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高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结必修5


必修 5 数学知识点
第一章:解三角形 1、正弦定理:

2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数,即 a n - a n ?1 =d , (n≥ 2,n∈N ) , 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列
?

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径)

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C;
a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C. ? sin A ?
用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素; ⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它 元素。 2、余弦定理:

? A?

a?b 2

⑶通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ⑷前 n 项和公式:

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , ? 2 2 2 2 bc ?a ? b ? c ? 2bc cos A, ? ? 2 a 2 ? c2 ? b2 ? 2 2 , ?b ? a ? c ? 2ac cos B, ?cos B ? 2ac ?c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C. ? ? ? a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . ? 2ab ?
用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素; ⑵已知三角形三边,求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式:

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2

⑸常用性质: ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

am ? an ? a p ? aq ;
②下标为等差数列的项 ?ak , ak ?m , ak ?2m ,?? ,仍组成 等差数列; ③数列 ??an ? b?( ? , b 为常数)仍为等差数列; ④若 {an } 、{bn } 是等差数列,则 {kan } 、{kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、{ap?nq }( p, q ? N ) 、 ,?也成等
*

S ?ABC

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2
C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

4、三角形内角和定理: 在△ABC 中, 有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

差数列。 ⑤单调性: ?an ? 的公差为 d ,则: ⅰ) d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; ⅱ) d ? 0 ? ?an ? 为递减数列; ⅲ) d ? 0 ? ?an ? 为常数列; ⑥数列{ a n }为等差数列 ? an ? pn ? q(p,q 是常数) ⑦若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

?

5、一个常用结论: 在 ?ABC 中, a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B; 若 sin 2 A ? sin 2 B, 则A ? B或A ? B ?

?
2

. 特别注意,

在三角函数中, sin A ? sin B ? A ? B 不成立。

S3k ? S 2 k ? 是等差数列。
第二章:数列 1、数列中 an 与 S n 之间的关系: 3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 比数列。

, (n ? 1) ? S1 注意通项能否合并。 an ? ? ? Sn ? Sn?1 , (n ? 2).

G、 b 成等比数列 ? G ? ab, ⑵等比中项:若三数 a、
2

( ab 同号) 。反之不一定成立。 ⑶通项公式: an ? a1q
n?1

? amq

n ?m

分为二” , 即分段式; 另一种是 “合二为一” , 即 a1 和 an 合为一个表达, (要先分 n ? 1 和 n ? 2 两种情况分别进 行运算,然后验证能否统一) 。 类型Ⅲ 累加法: 形如 an?1 ? an ? f (n) 型的递推数列(其中 f ( n) 是关

⑷前 n 项和公式: S n ? ⑸常用性质

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

am ? an ? a p ? aq ;
② ak , ak ?m , ak ?2m ,?为等比数列,公比为 q k (下标成 等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 ??an ? ( ? 为不等于零的常数) 仍是公比为 q 的 等比数列;正项等比数列 ?an ? ;则 ?lg an ? 是公差为

?an ? an ?1 ? f (n ? 1) ?a ? a ? f (n ? 2) ? n ?1 n ? 2 于 n 的函数)可构造: ? ?... ? ?a2 ? a1 ? f (1) 将上述 n ? 1 个式子两边分别相加,可得:

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... f (2) ? f (1) ? a1,(n ? 2)
①若 f ( n) 是关于 n 的一次函数, 累加后可转化为等差 数列求和; ② 若 f ( n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等 比数列求和; ③若 f ( n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和;

lg q 的等差数列;
? ? ④若 ?an ? 是等比数列,则 ?can ?, ?an 2 ?,? a1 ?, ? n?

1 ,q . ?a ? (r ? Z ) 是等比数列,公比依次是 q,q , q
r

2

r

n

④若 f ( n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法:

⑤单调性:

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1 ? ?an ? 为递增数列;

形如 an?1 ? an ? f (n) ?

a1 ? 0,0 ? q ? 1或a1 ? 0, q ? 1 ? ?an ? 为递减数列; q ? 1 ? ?an ? 为常数列; q ? 0 ? ?an ? 为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

? an ?1 ? ? f ( n) ? 型的递推数列 (其 ? an ?

? an ? a ? f (n ? 1) ? n ?1 ? an ?1 ? f (n ? 2) ? 中 f ( n) 是关于 n 的函数) 可构造:? an ? 2 ?... ? ? a2 ? a ? f (1) ? 1

S3k ? S 2 k ? 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列 的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从 而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式 公式法: 若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an

将上述 n ? 1 个式子两边分别相乘,可得:

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... ? f (2) f (1)a1,(n ? 2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这 种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法:

㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且 p ? 0 ) 型的递推式: (1)若 p ? 1 时,数列{ a n }为等差数列;

, (n ? 1) ? S1 构造两式作差求解。 an ? ? ? Sn ? Sn ?1 , (n ? 2)
用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一

(2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列; ( 3) 若 p ? 1 且 q ? 0 时, 数列{ a n }为线性递推数列, 其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有 如下两种:

(累加法)便可求出 an . ⑵当 f ( n) 为指数函数类型(即等比数列)时:

法一:设 an ? ? f (n) ? p ?an?1 ? ? f (n ?1)? ,通过
待定系数法确定 ? 的值, 转化成以 a1 ? ? f (1) 为首项, 以 p 为公比的等比数列 ?an ? ? f (n)? ,再利用等比数 列的通项公式求出 ?an ? ? f (n)? 的通项整理可得 an .

