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福州市2015年高三3月质检数学试卷(文科)(word版含答案)


2015 年 福 州 市 高 中 毕 业 班 质 量 检 测

文科数学能力测试
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、 班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120

分 钟. 参考公式:
1.样本数据 x1 , x2 ,

, xn 的标准差
2 ? ? xn ? x ? ? , ?

2.柱体体积公式: V ? Sh , 其中 S 为底面面积, h 为高; 3.锥体体积公式: V ?

s?

1? 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? n

其中 x 为样本平均数;

1 Sh , 3

其中 S 为底面面积, h 为高.

第Ⅰ卷 (选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是 正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上.) 1. 函数 y ? 1 ? x 的定义域为 A. ?x x ? 1? B. ?x x ? 1? C. ? x x … 1? D. ?x x ? 1?

2. 若复数 z 满足 ? 2 ? i ? ? z ? i ( i 为虚数单位),则 z 的虚部为

2 2 1 1 B. ? C. D. ? 5 5 5 5 3. 如图是某篮球联赛中,甲、乙两名运动员 12 个场次得分的茎叶图.设甲、乙两人得分的平均数分别
A. 为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 , m乙 ,则 A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 B. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙
第 3 题图

x2 y 2 4. 已知直线 y ? 2 x 为双曲线 ? : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的一条渐近线,则双曲线 ? 的离心率为 a b
A.
3 2

B.

5 2

C .2
开始
x ? 1, y ? 0

D. 5

5. 执行如图所示的程序框图,输出的有序实数对为 A. ?8, 2 ? B. ?8,3? C. ?16,3? D. ?16,4? 6. 已知直线 l 与平面 ? 平行,则下列结论错误 的是 .. A.直线 l 与平面 ? 没有公共点

y

3?

否 输出? x, y ? 结束


x ? 2x
y ? y ?1

第 5 题图 高三文科数学 -1- (共 4 页)

B.存在经过直线 l 的平面与平面 ? 平行 C.直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线平行 D.直线 l 上所有的点到平面 ? 的距离都相等 7. 已知偶函数 f ( x) 满足:当 x1 , x2 ? ? 0, ??? 时, ? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ? ? 0 恒成立.设
a ? f (?4) , b ? f (1) , c ? f (3) ,则 a , b, c 的大小关系为 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. b ? c ? a y ? x , ? ? 8. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y …2, 则 z ? 3x ? 2 y 的取值范围为 ?2 x ? y …6, ?

D. c ? b ? a

A. ? ??,10? A.17 B.22

B. ?8, ?? ?

C. ?5,10?

D. ?8,10?
2

9. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积为
4 正视图 3 侧视图

C. 14 ? 2 13 D. 22 ? 2 13

? x2 ? sin x ? 1,x ? 0, ? 第 10 题图 10.函数 f ( x) ? ? 2 的零点个数为 x ? 2 x ? 4 , x ? 0 ? ? A.0 B .1 C .2 D.3 11.在 ?ABC 中,点 G 为 ?ABC 的重心.已知 AB ? 2 3 ,且向量 GA 与 GB 的夹角为 120? ,则 CA ? CB 的
最小值是 A. ?3 B .6 C .9 D.24 12.已知函数 f ? x ? ? x ? sin x ,有下列三个结论: ①存在常数 T ? 0 ,对任意的实数 x ,恒有 f ? x ? T ? ? f ? x ? 成立; ②对任意给定的正数 M ,都存在实数 x0 ,使得 f ? x0 ? …M ; ③直线 y ? x 与函数 f ? x ? 的图象相切,且切点有无数多个. 则所有正确结论的序号是 A.① B.② C.③ 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在答题卡的相应位置上. ) 13.已知集合 A ? ??1, 0? , B ? x ? R x 2 ? 1 ,则集合 ..A D.②③

俯视图

?

?

B 等于

★ ★ ★ .

14.已知函数 f ( x) ? ln x .若在区间 ? 0,3e? 上随机取一个数 x ,则使得不等式 f ( x) ? 1 成立的概率为 ★ ★ ★ .
0 5, ? C1 5 ? 15. ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c . 若 B ?1 ?, 则

2a 的值为 ★ b cos15? ? c cos105?

