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第26届北京市高中力学竞赛决赛试题


第 26 届北京市高中力学竞赛决赛试题
(景山学校杯)
得 分 一、填空题(6 小题,每小题 8 分,共 48 分) 1. 北京在地球表面的位置约是东经 117?、 北纬 37?, 莫斯科的位置 约是东经 37?、北纬 56?.据报道说,习近平主席计划莫斯科时间上午 10 点在莫 斯科国际关系学院举行报告.试估计在北京的时间应是 ,理由是 . 2. 如图 1

所示,光滑轨道 PABCDE 由直轨道和两个半径均相同的圆弧轨道 连接而成. 小滑块由高 h 的 P 点释放滑下,无论 h 取何值,滑块不会脱离轨道 的部分是 脱离轨道的部分是 P ,可能最先脱离轨道的部分是 . ,经过该部分之后可能

O1 h A R B
图1

R C R

D R R O2 E F

3. 如图 2 所示,一块密度为水密度的 1/2 的塑料块连接到轻弹簧的一端,弹 簧另一端固定在桶底,塑料块完全浸没在水中时弹簧伸长 5mm。如果水桶以加 速度 a ?
1 g 匀加速上升,塑料块达到稳定状态 2

后弹簧伸长

mm,理由是

。 图2

4. 体重 60kg 的短跑运动员,在 50m 的比赛中,起跑后的 1.0s 内加速,后 来匀速,经 8.0s 跑到终点. 我们可估算出运动员在跑动中的最大功率是 W.(保留两位有效数字) 5. 有一种绳系卫星,母星在确定的轨道上运动,母星上用细绳悬吊一个子 星, 如图 3 所示. 稳定时母星和子星间的细绳方向应指向地心,但有时子星会发 生摆动,子星上无动力装置,为消除摆动使细绳方向指向地心,可采取的措施 是 , 理由是 . 6. 如图 4 所示,一鼓轮放在粗糙地面上,右边紧靠光滑的竖直墙壁,鼓轮 重量不计,其上由绳索悬吊一重物 G,已知 r =R/3,鼓轮与地面间的摩擦因数为 μ ,鼓轮处于静止平衡状态. 如果增大 r,其他条件不变,鼓轮是否能处于平衡 状态?答: 理由是
母星

, .

子星

地心

图3 二、计算题(共 102 分)

图4

得 分

7. ( 16 分 ) 如 图 5 所 示 , 球 与 台 阶 相 碰 的 恢 复 系 数 为 e
(分离速度 ? e 接近速度)

, 每级台阶的宽度和 高度相同,均等于 l,该球在台阶 上弹跳,每次均弹起同样高度且在 水平部分的同一位置,即 AB=CD, 求球的水平速度和每次弹起的高 度,球与台阶间无摩擦. D v1 B C v2

v1 A x

y 图5

得 分

8. (16 分)特警战士距墙 S0,以速度 ? 0 起跳,如图 6 所示,再 用脚蹬墙面一次,身体变为竖直向上的运动以继续升高,墙与鞋

底之间的静摩擦因数为μ .求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ .

S0 图6

得 分

9. (20 分)如图 7 所示,A、B、C、D、E 五个杂技演员在连续靠 近放置的跳板上表演杂技.他们各自的质量分别为 m1,m2,m3,

m4 和 m5.A 演员从 h1 高度跳到第一个跳板上. B、C、D 接着一个个被竖直向上 弹起后又竖直落下到相邻的跳板上.跳板的质量可以忽略,试求 E 演员被弹起 的高度 h5 是多少?

图7

得 分

10. (25 分)如图 8 所示,一根质量可以忽略的细杆,长为 2l, 两端和中心处分别固连着质量为 m 的小球 B、D 和 C,开始时

静止在光滑的水平桌面上. 桌面上另有一质量为 M 的小球 A,以一给定速度 v0 沿垂直于杆 DB 的方向与右端小球 B 作弹性碰撞. 求刚碰后小球 A、B、C、 D 的速度,并详细讨论以后可能发生的运动情况.

图8

得 分

11.(25 分)如图 9 所示,一均匀圆盘,质量为 M,半径为 R,静 止放在一光滑水平地面上,中心不固定. 质量为 m 的人,初始静

止站在圆盘边缘上(人可看作质点) ,当人以相对速率 u 沿圆盘边缘走动后,盘 的转动角速度大小为 ? ?

2m u ( ) ,求盘心 O 的速度大小. 3m ? M R
R O

.

m A

图9

第 26 届北京市高中力学竞赛决赛试题答案 (景山学校杯)
一、填空题 1.下午 3 点多(2 分).地球由西向东自转,24 小时转一周,经度为 360?, 每隔 15?差 1 小时,117?-37?=80?,约 5 个多小时(6 分). 2.A→B→C (2 分) . C→D(3 分) . E→F (3 分).


