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成都七中


2008 年广东省全国初中数学竞赛试卷(初赛)

四川省成都七中中数学选拔试卷(初赛)
一、 2 1. (4 分)若 x ﹣2(m﹣3)x+9 是一个多项式的平方,则 m=( ) A 6 B 12 C 6或0 D 0或 . . . .

2. (4 分)若 a≤1,则 A . B .
2

化简后为

( C .
2 2

) D .
2

3. (4 分)已知(a+b) =8, (a﹣b) =12.则 a +b 的值为( ) A 10 B 8 C 20 D 4 . . . . 4. (4 分) (2008?怀柔区一模) 关于 x 的方程 2kx + (8k+1) x=﹣8k 有两个不相等的实根, 则 k 的取值范围是 ( A B C D . . . .
2 2



5. (4 分)已知 a、b、c 为 ABC 的三边,且关于 x 的一元二次方程(c﹣b)x +2(b﹣a)x+(a﹣b)=0 有两个相 等的实根,则这个三角形是( ) A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 不等边三角 . . . . 形
3 2

6. (4 分) 已知: 三个数 a、 b、 c 的积为负数, 和为正数, 且 的值为( A 0 . ) B 1 .
2

, 则 ax +bx +cx+1

C 2 .
2

D ﹣1 .

7. (4 分)若实数 a、b 满足等式 a =7﹣3a,b =7﹣3b,则代数式 A ﹣ . B . C 2 或﹣ . D 2或 .

之值为(



8. (4 分)若 α 为锐角,且 cosα=0.6,则( ) A 0°<α<30° B 30°<α<45° C 45°<α<60° . . . 9. (4 分)如果|x﹣a|=a﹣|x|(x≠0,x≠a) ,那么 A 2a . B 2x . C ﹣2a .

D 60°<α<90° . =( D ﹣2x . )

10. (4 分) (2004?乌鲁木齐)如图,AD∥ BC,∠ D=90°,DC=7,AD=2,BC=4.若在边 DC 上有点 P 使△ PAD 和△ PBC 相似,则这样的点 P 存在的个数有( )
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A 1 .

B 2 .
2

C 3 .
2

D 4 . ) D 2a2+2 . )

11. (4 分) (2007?嘉兴)化简: (a+1) ﹣(a﹣1) =( A 2 B 4 C 4a . . .

12. (4 分)如图,点 A 在平行四边形的对角线上,试判断 s1,s2 之间的大小关系(

A s1=s2 .

B s1>s2 .

C s1<s2 .

D 无法确定 .

13. (4 分) (2009?天水)图中,EB 为半圆 O 的直径,点 A 在 EB 的延长线上,AD 切半圆 O 于点 D,BC⊥ AD 于 点 C,AB=2,半圆 O 的半径为 2,则 BC 的长为( )

A 2 .

B 1 .

C 1.5 .

D 0.5 . )

14. (4 分)如图,O 是△ ABC 的外心,OD⊥ BC,OE⊥ AC,OF⊥ AB,则 OD:OE:OF=(

A a:b:c .

B .

: :

C cosA:cosB: D sinA:sinB: . cosC . sinC

15. (4 分) (2006?河池)如图,沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处已知 AB=8,BC=10,则 tan∠ EFC 的值为( )

A .

B .

C .

D .

16. (4 分) (2007?娄底)如图,△ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,被一平行于 BC 的矩形所截,AB 被截成三等 分,则图中阴影部分的面积为( )
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A 4cm2 .

B 2cm2 .

C 3 .

cm

2

D 3cm2 .

17. (4 分)某商店经销一批衬衣,每件进价为 a 元,零售价比进价高 m%,后因市场变化,该商把零售价调整为原 来零售价的 n%出售.那么调整后每件衬衣的零售价是( ) A a(l+m%) C a (l B am%(1﹣ (l+m%) n% D a (l+m%?n%) . ﹣n%)元 . n%)元 . 元 . 元 18. (4 分)三人同行,其中两个性别相同的概率是( A 1 B 0 C . . . ) D .

19. (4 分)如图,将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2007 次,点 P 依次落在点 P1,P2,P3,P4,…, P2007 的位置,则 P2007 的横坐标 x2007=( )

A 2001 .

B 2004 .

C 2006 .

D 2010 . )

20. (4 分) 已知 x1, x2, x3 的平均数为 5, yl, y2, y3 的平均数为 7, 则 2x1+3y1, 2x2+3y2, 2x3+3y3 的平均数为 ( A 31 B C D 17 . . . . 21. (4 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,点 P 在 AD 上,PE⊥ AC 于 E,PF⊥ BD 于 F,则 PE+PF 等于( )

A .

B .

C .

D .

22. (4 分) (2006?莱芜)如图,B 是线段 AC 的中点,过点 C 的直线 l 与 AC 成 60°的角,在直线 L 上取一点 P, 使∠ APB=30°,则满足条件的点 P 的个数是( )

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A 3个 .

B 2个 .