★ ★ .

? a ?? a ? 16.在各项均为正整数的单调递增数列 ?an ? 中,a1 ? 1 ,a2 ? 2 ,且 ?1 ? k ??1 ? k ?1 ? ? 2, k ? N* ,则 a 9 的 ? ak ?3 ?? ak ? 2 ?
值为 ★ ★ ★ .

高三文科数学

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(共 4 页)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) 的图象与直线 y ? 2 的相邻两个交点之间的 距离为 π . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间;
π? ?? ? 2 ? (Ⅱ)若 f ? ? ? ,求 cos ? 2? ? ? 的值. 3? ?2? 3 ?

18.(本小题满分 12 分) 调查表明,中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性.现 将这三项的满意度指标分别记为 x, y, z ,并对它们进行量化:0 表示不满意,1 表示基本满意,2 表示满意, 再用综合指标 w ? x ? y ? z 的值评定中年人的成就感等级:若 w …4 ,则成就感为一级;若 2 剟w
3 ,则成

就感为二级;若 0 剟w 1 ,则成就感为三级.为了了解目前某群体中年人的成就感情况,研究人员随机采 访了该群体的 10 名中年人,得到如下结果: 人员编号
A1 A2 A3 A4 A5

? x, y, z ?
人员编号

?1,1,2?
A6

? 2,1,1?
A7

? 2, 2, 2?
A8

? 0,1,1?
A9

?1,2,1?
A10

? x, y, z ?

?1, 2, 2?

?1,1,1?

?1, 2, 2?

?1,0,0?

?1,1,1?

(Ⅰ)若该群体有 200 人,试估计该群体中成就感等级为三级的人数是多少? (Ⅱ)从成就感等级为一级的被采访者中随机抽取两人,这两人的综合指标 w 均为 4 的概率是多少? 19.(本小题满分 12 分) 方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2, AA1 ? 4 , P 为 线段 B1 D1 上一点.
AC ? BP ;
A1

如图, 在长
D1 P B1 C1

(Ⅰ)求证: (Ⅱ) 当 P 为线

段 B1 D1 的中点时,求三棱锥 A ? PBC 的高.
D C

20.(本小题满分 12 分) 位收藏爱好者,在第 1 年初购买了价值为 20 万元的收藏品 M, 收 藏品市场行情的影响,第 2 年、第 3 年的每年初 M 的价值为上年初的 值比上年初增加 4 万元. (Ⅰ)求第几年初开始 M 的价值超过原购买的价值;

A

第 19 题图 B

小辉是一 由于受到

1 ;从第 4 年开始,每年初 M 的价 2

(Ⅱ)记 Tn ( n ? N* )表示收藏品 M 前 n 年的价值的平均值,求 Tn 的最小值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x , m ? R , e ? 2.71828 ? ? ? 为自然对数的底数. e ?m
x

(Ⅰ)若 x ? 1 是 f ( x) 的极值点,求 m 的值; (Ⅱ)证明:当 0 ? a ? b ? 1 时, bea ? a ? aeb ? b .
高三文科数学 -3- (共 4 页)

22.(本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 ? :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? .点 F , A 分别为椭圆 ? 的 2 2 a b
y Q

左焦点和右顶点,且 AF ? 3 .

(Ⅰ)求椭圆 (Ⅱ)过点 F
A x

? 的方程;
作一条直线 l 交椭圆 ? 于 P, Q 两点,点 Q 关于
F P Q' O

x 轴的对称点为 Q? .若 PF∥AQ? ,求证: PF ?

1 AQ? . 2

第 22 题图

2015 年福州市高中毕业班质量检测

文科数学能力测试参考答案及评分细则
一、选择题:本题共有 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.A 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.C 8.B 9.D 10.B 11.B 12.D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. 1 13. ??1? 14. 15.2 16.55 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 本小题主要考查三角函数的图象与性质(对称性、周期性、单调性)、二倍角的余弦公式等基础知 识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分 12 分. 【解析】(Ⅰ)因为 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0, x ? R) , 所以 f ( x) ? 2sin(? x ? ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 6 所以 f ( x)max ? 2 . 因为函数 f ( x ) 与直线 y ? 2 的相邻两个交点之间距离为 ? , 所以 T ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2? 所以 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? ,解得 ? ? 2, ·

?

