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新课标Ⅱ第二辑2016届高三上学期第一次月考 数学(文)


第一次月考数学文试题【新课标Ⅱ版】
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选 考题,其它题为必考题。 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x 2 ? 2 x

? 8 ,则 A.A ? B 2.已知复数 z ? ? A. ? B.A ? B C.A ? B D.A ? B ? ?

?

?

?

?

1 3 ? i 2 2 3.已知命题 p : 对任意x ? R,有cos x ? 1,则
A. ?p:存在x ? R,使 cos x ? 1 C. ?p:存在x ? R,使 cos x ? 1

1 3 ? i ,则 z ? | z |? 2 2 1 3 1 3 i ? i B. ? ? C. 2 2 2 2

D.

1 3 ? i 2 2

B. ?p:对任意 x ? R,有cos x ? 1 D. ?p:对任意x ? R,有cos x ? 1

4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 A. y ?

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1


2

D. y ? lg | x |

5.三视图如右图的几何体的体积为 4 2 A. B. 1 C. 2 D. 3 3

2 主视图 左视图 1 俯视图 1 1

3 ? 1, 6.已知 p : x ? k,q : x ?1 如果 p 是 q 的充分不必要条件,
则实数 k 的取值范围是 B. (2,??) A. ? 2, ?? ? C. [1,??) D. (??,?1]

(第 5 题)

7.已知 a, b 是两个向量, a ? 1, b ? 2 且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为 A. 30
? ? B. 60

?

?

C. 120

?

D. 150

?

开始
i ? 1, s ? 0

8.若函数 f (x)=loga (2 x+1)(a>0,且 a≠1)在区间 ( ? , 0) 内恒有 f (x)>0, 则 f (x)的单调减区间是

1 2

1 A. (??, ? ) 2
C.(-∞,0)

1 B. (? , ??) 2
D.(0,+∞)

否 是 1 s ? s? 2i ? 1

9.如图给出的是计算 1 ?

1 1 1 ? ?? 的值的一个 3 5 2013

输出 s

程序框图,则判断框内应填入的条件是

i ? i ?1

结束

A. i ? 1006 C. i ? 1007 10.已知向量 a ? (sin(? ? A.1 B. ?1

B. i ? 1006 D. i ? 1007

?

?

? ? ? ? ),1), b ? (1, cos ? ? 3), 若a ? b, 则 sin(? ? ) 等于 6 3
C. 3 D. ? 3

11.在等差数列 {an } 中, a9 = A.24 B.48

1 a12 ? 6 ,则数列 {an } 的前 11 项和 S11 = 2
C.66 D.132

?| log 3 x |, 0 ? x ? 3 ? 12.已知 f ( x) ? ? 1 2 10 , a, b, c, d 是互不相同的正数, x ? x ? 8, x ? 3 ? 3 ?3
且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,则 abcd 的取值范围是 A.(18,28) B.(21,24) C.(18,25) D.(20,25)

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

?2 x ? 1( x ? 0) ? ?3 f ( x ) ? 13.设函数 ,若 f (a) ? a ,则实数 a 的值是__________. ? ? 1 ( x ? 0) ? ?x
14.已知函数 f ( x) ?

2 ? sin x , 2 ?1
x

则 f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ?

?x ? 0 ? 15.在约束条件 ? y ? 1 下,目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为_____________. ?2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
1 16.已知函数 f (x)=ax2+bx+4与直线 y=x 相切于点 A(1,1),若对任意 x∈[1,9],不等式 f (x -t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 组成的集合 为__________. .. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,已知 c ? 2, C ? (Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

?
3

.

18.(本小题满分 12 分) 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表: 空气质量指 数 空气质量等 级 0~50 1级 优 51~10 0 2 级良 101~150 3 级轻度污 染 151~200 4 级中度污 染 201~300 5 级重度污 染 300 以上 6 级严重污 染

由全国重点城市环境监测网获得 2 月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶 图表示如下: 甲城市 9 7 3 5 6 2 4 5 7 10 3 5 8 1 8 乙城市

(I)试根据上面的统计数据,判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只 需写出结果) ; (II)试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率; (III)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,试求这两个城市空气质量等级相同的 概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图, 空间几何体 ABCDFE 中, 四边形 ABCD 是菱形, 直角梯形 ADFE 所在平面与平面 ABCD 垂直,且 AE?AD,EF//AD,其中 P,Q 分别为棱 BE,DF 的中点. E (I)求证:BD?CE; (II)求证:PQ∥平面 ABCD. P A C F Q D

B

20.(本小题满分 12 分) 设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其长轴长是短轴长的 a 2 b2

y P B O x

2 倍,过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为

2 3.
(I)求椭圆 E 的方程; (II) 点 P 是椭圆 E 上横坐标大于 2 的动点, 点 B, C 在 y 轴 上,圆 ( x ?1) ? y ? 1 内切于 ?PBC ,试判断点 P 在何位置时, ?PBC 的面积 S 最小,并
2 2