C 1个 .

D 不存在 .

23. (4 分) (2006?淮安)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 在 AB 边上.四边形 EFGB 也为正方形,设△ AFC 的面积为 S,则( )

A S=2 .

B S=2.4 .

C S=4 .

D S 与 BE 长度 . 有关

24. (4 分) (2006?南充)如图,底面半径为 1,母线长为 4 的圆锥,一只小蚂蚁若从 A 点出发,绕侧面一周又回到 A 点,它爬行的最短路线长是( )

A 2π .

B .

C .

D 5 .

25. (4 分) (2003?黄浦区一模)在等边△ ABC 所在的平面内求一点 P,使△ PAB,△ PBC,△ PAC 都是等腰三角形,具 有这样性质的点 P 有( ) A 1 B 4 C 7 D 10 . . . . 26. (4 分) (2007?长沙)在密码学中,直接可以看到内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一 种密码,将英文 26 个字母 a,b,c…,z(不论大小写)依次对应 1,2,3,…,26 这 26 个自然数(见表格) .当明 码对应的序号 x 为奇数时,密码对应的序号 y= b c d e f 字母 a 2 3 4 5 6 序号 1 o p q r s 字母 n 15 16 17 18 19 序号 14 按上述规定,将明码“love”译成密码是( ) A gawq B shxc C sdri . . . ;当明码对应的序号 x 为偶数时,密码对应的序号 y= +13. g 7 t 20 h 8 u 21 D love . i 9 v 22 j 10 w 23 k 11 x 24 l 12 y 25 m 13 z 26

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27. (4 分) (2007?泉州)将点 A(4,0)绕着原点 O 顺时针方向旋转 30°角到对应点 A′ ,则点 A′ 的坐标是( A ( C (2 ,﹣2) D (2,﹣2 ) ,2) B (4,﹣2) . . . .



28. (4 分) (2010?大田县)如图,在平面直角坐标系中,点 P 在第一象限,⊙ P 与 x 轴相切于点 Q,与 y 轴交于 M (0,2) ,N(0,8)两点,则点 P 的坐标是( )

A (5,3) .

B (3,5) .

C (5,4) .
2

D (4,5) .

29. (4 分) (2013?红桥区一模)如图所示,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2) ,且与 x 轴交点 的横坐标分别为 x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列结论: ① abc>0; ② 4a﹣2b+c<0; ③ 2a﹣b<0; ④ b +8a>4ac. 其中正确的有(
2



A 1个 .

B 2个 .

C 3个 .

D 4个 .

30. (4 分)观察下列三角形数阵: 1 2 4 7 11 12 8 13 … C 1270 . D 1275 . 5 9 14 … 3 6 10

则第 50 行的最后一个数是( ) A 1225 B 1260 . .

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2008 年广东省全国初中数学竞赛试卷(初赛)
参考答案与试题解析
一、 1. (4 分)若 x ﹣2(m﹣3)x+9 是一个多项式的平方,则 m=( ) A 6 B 12 C 6或0 D 0或 . . . . 考点: 专题: 分析: 完全平方式.
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2

解答:

点评:

计算题. 本题考查完 全平方公式 的灵活应用, 这里首末两 项是 x 和 3 的 平方,那么中 间项为加上 或减去 x 和 3 的乘积的 2 倍. 2 解: ∵ x ﹣2 (m ﹣3) x+9 是完 全平方式, ∴ ﹣2(m﹣3) x=±2×3?x, 解得 m=6 或 0. 故选 C. 本题主要考 查完全平方 公式,根据两 平方项确定 出这两个数, 再根据乘积 二倍项求解.

2. (4 分)若 a≤1,则 A . 考点: B . 二次根式的 性质与化简.
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化简后为( C .

) D .

分析:

先根据 a≤0 判
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解答:

断出 1﹣a 的 符号,再把二 次根式进行 化简即可. 解:∵ a≤1, ∴ 1﹣a≥0, ∴ 原式=(1﹣ a) .

点评:

故选 B. 本题考查的 是二次根式 的性质与化 简,熟知二次 根式的基本 性质是解答 此题的关键.
2 2 2 2

3. (4 分)已知(a+b) =8, (a﹣b) =12.则 a +b 的值为( ) A 10 B 8 C 20 D 4 . . . . 考点: 专题: 分析: 完全平方公 式. 整体思想. 根据完全平 分公式得到
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解答:

点评:

a +2ab+b =8 2 ① ,a ﹣ 2 2ab+b =12② , 然后把两个 等式相加即 可得到结论. 解:∵ (a+b) 2 =8, 2 2 ∴ a +2ab+b = 8① , 又∵ (a﹣b) 2 =12, 2 ∴ a﹣ 2 2ab+b =12② , ① +② 得, 2 2 2a +2b =20, 2 2 ∴ a +b =10. 故选 A. 本题考查了 完全平分公 式: (a±b)
2