?

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 6 令 2k? ?

?

?

2

剟2 x ?

?

解得 k? ?

?
6

6

2k? ?

?
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ,k ?Z , ·

剟x

k? ?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ,k ?Z. ·

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [k? ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 , k? ? ], k ? Z . · 6 3 ? ?? ? ?? ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? ? ? 2sin(? ? ) ,因为 f ? ? ? , 6 ?2? ?2? 3 ? 1 所以 sin(? ? ) ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 6 3 ?? ?? ? ? 所以 cos ? 2? ? ? ? cos 2 ? ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3? 6? ? ?
高三文科数学 -4- (共 4 页)

?

?

?? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 6? ? 7 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? .· 9 18.本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然 与或然思想.满分 12 分. 【解析】 (Ⅰ)计算 10 名被采访者的综合指标,可得下表: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 人员编号
4 4 6 2 4 5 3 5 1 3 综合指标 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 1 由上表可知:成就感为三级(即 0 剟w 1 )的只有 A9 一位,其频率为 . · · · · · · · · · · · · · · 3分 10 1 用样本的频率估计总体的频率,可估计该群体中成就感等级为三级的人数有 200 ? ? 20 . 10 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)设事件 A 为 “从成就感等级是一级的被采访者中随机抽取两人,他们的综合指标 w 均为 4”.由 (Ⅰ)可知成就感是一级的( w …4 )有: A1 , A2 , A3 , A5 , A6 , A8 ,共 6 位,从中随机抽取两人,所有可能的 结果为: ? A1 , A2 ?,? A1 , A3?,? A1 , A5?,? A1, A6 ?,?A1, A8 ?,? A2 , A3?,?A2 , A5 ?,?A2 , A6 ?,?A2 , A8 ?,?A3 , A5 ?,?A3 , A6 ?, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? A3 , A8?,? A5 , A6 ?,?A5 , A8 ?,? A6 , A8 ? ,共 15 种. · 其中综合指标 w ? 4 有: A1 , A2 , A5 ,共 3 名,事件 A 发生的所有可能结果为: 所以 P( A) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? A1 , A2 ?,? A1 , A5 ?,? A2 , A5 ? ,共 3 种, ·

3 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? .· 15 5 19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,以及几何体的体积等基础知识,考查空间想象 能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 证明:(Ⅰ)连结 BD . 因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,且 AB ? BC ? 2 , 所以四边形 ABCD 是正方形, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 所以 AC ? BD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 因为在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, D1 C1 BB1 ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD , P A1 B1 所以 AC ? BB1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 因为 BD ? 平面 BB1 D1 D , BB1 ? 平面 BB1 D1 D , 且 BD BB1 ? B , 所以 AC ? 平面 BB1 D1 D .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
D C 因为 BP ? 平面 BB1 D1 D , 所以 AC ? BP · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 A B (Ⅱ)点 P 到平面 ABC 的距离 AA1 ? 4 , 1 ?ABC 的面积 S?ABC ? ? AB ? BC ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 1 1 8 所以 VP ? ABC ? S?ABC ? AA1 ? ? 2 ? 4= . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 3 3 在 Rt△ BB1 P 中, BB1 ? 4, B1 P ? 2 ,所以 BP ? 3 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
2 1 同理 CP ? 3 2 .又 BC =2 ,所以 ?PBC 的面积 S?PBC ? ? 2 ? 3 2 ? 12 ? 17 .· · · · · 10 分 2 设三棱锥 A ? PBC 的高为 h ,则 1 8 因为 VA? PBC ? VP ? ABC ,所以 S PBC ? h ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 3 3

? ?