C

证明你的结论.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( e 为自然对数的底数) , (Ⅰ)当 a =1 时,求 f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线与两坐标轴围成的图形的面积; (Ⅱ)若 f ?x ? ? x 对任意的 x ?(0,1)恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 已知,在△ ABC 中,D 是 AB 上一点,△ ACD 的外接圆交 BC 于 E,AB=2BE, (Ⅰ)求证:BC=2BD; (Ⅱ)若 CD 平分∠ACB,且 AC=2,EC=1,求 BD 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系和参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为 极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l : ? (2cos? ? sin ? ) ? 6 . (I)将曲线 C1 上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,纵坐标伸长到原来的 2 倍后得到 曲线 C2 .试写出曲线 C2 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程; (II)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | (I)若 a ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 2 ; (II)若 a ? 1, ?x ? R, f ( x)? | x ? 1|? 2 ,求实数 a 的取值范围。

参考答案
1B 2.D 3.C 13. ?1 14.5 4.C 5.B 6.B 16. ?4?
2 2

7. C

8. B

9.C 10.A

11. D 12. B

15. 2

17.解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得 a ? b ? ab ? 4 又?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 2

……3 分

联立 ?

?a 2 ? b2 ? ab ? 4 ?ab ? 4

解得 a ? 2, b ? 2

……5 分

(Ⅱ)由题意得, sin(B ? A) ? sin(B ? A) ? 4 sin A cos A 即 sin B cos A ? 2 sin A cos A . ……7 分

当cos A ? 0时, A ?

?
2

,B ?

?
6

,a ?

4 3 2 3 ,b ? 3 3
……9 分

?ABC 的面积 S ?

1 2 3 bc ? 2 3

当 cos A ? 0时, 得 sin B ? 2 sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , 联立方程 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4 ?b ? 2a

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? 3 3

所以 ?ABC 的面积 S ?

2 3 1 2 3 ab sin C ? ,综上, ?ABC 的面积为 .……12 分 3 2 3

18.解: (Ⅰ) s2甲 ? s2乙 --------3 分 (Ⅱ)

3 --------6 分 5

(III)甲 1 级 0~50 1 天,2 级 51~100 3 天,3 级 100~150 1 天, ;乙 1 级 0~50 2 天,2 级 51~100 3 天,同级别可以同 1 级,同 2 级------8 分 法 1:所有基本事件为: (29,43) (29,41) , (29,55) , (29,58) , (29,78) (53,43) (53,41) , (53,55) , (53,58) , (53,78) (57,43) (57,41) , (57,55) , (57,58) , (57,78) (75,43) (75,41) , (75,55) , (75,58) , (75,78) (106,43) (106,41) , (106,55) , (106,58) , (106,78) 共 25 种基本事件,------10 分 其中同级别的为划线部分,共 11 种,----11 分

11 -------12 分 25 1? 2 ? 3 ? 3 11 ? 法 2 P= ------12 分 5? 5 25
P= 19.

20.解: (1)由已知 a ?

2b ,

b2 ? 3 ,------2 分 a

解得: a ? 2 3, b ? 6 ,------4 分

故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ------5 分 12 6

(2)设 P( x0 , y0 )(2 ? x0 ? 2 3) , B(0, m), C (0, n) . 不妨设 m ? n ,则直线 PB 的方程为 lPB : y ? m ?

y0 ? m x -----6 分 x0

即 ( y0 ? m) x ? x0 y ? x0 m ? 0 ,又圆心 (1, 0) 到直线 PB 的距离为 1, 即

y0 ? m ? x0 m ( y0 ? m) 2 ? x0 2

? 1, x0 ? 2 ,--------7 分

化简得 ( x0 ? 2)m2 ? 2 y0 m ? x0 ? 0 ,同理, ( x0 ? 2)n2 ? 2 y0n ? x0 ? 0 , ∴ m, n 是方程 ( x0 ? 2) x2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两个根, ∴m?n ?

?2 y0 ? x0 , , mn ? x0 ? 2 x0 ? 2

2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8x0 则 ( m ? n) ? ,--------9 分 ( x0 ? 2)2 2
2 x0 2 x 2 ? 8 x0 ? 24 ) ,∴ (m ? n)2 ? 0 . 12 ( x0 ? 2)2

∵ P( x0 , y0 ) 是椭圆上的点,∴ y0 ? 6(1 ?
2

则S ?
2

2 2 1 2 x0 ? 8x0 ? 24 2 x0 ? 4 x0 ? 12 2 ( x0 ? 2)2 ? 8 2 ? ? x ? ? x0 ? ? x0 ,-----10 分 0 4 ( x0 ? 2)2 2( x0 ? 2)2 2( x0 ? 2)2

令 x0 ? 2 ? t (0 ? t ? 2( 3 ?1)) ,则 x0 ? t ? 2 ,令 f (t ) ?

