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北师大版数学必修四课件:3.3.1二倍角的三角函数


利用公式化简求值 二倍角公式在化简求值中的应用注释: 1.明确式子结构,观察角与角之间的关系 当单角是非特殊角,而其倍角是特殊角时,常利用倍角公 式及其变形公式化为特殊角求值;当式子中涉及到的角较 多,要先变角,化异角为同角;对根式形式的化简,以去 根号为目的,化简时注意角的范围. 2.灵活选取公式形式 二倍角公式是三角恒等变换中公式变形形式最多,灵活应用 程

度最高的一类,因此要在熟悉公式间密切联系的基础上, 融会贯通有目的地活用公式,公式的主要变形形式有以下几 sin2? sin2? 种: 特别是1+cos2α =2cos2α 、 sin? ? 、cos? ? , 2cos? 2sin? 1-cos2α =2sin2α ,从左边到右边角缩小了,但三角函数 的幂次却升高了,因此这种变形起到了“升幂缩角”的作 用,在二倍角公式中又称为“升幂公式”而 cos 2 ? ? 1 ? cos2? , sin 2 ? ? 1 ? cos2? 这种形式与前面的形式所起作用恰好相反, 2 2 它的作用是“降幂扩角”,因此又把这种形式称为是“降 幂公式”. 【例1】(1)化简:cos20°cos40°cos80° ; (2)若180°<α <270°, 试化简 1 ? 1 1 ? 1 cos2? . 2 2 2 2 【审题指导】(1)式子中的角具有“二倍”的关系,并且是 连乘积的形式,可以创造条件利用二倍角的正弦公式化简 求值; (2)该式化简的目的就是要去掉根号,利用二倍角的余弦公 式的变形形式可去根号,但要注意角的范围对三角函数值 符号的影响. 【规范解答】(1)方法一: 原式 =sin20?cos20?cos40?cos80? sin20? 1 sin40?cos40?cos80? ?2 sin20? 1 1 sin160? sin80?cos80? 1 8 4 ? ? ? . sin20? sin20? 8 方法二: 原式 ? sin40? g sin80? gsin160? ? 1 gsin160? ? 1 . 2sin20? 2sin40? 2sin80? 8 sin20? 8 (2)原式 ? 1 ? 1 1 ? cos2? ? 1 ? 1 cos 2? 2 2 2 2 2 因为180°<α<270°,所以cosα<0, ? ? ? ? ? 90?,135? ? ,sin >0, 2 2 所以上式 ? 1 ? 1 cos? ? 1 ? cos? ? sin 2 ? ? sin ? . 2 2 2 2 2 条件求值 1.解决条件求值要树立“目标意识” 利用已知条件求值是三角恒等变换中最常见的题型,解决 这类问题关键要有目标意识,始终围绕目标(即所求的式子) 去分析题目中角的关系,函数名称的联系.解决这类问题主 要从以下两个方面去考虑: 一是对题设条件变形,将题设条件中的角、函数名称向结 论中的角、函数名称靠拢;二是对结论变形,把结论中的 角、函数名称向题设条件中的角、函数名称转化,以便将 题设条件代入结论求值. 2.注意和诱导公式、完全平方公式的联系 当遇到 ? ? x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公 式,将条件与结论沟通. cos2x ? sin( ? ? 2x) ? ? ? 2sin( ? x)cos( ? x). 类似这样的变换还有: 4 4 ? ? ? cos2x ? sin( ? 2x) ? 2sin( ? x)cos( ? x), 2 4 4 ? ? sin2x

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