2

2

=a ±2ab+b

2

2

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.也考查了整 体的思想. 4. (4 分) (2008?怀柔区一模) 关于 x 的方程 2kx + (8k+1) x=﹣8k 有两个不相等的实根, 则 k 的取值范围是 ( A B C D . . . . 考点: 专题: 分析: 根的判别式.
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2



计算题. 先把方程变 形为一般式, 然后由方程 有两个不相 等的实根,根 据一元二次 方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根 的判别式的 意义得到 2k≠0,且△ > 0,求出两个 不等式的公 共部分即得 到 k 的取值范 围. 解:原方程变 2 形为:2kx + (8k+1) x+8k=0, ∵ 关于 x 的方 2 程 2kx + (8k+1)x= ﹣8k 有两个 不相等的实 根, ∴ 2k≠0, 即 k≠0 且△ >0, 2 即(8k+1) ﹣4×2k×8k> 0, 解得 k>﹣ , ∴ k 的取值范 围为 k>﹣ 且 k≠0.
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2

解答:

点评:

故选 D. 本题考查了 一元二次方 程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根 的判别式 △ =b ﹣4ac: 当△ >0,方程 有两个不相 等的实数根; 当△ =0,方程 有两个相等 的实数根;当 △ <0,方程没 有实数根.也 考查了一元 二次方程的 定义.
2 2

5. (4 分)已知 a、b、c 为 ABC 的三边,且关于 x 的一元二次方程(c﹣b)x +2(b﹣a)x+(a﹣b)=0 有两个相 等的实根,则这个三角形是( ) A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 不等边三角 . . . . 形 考点: 根的判别式; 因式分解的 应用. 由方程有两 个相等的实 数根推知 2 △ =b ﹣ 4ac=0,从而 解得 a、b、c 的数量关系, 据此可以推 知该三角形 是等腰三角 形. (2)∵ 方程有 两个相等的 实数根, ∴ △ =4(b﹣a) 2 ﹣4(c﹣b) (a﹣b) 2 =4a ﹣4ab﹣ 4ac+4bc =4(a﹣b) (a ﹣c)
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2

分析:

解答:

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=0, ∴ a﹣b=0 或 a ﹣c=0, 解得 a=b 或 a=c; 又∵ (c﹣b) x +2(b﹣a) x+(a﹣b)=0 是关于 x 的一 元二次方程, ∴ c﹣b≠0,即 c≠b, ∴ 该三角形是 等腰三角形. 故选 C. 本题综合考 查了根的判 别式、因式分 解的应用.解 答该题时要 注意关于 x 的 一元二次方 程(c﹣b) 2 x +2(b﹣a) x+(a﹣b)=0 的二次项系 数不为零.
3 2 2

点评:

6. (4 分) 已知: 三个数 a、 b、 c 的积为负数, 和为正数, 且 的值为( A 0 . 考点: 专题: 分析: ) B 1 . 代数式求值; 绝对值. 计算题. 可由已知,三 个数 a、b、c 的积为负数, 和为正数,得 三个数中有 两个正数,一 个负数,故可 得
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, 则 ax +bx +cx+1

C 2 .

D ﹣1 .

=1,

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=﹣1,故得

=1﹣1=0,即 得 ax +bx +cx+ 1=0+0+0+1=1 . 解:∵ 三个数 a、b、c 的积 为负数,和为 正数, ∴ 得三个数中 有两个正数, 一个负数, ∴
3 2

解答:

=1, ∴

=﹣1, 故得

=1﹣1=0, ∴ ax +bx +cx +1=0+0+0+1 =1. 故选 B. 本题主要考 查代数式求 值问题,利用 绝对值的基 本性质,以及 正数与负数 的性质,便得 所求结果,要 认真掌握.
2 2 3 2

点评:

7. (4 分)若实数 a、b 满足等式 a =7﹣3a,b =7﹣3b,则代数式 A ﹣ . 考点: B . 根与系数的
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之值为(



C 2 或﹣ .

D 2或 .

专题: 分析:

关系. 分类讨论. 根据题意,分 a=b 和 a≠b 两 种情况讨论, 当 a≠b 时,易 得 a、b 是方
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解答:

程 x =7﹣3x 的根,利用根 与系数的关 系求解即可. 解: 当 a=b 时, =2; 当 a≠b 时, ∵ a、b 是方程 x +3x﹣7=0 的根, ∴ a+b=﹣3, ab=﹣7, ∴ = =
2

2

=

=﹣



综上所述, =2 或 , 故选 C. 此题要注意 分情况考虑, 特别不要忘 记 a=b 这种情 况,同时也要 利用根与系 数的关系.

