3   。 -。, g口 一 : ̄ 2
f2 ?  。 g
2口+  

) 、  

当 l . =1 , +2 时   g -
)   = +1 1 %


当 口>2时 ,   两曲线 有一个交 点 
  -1 .  

f    %

Ⅱ +1    

Ⅱl ) +    , .  

21 0 2年第 1 期 

3  3
△ H FC △ F . M  O MA 

l . A( lY ) B( 2Y )  4设 x , 1 、   ,2 , 直线 l : m c ^  = y+ . B  

丽 .  = M MH- . MA 

将其代人椭圆方程得 
(  + 2 )   2  m 0 bm  Y + bc y—b O  = .  

同理 , E =M M . M   H? A  故  =   MF: . ME ME 

故s, ÷Il y-2 △  =  FI lyI F 2l      
26  ̄ +   口 c/ m   1


因此, M为 E F的中点.  
() 2 联结 G 延长 C 到点 , MC= . A, M 使 MI   易知 , 四边 形 C I EF为平 行 四边形.  
则  E F= E F= B D I   C   C 




口  +6 m —c    +b f    1+m   )


由e =旦 = 1 得   
a:2 6: c,   :  

1 0o一 8  

EAF.  

故 A、 ,F四点 共 圆. E、、  
因为  G E= G B: G B A   A   C 
=  

 ̄ S v .-1 c  ̄1 m A ,    丽 + 2 A 22 /  


FC : I   E C= /  

EG. /  

所 以 , G、 , A、 E、 四点共 圆.  

( + 厢  
而厢
=  

) ~ .  

故 A、 E、、 G、 ,F五点共 圆.  
1 . 1 由题 设知  6()



3√ 1+m      

( 一)( -    = ) 1  一 
1+~ 1

. 

厢 +厢 + )   志  
+   ×2 =   .  

= n+1 口 一, + =1  ( )    l  
ak一 1   n 

≥ 

从而 , 数列 { 一1 是 以 口 一1为 首 项 、   } 。   1+ 为公 比的等 比数列.    

于 ,,≤2手 3 是II4× =2 s加 c c △ .  
当且仅 当 m= 0时 ,△。 = c. J, s 朋 3    故 3 = , 2 0 8 b =6 c 6c  = , = ,  .  

因 ,:+1 ) 此 l +     .  
( ) 1 得  2 由( )

因 ,求 程 专  =  此所 方 为 + 1 .
1 . 1 如  5() 图 5 联结 E   , H、
C F. H、 H 则 
F AM 
=   =   DAH  DCH.  

(: = 十 +)一 ?  【 (  ’ )1 ? - 】  : .

欲÷ 1 ÷只 证 证 <(≤ ,   ) 需
2(  ≤- +
事实上 ,  

由 E、 日、 C、  

F四点共 圆知 
DCH 
:  HFM .  
网5  

,  

(  ? - ) …  + ≥ 1 ) k: +  = ?   l   1 c 

则  F M = H M. A   F  

≤   ≤+ t 者2 +  
( 耜琨 毕 提供 )  

因为  H MF= F A, 以 ,   M 所  


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