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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2异面直线所成角


2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系
(2)异面直线所成角

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? 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那

这条直线在此平面内 么_________。
不在一条直线上 ? 公理2:过_______的三点,有且只有一个 平面。 一条直线和这条直线外一点 ?

推论1:经过____________,有且只 有一个平面。 两条相交 ? 推论2:经过____直线,有且只有一个平面。 两条平行 ? 推论3:经过____直线,有且只有一个平面。

? 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那 有且只有一条过该点的公共直线 么它们______________。

平行于同一直线的 ? 公理4:________两条直线互相平行。

? 空间中直线与直线的位置关系:
位置关系 相 交 平 行 异 面 公共点个数
只有一个 没有 没有

是否共面
共面 共面 不共面

学习目标
1、熟练空间两条直线的位置关系; 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂 直的概念,能求出一些较特殊的异面直线 所成的角; 3、掌握等角定理及其应用。
? 重点:异面直线所成角的概念。 ? 难点:异面直线所成角的定义的理解。

抛 砖 引 玉

? 在平面内,如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角有什么关系?

抛 砖 引 玉

? 在空间中, 如果两个角的两边分别对应 平行,结论是否仍然成立呢?

1、等角定理:
? 空间中如果两个角的两边分别对应平行,
那么这两个角相等或互补。

? 【定理的推论】
如果两条相交直线和另两条相交直线 分别平行 , 那么这两条直线所成的锐角 ( 或 直角)相等。

? 平面内,两条直线相交成 4 个角,其中锐角 (或直角)称为它们的夹角。 ? 夹角刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜 的程度。

? 那么,两条异面直线之间的夹角是怎样的呢? b

?

a

自主学习(3min)
? 阅读教材P46—47,回答下列几个问题: 1、什么叫两条异面直线所成的角? 2、两条异面直线所成角的范围?

3 、两条空间直线互相垂直的定义及表示方法?

2、异面直线所成角:
? 如图,已知两条异面直线 a , b ,经过空间
任一点 O 作直线 a'∥a , b'∥b ,我们把 a' 与

b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b
所成的角(或夹角)。 b b'

平移
a'

?

a

o

举 一 反 三

? a'与b'所成角的大小与点O的位置有关吗? 为了简便,点 O 通常取在两条异面直线中

的一条上。

b

O

a?

?
? 异面直线所成角的实质:

a

? 异面直线经过平移到相交位置所成角。 空间图形 平面图形

3、异面直线所成角的范围:
? 如果两条异面直线所成的角是直角, α ? 那么我们就说这两条直线互相垂直。

O

? 两条互相垂直的异面直线a、b,记作a⊥b。

? 0 ° ? 我们规定:两条平行直线的夹角为_ 。 (0, ] 2 ? 那么,两条异面直线所成的角的取值范围是:

看图说话
1(1)长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两条棱所 在的直线是互相垂直的异面直线?

(2) 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂 直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直? (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
C'
B' A' D'

C
B A

D

求异面直线夹角的一般步骤是: 精讲点拨 “作—证—算—答” 【例】如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中: (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直? (2)哪些棱所在的直线与直线A′B垂直? (3)直线A′B和CC′所成角是多少?
D′
A′ D A B B′ C

解:(1) 直线AB,BC,CD,DA, A′B′ ,B′C′, C′ C′D′, D′A′与直线AA′ 都垂直. (2) 直线AD,BC, B′C′ ,A′D′与直线A′B 都垂直.

(3)∵BB′∥CC′,∴∠B′BA′就是 异面直线A′B与CC′所成角,∴异 面直线A′B与CC′所成角是450 。

追踪训练
2、如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′ ,求异面 直线A′B和AC所成的角。 600

D′
A′ D A B B′

C′

C

提升训练
3、已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为4 的正方形,高为2,点E、F分别是A1B1和BB1的中 点,求异面直线EF与AD1所成角的余弦值。 1
b2 ? c2 ? a 2 温馨提示: cos A ? 2bc
5

D1 A1 B1 E D F B

C1

C

A

合作交流
已知 AB=4 ,CD=2 , EF= ,求异面直线 AB 和CD

4、在四面体ABCD中,E、F分别是棱AD、BC中点,

所成的角。 600
A

E

M

D B C

F

知识盘点
1、等角定理; 2、异面直线夹角的概念;

3、求异面直线的夹角的一般步骤是: “作—证—算—答”

课后作业
? 写本上:教材P48—练习2; ? 写书上:教材P48—练习1 教材P51—习题A组3 ,4


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