当前位置:首页 >> 数学 >> 【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题8 概率与统计 第36练

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题8 概率与统计 第36练


第 36 练

概率的两类模型

题型一 古典概型问题 例 1 某班级的某一小组有 6 位学生,其中 4 位男生,2 位女生,现从中选取 2 位学生参加班 级志愿者小组,求下列事件的概率: (1)选取的 2 位学生都是男生; (2)选取的 2 位学生一位是男生,另一位是女生. 破题切入点 先求出任取 2 位学生的基本事件的总数,然后分别求出所求的两个事件含有的 基本事件数,再利用古典概型概率公式求解. 解 (1)设 4 位男生的编号分别为 1,2,3,4,2 位女生的编号分别为 5,6.从 6 位学生中任取 2 位学生 的所有可能结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6),(5,6),共 15 种. 从 6 位学生中任取 2 位学生,所取的 2 位全是男生的方法数,即从 4 位男生中任取 2 个的方 法数,共有 6 种,即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). 6 2 所以选取的 2 位学生全是男生的概率为 P1= = . 15 5 (2)从 6 位学生中任取 2 位,其中一位是男生,而另一位是女生,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5), (2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共 8 种. 8 所以选取的 2 位学生一位是男生,另一位是女生的概率为 P2= . 15 题型二 几何概型问题 例 2 (2013· 四川改编)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪 亮相互独立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是________. 破题切入点 由几何概型的特点,利用数形结合即可求解. 3 答案 4 解析

-1-

设在通电后的 4 秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为 x、y,x、y 相互独立,由题

?0≤x≤4 意可知?0≤y≤4 ?|x-y|≤2
-y|≤2)= S正方形

,如图所示.∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的概率为 P(|x

S正方形-2S△ABC

1 4×4-2× ×2×2 2 12 3 = = = . 16 4 4×4 题型三 古典概型与几何概型的综合问题 例 3 已知关于 x 的一元二次方程 9x2+6ax-b2+4=0,a,b∈R. (1)若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求已知方程 有两个不相等实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]内任取的一个数,b 是从区间[0,2]内任取的一个数,求已知方程有实数根 的概率. 破题切入点 问题. 第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来,再结合题意求解. 第(2)问将 a,b 满足的不等式转化为可行域——平面区域问题,从而利用几何概型的概率公式 求解. 解 设事件 A 为“方程 9x2+6ax-b2+4=0 有两个不相等的实数根”;事件 B 为“方程 9x2 +6ax-b2+4=0 有实数根”. (1)由题意,知基本事件共 9 个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2), 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 由 Δ=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-36×4>0,得 a2+b2>4. 事件 A 要求 a,b 满足条件 a2+b2>4,可知包含 6 个基本事件:(1,2),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1), 6 2 所以方程有两个不相同实根的概率 P(A)= = . 9 3 本题中含有两个参数,显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件

(2)由题意,方程有实根的区域为图中阴影部分,
-2-

故所求概率为: 6-π π P(B)= =1- . 6 6 总结提高 (1)求解古典概型问题的三个步骤 ①判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求事件 A. ②分别计算基本事件的总数 n 和所求事件 A 所包含的基本事件的个数 m. m ③利用古典概型的概率公式 P(A)= 求出事件 A 的概率. 若直接求解比较困难, 则可以利用间 n 接的方法,如逆向思维,先求其对立事件的概率,进而再求所求事件的概率. (2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如果一个随机试验有无限多个等可能 的基本结果,每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示,而所有基本结果对应 于一个区域 Ω,这时,与试验有关的问题即可利用几何概型来解决. (3)几何概型的概率求解,一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中,面 积问题的求解常常用到线性规划知识,也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区 域. 几何概型的试验中事件 A 的概率 P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、 面积或体积) 有关,而与区域的位置和形状无关.