3.7.5 (2 分). 水和塑料块都超重,F 弹=F 浮-m 塑(g+a)=(ρ

-ρ 塑)

V 塑(g+a) 分). (6
4.2.7 103 (8 分)

a= Pm=mav= 60 ?
20 20 ? ? 2.7 ? 10 3 W 3 3

5.子星摆动最低处放绳,最高 处收绳 ,放绳时绳拉力对子星做 负功,收绳时做正功,半个周期内 负功绝对值大于正功,拉力总功为 负,子星机械能减小. (8 分) T2 T1 T1>T2

6.

能,

不能(2 分) .

平衡方程为 fR=Gr,

,平衡

时 二、计算题

(6 分)

7、解:球每次弹起的速度 v1 都相同,每次落地的速度 v2 也相同,由能量守 恒:
1 2
2

v1
2

mv1 ? mgl ? 1 mv 2 2
2
2 2

v1 B D
2 2 2

A

x y

C v2

v 2 ? v1 ? 2 gl, v 2 x ? v 2 y ? v1x ? v1 y ? 2 gl ①

(2 分)

由牛顿碰撞公式: ? v1 y ? ev2 y



(2 分)


在水平方向动量守恒: mv1x ? mv 2 x , v1x ? v 2 x 由①②③可求得: v1 y ? ?e
2 gl , (2分) 1 ? e2

v2 y ?

2 gl (2分) 1 ? e2

平抛公式: v y ? v1 y ? gt ④, l ? v1x t ⑤,

y ? v1 y t ? 1 gt 2 ⑥ 2

令 vy=v2y,由④可求得球从弹起到落地的时间:
t? v 2 y ? v1 y g ? 2 gl 1 ? e ? ? g 1 ? e2 2l (1 ? e) (2分) g (1 ? e)

代入⑤中即可求得球的水平速度:

v1x ?

l 2l (1 ? e) ?l/ ? t g (1 ? e)

2l (1 ? e) g (1 ? e)l ? ? g (1 ? e) 2l (1 ? e)

gl(1 ? e) (2分) 2(1 ? e)

令 vy=0,由④可求得球达最大高度所需时间:
t?? v1 y g ?e 2 gl 1 2l ? ?e 2 1? e g g (1 ? e 2 )

代入⑥中即可求得球所能达到的最大高度:
y ? ?e 2 gl 2l 1 2l e2 ?e ? ge 2 ? l 1 ? e2 g (1 ? e 2 ) 2 g (1 ? e 2 ) g 1 ? e 2

(4分)

8、分析和解:在解答本题时,注意摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量,抓住 主要因素忽略次要因素,是经常用到的手段. 人以角θ 起跳,水平初速度和竖直初速度分别为

?0 x ? ?0 cos ? , ?0 y ? ?0 sin ?
从起跳到蹬墙时空中飞行的时间为
t? s0 ?0 cos ?

则人蹬墙前竖直方向的速度为

? y ? ?0 y ? gt ? ?0 sin ? ? g
人重心升高:
h1 ? ?0 y t ?

s0 ?0 cos ?

s0 s0 s0 1 2 1 1 gt ? ?0 sin ? ? g( ) 2 ? s0 tan ? ? g ( ) 2 (6 2 ?0 cos ? 2 ?0 cos ? 2 ?0 cos ?

分) 设人蹬墙的时间为△t,因△t 很小,则静摩擦力的冲量远大于人体重力的冲 量,即 I f ?? I G ,由动量定理得: I f ? ? N ?t ? m?? y 而在水平方向同样由动量定理可知: N ?t ? m?? x ? m?x ? m?o cos ? (3 分) 人蹬墙后获得竖直向上的速度: ? ? ? ? y ? ?? y ? ? 0 sin ? ? y
gs0 ? ??0 cos ? ?0 cos ?

人蹬墙后再上升的高度
? gs0 ? ?? 0 (sin ? ? ? cos ? ) ? ? cos ? ? 2 2 2 ? ?y ? 0 ? ? ?0 (sin ? ? ? cos ? ) ? s tan ? ? ? s ? 1 g ( s0 ) 2 h2 ? ? 0 0 2g 2g 2g 2 ?0 cos ?
2

人体重心上升的总高度: H ? h1 ? h2 ?

?02 (sin ? ? ? cos ? ) 2
2g

? ? s0

令 tanφ =μ ,则 对 ? 0 、s0 一定时,当 ? ? ? ? 即 ? ? arctan
1

?
2

时 H 最大.

?