高三文科数学

-5-

(共 4 页)

8 17 17 8 h ? ,解得 h ? . 17 3 3 8 17 即三棱锥 A ? PBC 的高为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 17 20.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列、不等式等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、 应用意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 12 分. 解:(Ⅰ)设第 n 年初 M 的价值为 a n ,

所以

依题意,当 1 剟n

3 时,数列 ?an ? 是首项为 20,公比为
n ?1

1 的等比数列, 2

?1? 所以 an ? 20 ? ? ? ? 5 ? 23? n .故 a2 ? 10 , a3 ? 5 ,所以 a3 ? a2 ? a1 . ?2? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 当 n …4 时,数列 ?an ? 是以 a 4 为首项,公差为 4 的等差数列,又 a4 ? a3 ? 4 ? 9 ,所以

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 an ? 9 ? ? n ? 4? ? 4 ? 4n ? 7 . ·

27 ,又因为 n ? N* ,所以 n …7 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4 因此,第 7 年初 M 开始的价值 a n 超过原购买的价值.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 S (Ⅱ)设 Sn 表示前 n 年初 M 的价值的和,则 Tn ? n n ? ? 1 ?n ? 20 ? ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? 3? n ? ? ? 40 ? 5 ? 23? n , T ? 40 ? 5 ? 2 ①; 由(Ⅰ)知,当 1 剟n 3 时, Sn ? n 1 n 1? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 n ? 3?? 9 ? 4n ? 7 ? ? ? 2n 2 ? 5n ? 32 , 当 n …4 时,由于 S3 ? 35 ,故 Sn ? S3 ? ? a4 ? a5 ? ... ? an ? ? 35 ? 2 2n2 ? 5n ? 32 32 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 Tn ? ? 2n ? ? 5 .② · n n 35 当 1 剟n 3 时,由①得, T1 ? 20 , T2 ? 15 , T3 ? ,所以 T1 ? T2 ? T3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3 32 32 32 ? 5 …2 2n ? ? 5 ? 11 ,当且仅当 2n ? 当 n …4 时,由②知, Tn ? 2n ? ,即 n ? 4 时等号成立.即 n n n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ?Tn ?min ? T4 ? 11 . ·
令 an ? 20 ,得 n ? 由于 T3 ? T4 ,故在第 4 年初 Tn 的值最小,其最小值为 11.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 21.本小题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. e x ? m ? x ? e x e x (1 ? x) ? m x ? 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? x ,所以 f ?( x) ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · 1分 (e x ? m) 2 (e x ? m) 2 e ?m m ? 0 ,· 由 x ? 1 是 f ( x) 的极值点,得 f ?(1) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (e ? m) 2 解得 m ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 x 此时 f ( x) ? x ,经检验, x ? 1 是 f ( x) 的极值点. e 所以所求的实数 m 的值为 0. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 e x (1 ? x) ? 1 x (Ⅱ)证明:取 m ? ?1 时, f ( x) ? x ,此时 f ?( x) ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (e x ? 1) 2 e ?1 构造函数 h( x) ? ex (1 ? x) ? 1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 所以 h?( x) ? e x (1 ? x) ? e x (?1) ? ? xe x 在 (0, ??) 上恒负,
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所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调递减, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 x 故 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,说明 f ( x) ? x 在 (0, ??) 上单调递减. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 e ?1 b a 所以当 0 ? a ? b ? 1 时, b ,又因为 eb ? ea ? 1 ,所以 eb ? 1 ? 0,ea ? 1 ? 0 , ? a e ?1 e ?1 所以 b(ea ? 1) ? a(eb ? 1) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 所以 bea ? a ? aeb ? b 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 22.本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 14 分. 【解析】(Ⅰ)设椭圆 ? 的半焦距为 c ,则 c 1 ? ?e ? ? , a 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ? AF ? a ? c ? 3, ? 解得 a ? 2, c ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 2 2 所以 b ? a ? c ? 3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2 x y 所以椭圆 ? 的方程为 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ?1. · 4 3 (Ⅱ)方法一:依题意得, PQ 与坐标轴不垂直.设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? .因为点 Q 与点 Q? 关于 x 轴对称, 所以 Q? ? x2 , ? y2 ? .由(Ⅰ)讨论可知, A? 2,0? , F ? ?1,0? . 因为 PF∥AQ? ,所以直线 FQ 与直线 AQ ? 的斜率相等,故 解得 x2 ?
y2 ? y2 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 x2 ? 1 x2 ? 2