法一:设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ,展开移项整理得

an?1 ? pan ? ( p ?1)? ,与题设 an?1 ? pan ? q 比较系
数(待定系数法)得

??

q q q , ( p ? 0) ? an?1 ? ? p(an ? ) p ?1 p ?1 p ?1

法二:当 f (n) 的公比为 q 时,由递推式得:

? an ?
以 a1 ?

? q q q ? ? p(an ?1 ? ) ,即 ?a n ? ? 构成 p ?1 p ?1 p ? 1? ?

an?1 ? pan ? f (n) ——①,an ? pan?1 ? f (n ?1) ,两
边同时乘以 q 得 an q ? pqan?1 ? qf (n ?1) ——②,由 ①②两式相减得 an?1 ? an q ? p(an ? qan?1 ) ,即

q 为首项,以 p 为公比的等比数列.再利用 p ?1

等比数列的通项公式求出 ?a n ?

? ?

q ? ? 的通项整理可 p ? 1?

an ?1 ? qan ? p ,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 an . an ? qan ?1
法三:递推公式为 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均
为常数) 或 an?1 ? pan ? rqn(其中 p, q, r 均为常数) 时,要先在原递推公式两边同时除以 q
n ?1

得 an . ㈡形如 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 1) 型的递推式: ⑴当 f ( n) 为一次函数类型(即等差数列)时:

,得:

法一:设 an ? An ? B ? p ?an?1 ? A(n ?1) ? B? ,

an?1 p an 1 ? ? ? ,引入辅助数列 ?bn ? (其中 q n?1 q q n q bn ? an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再应用类型Ⅴ㈠的方 n q q q

B 的值, 通过待定系数法确定 A 、 转化成以 a1 ? A ? B
为首项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? An ? B? ,再利 用等比数列的通项公式求出 ?an ? An ? B? 的通项整 理可得 an .

法解决。 ⑶当 f ( n) 为任意数列时,可用通法: 在 an?1 ? pan ? f (n) 两边同时除以 p
n ?1

可得到

法二:当 f (n) 的公差为 d 时,由递推式得:

an?1 ? pan ? f (n) , an ? pan?1 ? f (n ?1) 两式相减
得:an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? d , 令 bn ?an ?1 ? an 得:

an ?1 an f (n) a f ( n) ? n ? n ?1 , ? bn , 令 n 则 bn ?1 ? bn ? n ?1 , n ?1 n p p p p p
在转化为类型Ⅲ (累加法) , 求出 bn 之后得 an ? pnbn . 类型Ⅷ 形如 an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推式:

bn ? pbn?1 ? d 转化为类型Ⅴ㈠求出 bn ,再用类型Ⅲ

用待定系数法,化为特殊数列 {an ? an?1} 的形式 求解。方法为:设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较 系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h 、 k ,于是



1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? ( a ? b ); a ? b a ?b



{an?1 ? kan } 是公比为 h 的等比数列,这样就化归为 an?1 ? pan ? q 型。
5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列, 则数列 ?an ? bn ? 的求和就要采用此法. ②将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公比, 然后在错位相减,进而可得到数列 ?an ? bn ? 的前 n 项 和.

m?1 m m ④ Cn ? Cn ?1 ? Cn ;

⑤ n ? n! ? (n ? 1)!? n!. ⑶分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常 见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两 步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 第三章:不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方 法.
⑵裂项相消法 一般地,当数列的通项 an ?

c (an ? b1 )(an ? b 2 )

时,往往可将 an 变成两项的差, (a, b1 , b2 , c为常数) 采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设 an ?

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)

?
an ? b1

?

?
an ? b2

a?b?0? ⑧ (倒数法则)
2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

, 通分整理后与原式相

比较,根据对应项系数相等得 ? ?

c ,从而可得 b2 ? b1

2 2 ① a ? b ? 2ab ? a,b ? R ? , (当且仅当 a ? b 时取

" ? " 号).

变形公式: ab ?

a 2 ? b2 . 2

c c 1 1 = ( ? ). (an ? b1 )(an ? b 2 ) (b2 ? b1 ) an ? b1 an ? b 2
常见的拆项公式有: ①

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当
?

且仅当 a ? b 时取到等号). 变形公式:

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最 大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.


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