点评:

8. (4 分)若 α 为锐角,且 cosα=0.6,则( ) A 0°<α<30° B 30°<α<45° C 45°<α<60°

D 60°<α<90°

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. 考点:

. 锐角三角函 数的增减性.
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分析:

根据锐角的 余弦随着角 度的增大而 减小,判断出 <0.6< ,然后解 答即可. 解: cos60°= , cos45°= ,

解答:

0<α<90° 时, cosα 随着 角度的增大 而减小, ∵ <0.6< , ∴ 45°<α< 60°. 故选 C. 本题考查了 锐角三角函 数的增减性, 熟记特殊角 的三角函数 值和了解锐 角三角函数 的增减性是 解题的关键. =( D ﹣2x . )

点评:

9. (4 分)如果|x﹣a|=a﹣|x|(x≠0,x≠a) ,那么 A 2a . 考点: B 2x . 二次根式的 性质与化简; 绝对值;完全 平方公式;含
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C ﹣2a .

专题: 分析:

绝对值符号 的一元一次 方程. 计算题. 由绝对值的 定义可知,一 个数的绝对 值要么等于 它本身,要么 等于它的相 反数,根据已 知条件|x﹣ a|=a﹣|x|,得 出|x|=x 且 x≤a.再根据 完全平方公 式及二次根 式的性质
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=|a|进行 化简,最后去 括号、合并同 类项即可得 出结果. 解:∵ |x﹣a|=a ﹣|x|, ∴ |x|=x 且 x≤a. ∴ a﹣x>0, a+x>0. ∴

解答:

=



点评:

=|a﹣x|﹣|a+x| =a﹣x﹣ (a+x) =a﹣x﹣a﹣x =﹣2x. 故选 D. 本题考查了 绝对值的定 义,完全平方 公式,二次根 式的性质,二
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次根式的化 简及整式的 加减运算,难 度中等,其中 根据绝对值 的定义,结合 已知条件得 出|x|=x 且 x≤a 是解题的关 键. 10. (4 分) (2004?乌鲁木齐)如图,AD∥ BC,∠ D=90°,DC=7,AD=2,BC=4.若在边 DC 上有点 P 使△ PAD 和△ PBC 相似,则这样的点 P 存在的个数有( )

A 1 . 考点: 专题: 分析:

B 2 . 相似三角形 的判定. 压轴题;分类 讨论. 根据已知分 两种情况 △ PAD∽ △ PBC
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C 3 .

D 4 .

或 △ PAD∽ △ BPC 来进行分析, 求得 PD 的 长,从而确定 P 存在的个 数. 解: ∵ AD∥ BC, ∠ D=90° ∴ ∠ C=∠ D=90° ∵ DC=7, AD=2,BC=4 设 PD=x,则 PC=7﹣x; ① 若 PD: PC=AD: BC, 则 △ PAD∽ △ PBC ∴ ,

解答:

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解得:PD= ② 若 PD: BC=AD: PC, 则 △ PAD∽ △ BPC ∴ 解得: PD= ∴ 这样的点 P 存在的个数 有 3 个. 故选 C. ,

点评:

此题考查了 相似三角形 的判定: ① 如果两个三 角形的三组 对应边的比 相等,那么这 两个三角形 相似; ② 如果两个三 角形的两条 对应边的比 相等,且夹角 相等,那么这 两个三角形 相似; ③ 如果两个三 角形的两个 对应角相等, 那么这两个 三角形相 似.平行于三 角形一边的 直线截另两 边或另两边 的延长线所 组成的三角 形与原三角 形相似.

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11. (4 分) (2007?嘉兴)化简: (a+1) ﹣(a﹣1) =( A 2 B 4 C 4a . . . 考点: 专题: 分析: 平方差公式.
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2

2

) D 2a2+2 .

计算题. 将 a+1 和 a﹣1 看成一个整 体,用平方差 公式解答. 解: (a+1) 2 ﹣(a﹣1) , =[(a+1)﹣ (a﹣ 1)][(a+1)+ (a﹣1)], =2×2a, =4a. 故选:C. 本题考查了 平方差公式, 关键是将 a+1 和 a﹣1 看成 一个整体,并 熟练掌握平 方差公式: (a ﹣b) (a+b) 2 2 =a ﹣b . )
2

解答:

点评:

12. (4 分)如图,点 A 在平行四边形的对角线上,试判断 s1,s2 之间的大小关系(

A s1=s2 . 考点:

B s1>s2 . 平行四边形 的性质;三角 形的面积. S1 与 S2 有一 公共边 FN, 又有对角线 可得△ EFH 与 △ GFH 的高 EM 与 GN 相 等,进而可得 出结论. 解:如图,作
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C s1<s2 .

D 无法确定 .

分析:

解答:

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EM⊥ FH, GN⊥ FH, 则可得 EM=GN, ∵ S1= FN?E M, S2= FN?GN ∴ S1=S2. 故选 A.

点评:

本题主要考 查平行四边 形对角线上 一点所涉及 的面积问题, 熟练掌握平 行四边形的 性质,能够熟 练求解此类 问题.

13. (4 分) (2009?天水)图中,EB 为半圆 O 的直径,点 A 在 EB 的延长线上,AD 切半圆 O 于点 D,BC⊥ AD 于 点 C,AB=2,半圆 O 的半径为 2,则 BC 的长为( )

A 2 . 考点:

B 1 . 切线的性质; 三角形中位 线定理. 连接 OD,运 用三角形中 位线定理求 解. 解: 连接 OD. AD 是切线, 点 D 是切点, ∴ BC⊥ AD, ∴ ∠ ODA=∠ AC B=90°,
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C 1.5 .

