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2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学


绝密★启封并使用完毕前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名

、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷

一、 选择题共 8 小题。 每小题 5 分, 40 分。 共 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A={1,2,3,4} ,B={x|x=n2,n∈A},则 A∩B= ( ) (A) {0} (B) {-1,,0} (C){0,1} (D) {-1,,0,1} (2) = ( )

(A)-1 -

i

(B)-1 +

i

(C)1 +

i

(D)1 -

i

(3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 ( ) (A) (B) (C) (D)

(4)已知双曲线 C: 为 (A)y=± x (5)已知命题 p: 下列命题中为真命题的是: (A) p∧q

= 1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程 ( (B)y=± x (C)y=± x )

(D)y=±x ,则 ( )

(B)¬p∧q

(C)p∧¬q

(D)¬p∧¬q

(6)设首项为 1,公比为

的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 ( )

(A)Sn =2an-1

(B)Sn =3an-2

(C)Sn =4-3an

(D)Sn =3-2an

( 7 ) 执 行 右 面 的 程 序 框 图 , 如 果 输 入 的 t∈[-1 , 3] , 则 输 出 的 s 属 于

(A)[-3,4] (B)[-5,2] (C)[-4,3] (D)[-2,5] (8)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y?=4 △POF 的面积为 (A)2 (B)2 (C)2 (D)4 x 的焦点,P 为 C 上一点,若丨 PF 丨=4 ,则

(9)函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π ,π ]的图像大致为

(10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos?A+cos2A=0,a=7, c=6,则 b= (A)10 (B)9 (C)8 (D)5

(11)某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为 (A)18+8π (B)8+8π (C)16+16π (D)8+16π

(12)已知函数 f(x)= (A) ∞] (-

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是

(B) ∞] ((C)[-2,1] (D)[-2,0] 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 (13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b?c=0,则t=_____.

(14)设 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x-y 的最大值为______. (15)已知H是求O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面a,H为垂足,a截球o所得截面的面 积为π ,则求o的表面积为_______. (16)设当x=θ 时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ =______. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)求数列

的前n项和

18(本小题满分共 12 分) 为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间 (单位:h)实验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠ BA A1=600. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2, 的体积 A1C= ,求三棱柱 ABC-A1B1C1

(20)(本小题满分共 12 分) 已知函数 f(x)=e (ax+b)-x -4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为 y=4x+4 (Ⅰ)求 a,b 的值 (Ⅱ)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值
x 2

(21)(本小题满分 12 分) 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x+1)2+y2=9,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内 切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 得方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长是,求|AB|.

(10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos?A+cos2A=0,a=7, c=6,则 b= (A)10 (B)9 (C)8 (D)5

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如 、 、 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点 为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。

(Ⅰ )证明:DB=DC; (Ⅱ )设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径。

(23)本小题 10 分) ( 选修 4—4: 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 x=4+5cost, y=5+5sint, 为参数) (t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系,曲线 C2 的 极坐标方程为ρ =2sinθ 。 (Ⅰ )把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ )求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣ 2x-1∣ 2x+a∣ +∣ ,g(x)=x+3. (Ⅰ )当 a=2 时,求不等式 f(x) <g(x)的解集; (Ⅱ )设 a>-1,且当 x∈ , )时,f(x) ≤g(x),求 a 的取值范围. [-


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