时,人体的重心总升高最大. 分) (7

9、 解:首先我们注意一下图中的翘板,中间是一个无限重的支柱.A 演员跳到 翘板的一端,同时把 B 演员弹到空中,我们可以看作是演员间“通过”翘板的 碰撞.假定碰撞的持续时间很短,由此我们可以不考虑

重力对碰撞本身的影响,因为在碰撞的时间△t 里,每一个演员和重力相关的冲 量矩(对翘板中心计算)与△t 成正比,是非常小的. 碰撞时翘板支点是不动的, 我们可以采用角动量守恒定律来研究.又由于翘 板非常轻,我们可以认为翘板的转动惯量为零.根据题中后面的说明和上面的假 设.我们可以认为碰撞时机械能是守恒的,也就是说是弹性碰撞. 令 ?1? 表示 A 演员碰撞后的速度. ?1? 与图上的 ?1 指向同一个方向.由系统的角 动量和机械能守恒,可以写出
m1?1r ? m1?1?r ? m2?2 r

(4 分) (4 分)

1 1 1 2 ? m1?12 ? m1?12? m2?2 2 2 2

解这个方程组,我们得到两组解 1) ? ? ? ?1 , ?2 ? 0 2) ? ? ? ?1
m1 ? m2 2m1 , ?2 ? ?1 (2 分) m1 ? m2 m1 ? m2

第一组解相当于碰撞之前;而第二组解相当于碰撞之后.B 演员跳到相邻的 翘板上, 在碰撞的瞬间速度是 ? 2 . 相继而来的过程和第一次完全相似. 因此以后 的演员弹起的速度相应地为

?3 ? ? 2

2m3 2m2 2m4 , ? 4 ? ?3 , ?5 ? ? 4 (5 分) m2 ? m3 m3 ? m4 m4 ? m5

将前面的计算结果代人,可得 E 演员弹起的速度为

?5 ? 16

m1m2 m3m4 (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 )(m4 ? m5 )

(3 分)

所求的高度 h5 可以利用下式计算

?1 ? 2gh1 , ?5 ? 2gh5
? ? 16m1m2 m3 m4 于是得到 h5 ? ? ? h1 (2 分) ? ( m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 )(m4 ? m5 ) ?
2

10、解析

①小球 A、 B 碰撞瞬间,球 A 挤压 B,其作用力方向垂直于

杆,使球 B 获得沿 v0 方向的速度 vB .从而在碰撞瞬间使小球 C、D 的速度也 沿 v0 方向.对质点组 B、C、D 与 A 组成的系统,碰撞前后动量守恒。由于小 球 C 位于由 B、C、D 三球组成 的质点组的质心处, 所以小球 C 的速度也就是质点组的质心速 度.
D C B V0 A M m m m

可得:

M v0 ? M vA ? 3mvC

(1)

(4 分)

②质点组 B、C、D 与 A 是弹性碰撞,碰撞前后质点组的动能相等。碰撞 后 A、B、C、D 的速度分别为 vA 、 vB 、 vC 、 vD ,得 (2) 分) (4

③对质点组 B、C、D 在碰撞瞬间,在 B 处受到 A 球的作用力,若取 B 为 1 1 1 2 1 2 1 2 (与 B 球重合的空间固定点) 2 2 M v0 ? M vA + mvB ? mvC ? mvD 2 2 2 2 2 考点,则质点组 B、C、D 在碰



撞前后,外力矩等于零,所以质点组角动量守恒. 可得

0 ? ml vC ? 2ml vD
④由杆的刚性条件有:

(3) (4 分) (4) (4 分)

v B ? v c ?v c ?v D

由(1) (2) (3) (4)式,可得 、 、 、

vC ? vB ?

4M v0 5M ? 6m 10M v0 5M ? 6m

(5)

vA ?

5M ? 6m v0 5M ? 6m

(6)

(7)

vD ? ?

2M v0 5M ? 6m

(8) (4 分)

⑤碰撞后各小球的运动 碰 撞 后 , 质 点 组 B、 C、 D 不 受 外 力 作 用 , 其 质 心 作 匀 速 运 动 , 即

vC ?

4M v0 5M ? 6m , 分) (2
碰撞后,B、 D 两小球将绕小球 C 作匀角速度转动,角速度的大小为

??

vB ? vC 6M v0 ? l 5M ? 6m l .(2 分)方向为逆时针方向.由(6)式可知,碰

后小球 A 的速度的大小和方向与 M、m 的大小有关,由于 M、m 取值不同而 导致运动情形比较复杂, 即可以使 vA = 0 ;vA < 0 ;vA > 0 且 vA ? vC ;vA ? vC 情景的出现,在此不作详细讨论. (1 分)

? 11、解:如图,人相对盘边沿 P 处的速度为 u ? ? ? P 相对盘心的速度 v po ? ? 0 ? R
? 盘心 O 对地速度为 v 0 ? ? ? ? ? 人对地速度 v人 ? u ? ? 0 ? R ? v0

u
(5 分)

?0

人、盘系统质心 C 静止 某一时刻 t,O、C、m 总共线, ? ? ? ? ? v人 、 v 0 、 u 、 ?0 ? R 垂直此直线。
O

.. .
? R P
m C

?C

v0 根据动量守恒定律的 ? ? ? ? ? Mv0 ? m[v0 ? ? ? R ? u ] ? 0 ? ? ? ? 建立图示正方向,则 v 0 、 ?0 ? R 沿正方向, u 沿负方向,因此
Mv0 ? m[v0 ? ?R ? u] ? 0

.

+

(10 分)

( M ? m)v0 ? mu ? m?R ? m(u ? ?R) ? m(u ?
v0 ? mu 3m ? M

(5 分)

2mu ) 3m ? M

(5 分)


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