D 0.5 .

分析:

解答:

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BC∥ OD. ∵ AB=OB=2, 则点 B 是 AO 的中点, ∴ BC= OD=1 . 故选 B.

点评:

本题利用了 切线的性质, 平行线的判 定和性质,三 角形中位线 的性质求 解.连接圆心 和切点是常 作的辅助线. )

14. (4 分)如图,O 是△ ABC 的外心,OD⊥ BC,OE⊥ AC,OF⊥ AB,则 OD:OE:OF=(

A a:b:c . 考点:

B .

: :

C cosA:cosB: D sinA:sinB: . cosC . sinC

三角形的外 接圆与外心.
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分析:

作出△ ABC 的 外接圆,连接 OA、 OB、 OC, 由垂径定理 和圆周角定 理可得 ∠ B= ∠ AOC= ∠ AOE,同理 可知 ∠ A=∠ BOD、 ∠ C=∠ AOF, 若 设⊙ O 的半径 为 R,可用 R
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解答:

分别表示出 OD、 OE、 OF, 进而可得到 它们的比例 关系. 解:如图,连 接 OA、OB、 OC; ∵ ∠ BOC=2∠ B AC=2∠ BOD, ∴ ∠ BAC=∠ BO D; 同理可得: ∠ BOF=∠ BCA , ∠ AOE=∠ ABC ; 设⊙ O 的半径 为 R,则: OD=R?cos∠ B OD=R?cos∠ B AC, OE=R?cos∠ A OE=R?cos∠ A BC, OF=R?cos∠ B OF=R?cos∠ A CB, 故 OD:OE: OF=cos∠ BAC :cos∠ ABC: cos∠ ACB, 故选 C.

点评:

此题主要考 查了三角形 的外接圆、圆 周角定理及 垂径定理的 综合应用.

15. (4 分) (2006?河池)如图,沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处已知 AB=8,BC=10,则 tan∠ EFC 的值为( )

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A . 考点:

B . 翻折变换(折 叠问题) ;矩 形的性质;锐 角三角函数 的定义. 压轴题. 根据折叠的 性质和锐角 三角函数的 概念来解决. 解:根据题意 可得:在 Rt△ ABF 中, 有 AB=8, AF=AD=10, BF=6, 而 Rt△ ABF∽ Rt△
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C .

D .

专题: 分析:

解答:

EFC,故有 ∠ EFC=∠ BAF ,故 tan∠ EFC=tan ∠ BAF= = . 故选 A. 本题考查锐 角三角函数 的概念:在直 角三角形中, 正弦等于对 比斜;余弦等 于邻比斜;正 切等于对比 邻.

点评:

16. (4 分) (2007?娄底)如图,△ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,被一平行于 BC 的矩形所截,AB 被截成三等 分,则图中阴影部分的面积为( )

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A 4cm2 . 考点:

B 2cm2 . 等边三角形 的性质;等腰 梯形的性质; 平行线分线 段成比例. 几何图形问 题;压轴题. 由题意知 EFGH 为等腰 梯形,要求它 的面积,只要 求出 EH、FG 及高(为等边 三角形的高
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C 3 .

cm

2

D 3cm2 .

专题: 分析:

的 )即可. 解答: 解:∵ 等边三 角形,被一平 行于 BC 的矩 形所截,AB 被截成三等 分, ∴ EH= BC=2 cm, FG= BC=4c m,且四边形 EHGF 是等腰 梯形,它的高 为等边三角 形的高的 , ∵ 等边三角形 的高 =6×sin60°=3 , ∴ 等腰梯形高 等于 , ∴ 等腰梯形的
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面积 = × =3

点评:

,即阴影 部分的面积 为3 . 故选 C. 本题利用了: ① 等边三角形 的性质;② 平 行线等分线 段的性质;③ 等边三角形 高与边长的 关系;④ 梯形 的面积公式 求解.

17. (4 分)某商店经销一批衬衣,每件进价为 a 元,零售价比进价高 m%,后因市场变化,该商把零售价调整为原 来零售价的 n%出售.那么调整后每件衬衣的零售价是( ) A a(l+m%) C a (l B am%(1﹣ (l+m%) n% D a (l+m%?n%) . ﹣n%)元 . n%)元 . 元 . 元 考点: 分析: 列代数式. 根据每件进 价为 a 元,零 售价比进价 高 m%表示出 零售价,再结 合商把零售 价调整为原 来零售价的 n%出售得出 等式. 解:∵ 每件进 价为 a 元,零 售价比进价 高 m%, ∴ 零售价为:a (1+m%) 元, 要零售价调 整为原来零 售价的 n%出 售. ∴ 调整后每件 衬衣的零售 价是:a (1+m%)n% 元.
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解答:

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点评:

故选 C. 此题主要考 查了列代数 式,解决问题 的关键是读 懂题意,找到 所求的量的 等量关系. ) D .