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 3 5 3 又因为点 Q ? x2 , y2 ? 在椭圆 ? 上,所以 y2 ? ,或 y2 ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5.· 4 4 y 5 3 由椭圆对称性,不妨取 y2 ? . 5 ,则直线 PQ 的斜率 k ? 2 ? x2 ? 1 2 4
所以直线 PQ 方程为 y ?
5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? x ? 1? . · 2

? 5 7 3 5? ?y ? ? x ? 1? , 得点 P 坐标为 ? 由? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? ,? ? ? .· 2 ? 4 8 ? ?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? ? ? 81 2 2 2 2 2 所以 PF ? ? x1 ? 1? ? y12 ? ? x1 ? 1? ? k 2 ? x1 ? 1? ? 1 ? k 2 ? x1 ? 1? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 64 81 2 2 2 2 2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 AQ? ? ? x2 ? 2? ? y2 ? ? x2 ? 2? ? k 2 ? x2 ? 2? ? 1 ? k 2 ? x2 ? 2? ? . · 16 1 所以 PF ? AQ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 2 方法二:依题意得, PQ 与坐标轴不垂直.

?

?

?

?

设 l 方程为 y ? k ? x ? 1? ( k ? 0 ), P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 因为点 Q 与点 Q? 关于 x 轴对称,所以 Q? ? x2 , ? y2 ? . 又因为椭圆关于 x 轴对称,所以点 Q? 也在椭圆 ? 上. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
? y ? k ? x ? 1? , 由? 2 消去 y 得 3 ? 4k 2 x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . 2 3 x ? 4 y ? 12, ? 8k 2 4k 2 ? 12 所以 ? ? 0, x1 ? x2 ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?

?

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因为 PF∥AQ? ,所以直线 AQ ? 的方程为 y ? k ? x ? 2? .
? y ? k ? x ? 2? , 由? 2 消去 y 得 3 ? 4k 2 x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 . 2 3 x ? 4 y ? 12, ? 因为直线 AQ ? 交椭圆于 A ? 2,0? , Q? ? x2 , ? y2 ? 两点,

?

?

16k 2 ? 12 8k 2 ? 6 ,故 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 x ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 8k 2 ? 6 8k 2 8k 2 ? 6 4k 2 ? 12 所以 ? ? 0, x1 ? x2 ? x1 ? , ? ? , x ? x ? x ? ? 1 2 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 5 7 解得 k 2 ? , x1 ? ? . 4 4 2 8k ? 6 1 所以 x2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? .· 3 ? 4k 2 2 81 2 2 2 2 2 所以 PF ? ? x1 ? 1? ? y12 ? ? x1 ? 1? ? k 2 ? x1 ? 1? ? 1 ? k 2 ? x1 ? 1? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 64 81 2 2 2 2 2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 AQ? ? ? x2 ? 2? ? y2 ? ? x2 ? 2? ? k 2 ? x2 ? 2? ? 1 ? k 2 ? x2 ? 2? ? . · 16 1 所以 PF ? AQ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 2 方法三:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直.
所以 2 ? x2 ?

?

?

?

?

设 l 方程为 y ? k ? x ? 1? ( k ? 0 ), P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 因为点 Q 与点 Q? 关于 x 轴对称,所以 Q? ? x2 , ? y2 ? . 又因为椭圆关于 x 轴对称,所以点 Q? 也在椭圆 ? 上. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
? y ? k ? x ? 1? , 由? 2 消去 x 得 3 ? 4k 2 y 2 ? 6ky ? 9k 2 ? 0 . 2 ?3x ? 4 y ? 12,

?

?

6k .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3 ? 4k 2 因为 PF∥AQ? ,所以直线 AQ ? 的方程为 y ? k ? x ? 2? .
所以 ? ? 0, y1 ? y2 ?
? y ? k ? x ? 2? , 由? 2 消去 x 得, 3 ? 4k 2 y 2 ? 12ky ? 0 . 2 ?3x ? 4 y ? 12,

?

?

因为直线 AQ ? 交椭圆于 A ? 2,0? , Q? ? x2 , ? y2 ? 两点, 所以 ? y2 ?