1.从标有 1,2,3,?,7 的 7 个小球中取出一球,记下它上面的数字,放回后再取出一球,记 下它上面的数字,然后把两数相加得和,则取得的两球上的数字之和大于 11 或者能被 4 整除 的概率是________. 16 答案 49
?0≤a≤4, ? 2.已知实数 a,b 满足? x1,x2 是关于 x 的方程 x2-2x+b-a+3=0 的两个实根, ?0≤b≤4, ?

则不等式 0<x1<1<x2 成立的概率是________. 3 答案 32

解析 由题意,关于 x 的方程 x2-2x+b-a+3=0 对应的一元二次函数 f(x)=x2-2x+b-a+

? ?b-a+3>0, 3 满足 f(0)>0,f(1)<0,即? 建立平面直角坐标系如图. ?b-a+2<0, ?
-3-

3 2 3 满足题意的区域为图中阴影部分,故所求概率 P= = . 16 32 3.(2014· 陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离 不小于该正方形边长的概率为________. 3 答案 5 6 解析 取两个点的所有情况为 10 种,所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种,概率为 = 10 3 . 5 4.有一底面半径为 1,高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取 一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. 2 答案 3 2π ×13 V半球 3 解析 设点 P 到点 O 的距离小于等于 1 的概率为 P1,由几何概型,则 P1= = = 2 V圆柱 π×1 ×2 1 1 2 ,故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 P=1- = . 3 3 3 S 5.在面积为 S 的矩形 ABCD 内随机取一点 P,则△PBC 的面积小于 的概率是________. 4 1 答案 2 解析

如图,M,N 分别为 AB,CD 中点, 当点 P 位于阴影部分时, S矩形MBCN 1 S △PBC 的面积小于 ,根据几何概型,其概率为 P= = . 4 S矩形ABCD 2 6.已知点 A 在坐标原点,点 B 在直线 y=1 上,点 C(3,4),若 AB≤ 10,则△ABC 的面积大 于 5 的概率是________. 5 答案 24

3 解析 设 B(x,1),根据题意知点 D( ,1), 4
-4-

1 5 若△ABC 的面积小于或等于 5,则 ×DB×4≤5,即 DB≤ , 2 2 7 13 所以点 B 的横坐标 x∈[- , ],而 AB≤ 10, 4 4 所以点 B 的横坐标 x∈[-3,3],所以△ABC 的面积小于或等于 5 的概率为 7 3-?- ? 4 19 P= = , 6 24 5 所以△ABC 的面积大于 5 的概率是 1-P= . 24 5 7. (2013· 湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x, 若 x 满足|x|≤m 的概率为 , 则 m=________. 6 答案 3 解析 由|x|≤m,得-m≤x≤m. 2m 5 当 m≤2 时,由题意得 = ,解得 m=2.5,矛盾,舍去. 6 6 m-?-2? 5 当 2<m<4 时,由题意得 = ,解得 m=3. 6 6 即 m 的值为 3. x2 y2 8.在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的 m n 椭圆的概率是________. 1 答案 2 解析

x2 y2 ∵方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n. m n 如图,由题意知,在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m,n),点 Q 落在阴影部分的概率即为所求的 概率,易知直线 m=n 恰好将矩形平分, 1 ∴所求的概率为 P= . 2 9.(2013· 江苏)现有某类病毒记作 XmYn,其中正整数 m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则 m, n 都取到奇数的概率为______. 20 答案 63 4×5 20 解析 P= = . 7×9 63 10.平面内有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任意投 掷在这个平面内,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________.
-5-

答案 解析 1 为 . 3

1 3 如图所示,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率

11.已知向量 a=(-2,1),b=(x,y). (1)若 x、 y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两 次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a· b=-1 的概率; (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 a· b<0 的概率. 解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为 6×6=36(个); 由 a· b=-1 有-2x+y=-1, 所以满足 a· b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共 3 个; 3 1 故满足 a· b=-1 的概率为 = . 36 12 (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为 Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足 a· b<0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且-2x+y<0}; 画出图形如图,