18. (4 分)三人同行,其中两个性别相同的概率是( A 1 B 0 C . . . 考点: 分析: 概率的意义.
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解答:

点评:

首先分析可 得,三人同 行,其中两个 性别相同是 必然事件,进 而可得其概 率. 解:三人同 行,至少有两 个人性别相 同, 故两个性别 相同是必然 事件,概率为 1. 故选 A. 用到的知识 点为:必然事 件的概率为 1.

19. (4 分)如图,将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2007 次,点 P 依次落在点 P1,P2,P3,P4,…, P2007 的位置,则 P2007 的横坐标 x2007=( )

A 2001 . 考点:

B 2004 . 坐标与图形 性质;正方形 的性质.
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C 2006 .

D 2010 .

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专题: 分析:

规律型. 观察规律可 知 P1P4 横坐 标差为 2, P2 , P3 横坐标相 等.每三个数 一个循环,以 此类推,可以 求出 P2007 的 横坐标. 解:观察图形 可知 P1 的横 坐标为 1, P2 的横坐标 为 2,P3 的横 坐标为 2,P4 的横坐标为 3, ∴ P2007 的横坐 标为 2006. 故选 C. 考查了通过 图形观察规 律的能力,并 根据规律进 行简单计算 的能力. )

解答:

点评:

20. (4 分) 已知 x1, x2, x3 的平均数为 5, yl, y2, y3 的平均数为 7, 则 2x1+3y1, 2x2+3y2, 2x3+3y3 的平均数为 ( A 31 B C D 17 . . . . 考点: 分析: 算术平均数.
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把 2xl+3yl, 2x2+3y2, 2x3+3y3 的平 均数的式子 用 和 表示 出来即可. 解:∵ x1、x2、 x3 的平均数 为 5,y1、y2、 y3 的平均数 为 7, ∴ 2x1+3y1+2x2 +3y2+2x3+3y 3=2 (x1+x2+x3)
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解答:

+3 (y1+y2+y3) =2×5+3×7=31 . 故选 A. 本题考查了 平均数的计 算.本题说明 了一组数据 若是由两组 数据的和或 倍数组成,则 数据的平均 数是这两组 数据的平均 数的和或倍 数.

点评:

21. (4 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,点 P 在 AD 上,PE⊥ AC 于 E,PF⊥ BD 于 F,则 PE+PF 等于( )

A . 考点:

B . 矩形的性质; 三角形的面 积;勾股定 理. 压轴题. 连接 OP,过 D 作 DM⊥ AC 于 M,求出 AC 长,根据 三角形的面 积公式求出 CM 的值,根 据 S△AOD=S△APO +S△DPO 代入 求出 PE+PF=DM 即可. 解: 连接 OP, 过D作 DM⊥ AC 于
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C .

D .

专题: 分析:

解答:

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M, ∵ 四边形 ABCD 是矩 形, ∴ AO=OC= AC, OD=OB= B D,AC=BD, ∠ ADC=90° ∴ OA=OD, 由勾股定理 得: AC= =5, ∵ S△ADC= ×3 ×4= ×5×DM , ∴ DM= ,

∵ S△AOD=S△AP O+S△ DPO, ∴ (AO×DM) = (AO×PE) + (DO×PF) , 即 PE+PF=DM= , 故选 B. 本题考查了 矩形的性质、 三角形的面 积公式、勾股 定理的应用, 关键是求出
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点评:

PE+PF=DM. 22. (4 分) (2006?莱芜)如图,B 是线段 AC 的中点,过点 C 的直线 l 与 AC 成 60°的角,在直线 L 上取一点 P, 使∠ APB=30°,则满足条件的点 P 的个数是( )

A 3个 . 考点:

B 2个 . 圆周角定理; 全等三角形 的判定;等腰 三角形的判 定与性质. 计算题;压轴 题;分类讨 论. 分别以 AC, BC 为边,作 等边△ APC, 等边△ BP′ C, 连接 BP,由 等边三角形 的性质,等腰 三角形的性 质求解. 解:如图,分 别以 AC,BC 为边,作等边 △ APC,等边 △ BP′ C,连接 BP, 依题意,结合 等边三角形 的性质可知 ∠ APB=∠ AP′ B=30°, 所以满足条 件的点 P 的个 数为 2 个. 故选 B.
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C 1个 .

D 不存在 .

专题:

分析:

解答:

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点评:

本题利用了 等腰三角形 的性质和全 等三角形的 判定和性质.