(t 2 ? 8)(t ? 2) 2 , 2t 2

1 2 16 16 16 32 (t ? 2)(t 3 ? 16) ? ? ,则 f (t ) ? t ? 2 ? 2 ? 3 ? 化简,得 f (t ) ? t ? 2t ? 6 ? , 2 t t2 t t t3
令 f ?(t ) ? 0 ,得 t ? 2 3 2 ,而 2( 3 ?1) ? 2 3 2 , ∴函数 f (t ) 在 [0, 2( 3 ? 1)] 上单调递减,当 t ? 2( 3 ? 1) 时, f (t ) 取到最小值,

此时 x0 ? 2 3 ,即点 P 的横坐标为 x0 ? 2 3 时, ?PBC 的面积 S 最小. -----12 分 21.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? e x ? x ? 1 , f (1) ? e , f ?( x) ? e x ? 1 , f ?(1) ? e ? 1 , 函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? e ? (e ? 1)( x ? 1) , 即 y ? (e ? 1) x ? 1 -------3 分

设切线与 x、y 轴的交点分别为 A,B. 令 x ? 0 得 y ? ?1 ,令 y ? 0 得 x ?
S△OAB ? 1 1 1 ? ?1 ? . 2 e ?1 2(e ? 1)

1 1 , 0) , B (0, ?1) ,∴ A( e ?1 e ?1

在点 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 (Ⅱ)由 f ( x) ≥ x 2 得 a ≥ 令 h( x) ?

1 ……5 分 2(e ? 1)

1 ? x2 ? e x , -------7 分 x

1 ? x2 ? e x 1 ex ? ?x? , x x x
1 e x ( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1 ? e x ) -------9 分 ? ? x2 x2 x2

h ?( x) ? 1 ?

令 k ( x) ? x ? 1 ? e x ,

k ?( x) ? 1 ? e x ,

∵ x ? (0,1) ,∴ k ?( x) ? 1 ? e x ? 0 , k ( x) 在 x ? (0,1) 为减函数 , ∴ k ( x) ? k (0) ? 0 , 又∵ x ? 1 ? 0 , x 2 ? 0 ∴ h ?( x) ?
( x ? 1)( x ? 1 ? e x ) ?0 x2

∴ h( x) 在 x ? (0,1) 为增函数,

h( x) ? h(1) ? 2 ? e ,-----11 分

因此只需 a ≥ 2 ? e ………… 12 分 .22.【解析】 : (Ⅰ)连接 DE ∵四边形 ACED 是圆的内接四边形, ∴ ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA , ∴ ?DBE ∽ ?CBA ,即有 又∵ AB ? 2 BE ∴ BC ? 2 BD (Ⅱ)由(Ⅰ) ?DBE ∽ ?CBA ,知 ………………5 分

BE BD ? , AB BC

BE ED ? , AB AC

又 AB ? 2 BE ,∴ AC ? 2 DE , ∵ AC ? 2 ,∴ DE ? 1 ,而 CD 是 ?ACB 的平分 线∴ DA ? 1 ,设 BD ? x ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC

即 x ? x ? 1? ? 即 BD ? 1

1 1 ,解得 x ? 1 , ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1? ? ? 2 ?2 ?
…………10 分

23.解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 ………2 分 ∵曲线 C2 的直角坐标方程为: ( ∴曲线 C2 的参数方程为: ?

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3

? x ? 3 cos ? ? (? 为参数) .………………5 分 ? ? y ? 2sin ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

| 4 cos(? ? ) ? 6 | | 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | 6 d? ? ,………………7 分 5 5 3 ? 5? ? 2k? , k ? Z 时,点 P ( ? ,1) ,-----9 分 ∴当 cos(? ? ) ? 1, ? ? 2 6 6 |4?6| ? 2 5 .…………10 分 此时 d max ? 5 24. 解:(1)、当 a ? 1 时,由 f ( x) ? 2 ,得 x ? 1 ? 1 ,------3
解得, x ? 0或x ? 2 故 f ( x) ? 2 的解集为 x x ? 0或x ? 2 --------5 分

?

?

?

?? 3 x ? 2 ? a , x ? 1 ? (2)令 F ( x) ? f ( x) ? x ? 1 ,则 F ( x) ? ? x ? 2 ? a,1 ? x ? a -----7 分 ?3x ? 2 ? a, x ? a ?
所以当 x ? 1 时, F ( x ) 有最小值 F (1) ? a ? 1 ,-----8 分 只需 a ? 1 ? 2 解得 a ? 3 所以实数 a 的取值范围为 [3,??) .-----10 分


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