?12k 12k ,即 y2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ?12? k 设 FP=? AQ? ( ? ? 0 ),则 ? x1 ? 1, y1 ? ? ? ? x2 ? 2, ? y2 ? ,所以 y1 ? ?? y2 ? .· · 11 分 3 ? 4k 2 12 ?1 ? ? ? k 6k 1 ? 所以 y1 ? y2 ? ,解得 ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 1 1 所以 FP ? AQ? ,即 PF ? AQ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 2 2 方法四:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直.
设 l 方程为 y ? k ? x ? 1? ( k ? 0 ), P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 因为点 Q 与点 Q? 关于 x 轴对称,所以 Q? ? x2 , ? y2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 因为 P, F , Q 三点共线,所以 FP ? ? x1 ? 1, y1 ? 与 FQ ? ? x2 ? 1, y2 ? 共线, 所以 ? x1 ? 1? y2 ? ? x2 ? 1? y1 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 因为 PF∥AQ? ,所以可设 FP=? AQ? ( ? ? 0 ),即 ? x1 ? 1, y1 ? ? ? ? x2 ? 2, ? y2 ? , 所以 x1 ? 1 ? ? ? x2 ? 2? , y1 ? ?? y2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
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所以 ? ? x2 ? 2? y2 ? ? ? x2 ? 1? y2 ? 0 ,即 ? y2 ? 2x2 ? 1? ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 1 y2 x2 y 2 ?1 ? 因为点 Q ? , y2 ? 在椭圆 ? ? 1 上,所以 ? 2 ? 1 , 16 3 4 3 ?2 ? 3 3 解得 y2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 5 或 y2 ? ? 5 .· 4 4 3 由椭圆对称性,不妨取 y2 ? 5 ,则 OP ? OF ? FP ? ? ?1,0? ? ? ? x2 ? 2, ? y2 ? 4 2 2 ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? 1 ? 5 ? ? 2 ? ? 4 ? 3 3 x2 y 2 ? 3 ? ? 3 ? ? ?? ? ? 1, ? ? ? ? ? 1, ? 5? ? , 5? ? 在椭圆 ? 因为点 P ? ? ? ? 1, ? 所以 ? ? 1 上, 4 4 4 3 4 3 ? 2 ? ? 2 ? 1 解得 ? ? 或 ? ? ?1 (舍去). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2 1 1 所以 FP ? AQ? ,即 PF ? AQ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 2 2 方法五:依题意,得 PQ 与坐标轴不垂直.
依题意, y1 ? y2 ? 0 ,所以 x2 ? 设 l 方程为 y ? k ? x ? 1? ( k ? 0 ), P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 因为点 Q 与点 Q? 关于 x 轴对称,所以 Q? ? x2 , ? y2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 直线 PQ ? 过定点 M ? ?4,0? ,理由如下: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
? y ? k ? x ? 1? , 由? 2 消去 y 得 3 ? 4k 2 x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . 2 3 x ? 4 y ? 12, ? 8k 2 4k 2 ? 12 所以 ? ? 0, x1 ? x2 ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ?24k 所以 x2 y1 ? x1 y2 ? x2 ? k ? x1 ? 1? ? x1 ? k ? x2 ? 1? ? 2kx1 x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? , 3 ? 4k 2 6k .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 y1 ? y2 ? k ? x1 ? 1? ? k ? x2 ? 1? ? k ? x1 ? x2 ? ? 2k ? 3 ? 4k 2 因为 MP ? ? x1 ? 4, y1 ? , MQ? ? ? x2 ? 4, ? y2 ? ,

?

?

?24k 24k ? ? 0, 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 所以 MP∥MQ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

所以 ? x2 ? 4? y1 ? ? x1 ? 4? y2 ? ? x2 y1 ? x1 y2 ? ? 4 ? y1 ? y2 ? ?

所以 M , P, Q? 三点共线,即直线 PQ ? 过定点 M ? ?4,0? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 因为 F 为线段 AM 中点, PF∥AQ? ,所以 PF ?
1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 AQ? . · 2

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福州市2015年高三3月份质检数学答案(文科)

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20153月份福州毕业班质检文科数学(word版)

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