23. (4 分) (2006?淮安)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 在 AB 边上.四边形 EFGB 也为正方形,设△ AFC 的面积为 S,则( )

A S=2 . 考点: 专题: 分析:

B S=2.4 . 正方形的性 质. 压轴题. 连接 FB,根 据已知可得 到?△ ABC 与 △ AFC 是同底 等高的三角 形,由已知可 求得△ ABC 的 面积为大正 方形面积的 一半,从而不 难求得 S 的 值. 解:连接 FB ∵ 四边形 EFGB 为正方 形 ∴ ∠ FBA=∠ BA C=45°, ∴ FB∥ AC ∴ △ ABC 与 △ AFC 是同底 等高的三角
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C S=4 .

D S 与 BE 长度 . 有关

解答:

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形 ∵ 2S△ABC=S 正 ABCD,S 正 ABCD=2×2=4 ∴ S=2 故选 A.

点评:

本题利用了 正方形的性 质,内错角相 等,两直线平 行的判定方 法,及同底等 高的三角形 的面积相等 的性质求解.

24. (4 分) (2006?南充)如图,底面半径为 1,母线长为 4 的圆锥,一只小蚂蚁若从 A 点出发,绕侧面一周又回到 A 点,它爬行的最短路线长是( )

A 2π . 考点:

B . 平面展开-最 短路径问题; 弧长的计算.
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C .

D 5 .

专题: 分析:

解答:

压轴题. 要求蚂蚁爬 行的最短距 离,需将圆锥 的侧面展开, 进而根据“两 点之间线段 最短”得出结 果. 解:由题意知 底面圆的直 径=2,
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故底面周长 等于 2π. 设圆锥的侧 面展开后的 扇形圆心角 为 n°, 根据底面周 长等于展开 后扇形的弧 长得 2π= ,

解得 n=90°, 所以展开图 中的圆心角 为 90°, 根据勾股定 理求得它爬 行的最短路 线长为 4 . 故选 B.

点评:

圆锥的侧面 展开图是一 个扇形,此扇 形的弧长等 于圆锥底面 周长,扇形的 半径等于圆 锥的母线 长.本题就是 把圆锥的侧 面展开成扇 形,“化曲面 为平面”,用 勾股定理解 决.

25. (4 分) (2003?黄浦区一模)在等边△ ABC 所在的平面内求一点 P,使△ PAB,△ PBC,△ PAC 都是等腰三角形,具 有这样性质的点 P 有( ) A 1 B 4 C 7 D 10 . . . . 考点: 等腰三角形
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分析:

解答:

的判定;等边 三角形的性 质. 本题利用了 等边三角形 是轴对称图 形,三条高所 在的直线也 是对称轴,也 是边的中垂 线. 解: (1)点 P 在三角形内 部时, 点P是 边 AB、BC、 CA 的垂直平 分线的交点, 是三角形的 外心; (2)分别以 三角形各顶 点为圆心,边 长为半径,交 垂直平分线 的交点就是 满足要求 的.每条垂直 平分线上得 3 个交点,再加 三角形的垂 心,一共 10 个.故具有这 种性质的点 P 共有 10 个.
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点评:

故选:D. 本题考查的
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是等边三角 形的性质及 等腰三角形 的判定定理, 解答此题时 要根据等边 三角形三线 合一的特点 进行解答. 26. (4 分) (2007?长沙)在密码学中,直接可以看到内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一 种密码,将英文 26 个字母 a,b,c…,z(不论大小写)依次对应 1,2,3,…,26 这 26 个自然数(见表格) .当明 码对应的序号 x 为奇数时,密码对应的序号 y= b c d e f 字母 a 2 3 4 5 6 序号 1 o p q r s 字母 n 15 16 17 18 19 序号 14 按上述规定,将明码“love”译成密码是( ) A gawq B shxc C sdri . . . 考点: 专题: 分析: 一次函数的 应用. 压轴题. 先找出“love” 中各个字母 对应的数,判 断出奇偶数, 然后依据不 同的解析式 进行解答即 可. 解:如 l 对应 序号 12 为偶 数,则密码对 应序号为
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;当明码对应的序号 x 为偶数时,密码对应的序号 y= +13. g 7 t 20 h 8 u 21 D love . i 9 v 22 j 10 w 23 k 11 x 24 l 12 y 25 m 13 z 26

解答:

+13=19, 对应 s, 以此类推,得 “love”译成密 码是 shxc. 故选 B. 此题考查学 生知识迁移 的灵活性及 分类讨论的 数学思想方
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点评:

法. 27. (4 分) (2007?泉州)将点 A(4,0)绕着原点 O 顺时针方向旋转 30°角到对应点 A′ ,则点 A′ 的坐标是( A ( C (2 ,﹣2) D (2,﹣2 ) ,2) B (4,﹣2) . . . . 考点: 专题: 分析: 坐标与图形 变化-旋转. 压轴题. 解题的关键 是抓住旋转 的三要素:旋 转中心,旋转 方向,旋转角 度,通过画图 求解. 解:做 A′ B⊥ OA 于 点 B,那么 ∠ A′ OB=30°, OA′ =OA=4 ∴ OB=4×cos30
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解答:

°=2 , A′ B=4×sin30 °=2 ∵ A′ 在第四象 限, ∴ 点 A′ 的坐 标是(2 , ﹣2) . 故选 C. 需注意旋转 前后线段的 长度不变,第 四象限点的 符号为(+, ﹣) .