矩形的面积为 S 矩形=25, 1 阴影部分的面积为 S 阴影=25- ×2×4=21, 2 21 故满足 a· b<0 的概率为 . 25 12.某同学参加省学业水平测试,物理、化学、生物成绩获得等级 A 和获得等级不是 A 的机 会相等,且三个学科成绩获得等级 A 的事件分别记为 W1,W2,W3,获得等级不是 A 的事件分 别记为 W1 , W2 , W3 . (1)试列举该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的所有可能结果(如三科成
-6-

绩均为 A 记为(W1,W2,W3)); (2)求该同学参加这次水平测试获得两个 A 的概率; (3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该事件的 概率大于 85%,并说明理由. 解 (1)该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的可能结果有 8 种,分别为 (W1,W2,W3),( W1 ,W2,W3),(W1, W2 ,W3),(W1,W2, W3 ),( W1 , W2 ,W3),( W1 , W2, W3 ),(W1, W2 , W3 ),( W1 , W2 , W3 ). (2)由(1),知有两个 A 的情况为( W1 ,W2,W3),(W1, W2 ,W3),(W1,W2, W3 ),共 3 种, 3 从而所求概率为 P= . 8 (3)方法一 该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件概率大于 85%. 理由如下:该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有如下 7 种情况: ( W1 ,W2,W3),(W1, W2 ,W3),(W1,W2, W3 ),( W1 , W2 ,W3),( W1 ,W2, W3 ), (W1, W2 , W3 ),( W1 , , W2 , W3 ), 7 故物理、化学、生物成绩不全为 A 的概率是 P1= =0.875>85%. 8 方法二 该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为 A 的事件概率大于 85%. 理由如下: 该同学参加这次水平测试物理、 化学、 生物成绩全不为 A 的事件有 1 种情况, 即( W1 , 1 1 7 W2 , W3 ),其概率为 ,则物理、化学、生物成绩至少一个为 A 的概率为 P2=1- = >85%. 8 8 8

-7-


更多相关文档:

【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考...

【考前三个月】2015高考数学(人教通用,文科)练高考必会题型:专题8 第35练_数学_高中教育_教育专区。第 35 练 用样本估计总体 [内容精要] 用样本估计总体...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题7 解析几何 第33练_数学_高中教育_教育专区。第 33 练 直线与圆锥曲线问题 题型一 直线和椭圆的...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题7 解析几何 第34练_数学_高中教育_教育专区。第 34 练 圆锥曲线中的探索性问题 题型一 定值、...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题6 立体几何 第27练_数学_高中教育_教育专区。第 27 练 完美破解立体几何证明题 题型一 空间中的...

...必会题型 专题1 集合与常用逻辑用语 第3练

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型 专题1 集合与常用逻辑用语 第3练_数学_高中教育_教育专区。第3练 突破充要条件的综合性问题 题型一 ...

...必会题型 专题1 集合与常用逻辑用语 第2练

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型 专题1 集合与常用逻辑用语 第2练_数学_高中教育_教育专区。第2练 常用逻辑用语中的“常考题型” 题型...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)压轴大题突...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)压轴大题突破练 概率与统计_数学_...36 9 (2)记“点 P(x,y)满足 y2<2x”为事件 B, 则事件 B 有 12 个...

...高考必会题型:专题三 函数与导数 第8练

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题三 函数与导数 第8练_数学_高中教育_教育专区。第8练 函数性质在运用中的巧思妙解 题型一 直接考...

【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考...

【考前三个月】2015高考数学(人教通用,文科)练高考必会题型:专题3 第8练_数学_高中教育_教育专区。第8练 函数性质在运用中的巧思妙解 [内容精要] 函数...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题5 数列 第24练_数学_高中教育_教育专区。第 24 练 常考的递推公式问题的破解方略 题型一 由相邻...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com