点评:

28. (4 分) (2010?大田县)如图,在平面直角坐标系中,点 P 在第一象限,⊙ P 与 x 轴相切于点 Q,与 y 轴交于 M (0,2) ,N(0,8)两点,则点 P 的坐标是( )

A (5,3)

B (3,5)

C (5,4)

D (4,5)

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. 考点:

. 坐标与图形 性质;勾股定 理;垂径定 理. 压轴题. 根据已知条 件,纵坐标易 求;再根据切 割线定理即
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专题: 分析:

解答:

OQ =OM?O N 求 OQ 可得 横坐标. 解: 过点 P 作 PD⊥ MN 于 D,连接 PQ. ∵ ⊙ P 与 x 轴相 切于点 Q,与 y 轴交于 M (0,2) ,N (0, 8) 两点, ∴ OM=2, NO=8, ∴ NM=6, ∵ PD⊥ NM, ∴ DM=3 ∴ OD=5, ∴ OQ =OM?O N=2×8=16, OQ=4. ∴ PD=4, PQ=OD=3+2 =5. 即点 P 的坐标 是(4,5) . 故选 D.
2

2

点评:

本题综合考 查了图形的 性质和坐标 的确定,是综
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合性较强,难 度中等的综 合题,关键是 根据垂径定 理确定点 P 的 纵坐标,利用 切割线定理 确定横坐标. 29. (4 分) (2013?红桥区一模)如图所示,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2) ,且与 x 轴交点 的横坐标分别为 x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列结论: ① abc>0; ② 4a﹣2b+c<0; ③ 2a﹣b<0; 2 ④ b +8a>4ac. 其中正确的有( )
2

A 1个 . 考点:

B 2个 . 二次函数图 象与系数的 关系;抛物线 与 x 轴的交 点. 由抛物线的 开口方向判 断 a 与 0 的关 系,由抛物线 与 y 轴的交点 判断 c 与 0 的 关系,然后根 据对称轴及 抛物线与 x 轴 交点情况进 行推理,进而 对所得结论 进行判断. 解:① ∵ 该函数 图象的开口 向下,∴ a<0; 又对称轴 x=
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C 3个 .

D 4个 .

分析:

解答:

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<0,

∴ b<0; 而该函数图 象与 y 轴交于 正半轴,故 c >0, ∴ abc>0,正 确; ② 当 x=﹣2 时, y<0,即 4a ﹣2b+c<0; 正确; ③ 根据题意 得,对称轴﹣ 1<x=﹣ <0,∴ 2a﹣b <0,正确;

④ ∵ >2,a<0, ∴ 4ac﹣b < 8a, 2 即 b +8a> 4ac,正确. 故选 D. 本题考查二 次函数 y=ax +bx+c 系数符号的 确定由抛物 线开口方向、 对称轴、抛物 线与 y 轴的交 点、抛物线与 x 轴交点的个 数确定. 30. (4 分)观察下列三角形数阵: 1 2 4 7 11 12 8 13
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2 2

点评:

3 5 9 14 6 10

… 则第 50 行的最后一个数是( ) A 1225 B 1260 . . 考点: 专题: 分析: 规律型:数字 的变化类. 规律型. 观察三角形 数阵:要求的 第 50 行的最 后一个数是 构成三角形 一个边的一 列数 1, 3, 6, 10,15,…的 第 50 个数, 再观察 1,3, 6,10,15,… 这列数,找出 规律求出第 50 个数, 即第 50 行的最后 一个数. 解:要求的第 50 行的最后 一个数是: 三角形数阵 中 1,3,6, 10,15,…这 列数的第 50 个数. 1,3,6,10, 15,…中,
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C 1270 .

D 1275 .

解答:

1= ×1× (1+1) 3= ×2× (2+1) 6= ×3× (3+1) 10= ×4× (4+1) 15= ×5× (5+1)
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… 由此可得到 第 n 个数表示 为: n (n+1) . 因此第 50 个 数为: ×50× (50+1) =1275. 即即第 50 行 的最后一个 数是 1275. 故选:D. 此题考查了 学生分析判 断问题和观 察归纳问题 的能力.解答 此题的关键 是明确要求 的第 50 行的 最后一个数 是构成三角 形一个边的 一列数 1,3, 6,10,15,… 的第 50 个数.

点评:

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参与本试卷答题和审题的老师有:workholic;ZJX;gsls;dbz1018;jingjing;wdyzwbf;星期八;HLing;ln_86; zcx;lanyan;CJX;yeyue;zxw;zhehe;MMCH;fuaisu;自由人;mmll852;gbl210;392901;py168;zjx111; 733599;蓝月梦;HJJ;wdxwzk;lanchong;jinlaoshi;bjy;马兴田(排名不分先后)
菁优网 2015 年 2 月 3 日

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