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44-直线与圆的位置关系


9.4 直线与圆的位置关系
教学目标
重点:掌握判断直线与圆位置关系的方法;能用直线与圆的位置关系的知识解决有关切线和弦的有关 问题 . 难点:充分利用直线与圆的有关概念及性质,来准确处理有关切线和弦的问题. 知识点:直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系、判断位置关系的方法(几何法和代数法)等. 能力点:能够利用“数形结合”的思想方法解决有关代数或几何中的问题

;恰当利用 相切或相交的 性质求相关的几何问题. 教育点:通过运用代数方法解决几何问题的过程,提高学生的运算能力,培养学生借助平面直角坐标 系解决数学问题的意识和能力. 自主探究点:直线与圆相切、相交的判断和圆与圆位置关系的判断方法. 易错点:二元二次方程表示圆的充要条件以及直线与圆的位置关系中直线斜率是否存在问题. 考试点:直线与圆相切、相交的综合应用,数形结合的思想方法. 拓展点:公共弦的直线方程的求解以及几种圆系方程的探究。

学法与教具
1.学法:讲练结合法、分组讨论法. 2.教具:讲义、多媒体. 相切

一、 【知识结构】

d ?r
直线与圆联立方程组只一解

直线与圆的位置关系 相交

d ?r
直线与圆联立方程组有两解

角 三 角 形

相离 直 线 与 圆 的 位 置 关 系

d ?r
直线与圆联立方程组无解

半 弦 长 构 成 直

弦 心 距 半 径
, ,

相离 圆与圆的位置关系 相外切 相交 相内切 切线长、切线方程、圆方程 内含 相交直线方程、弦长、弦心距 位置关系的应用 相离直线与圆的距离的最值

两圆的方程、相交弦直线、公切线

二、 【知识梳理】
1

1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种:________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: (1)代数法:利用判别式 ? ,即直线方程与圆的方程联立方程组消去 x 或 y 整理成一元二次方程后,

? ? 0 ? _______, ? 计算判别式 ? ? b ? 4ac ?? 0 ? _______, ?? 0 ? _______ . ? (2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系: d ? r ? ________, d ? r ? ________, d ? r ? ?________.
2

2.圆的切线方程 若圆的方程为 x ? y ? r ,点 P( x0 , y0 ) 在圆上,则过 P 点且与圆 x ? y ? r 相切的切线方程为
2 2 2 2 2 2

____________________________.注:点 P 必须在圆 x ? y ? r 上.
2 2 2

经过圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为________________________.
2 2 2

3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 或 AB ? 1 ? ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 4.圆与圆的位置关系

1 y1 ? y2 k2

(1)设圆 O1 : ( x ? a1 ) ? ( y ? b1 ) ? r1 (r1 ? 0) ,圆 O2 : ( x ? a2 ) ? ( y ? b2 ) ? r2 (r2 ? 0) .
2 2 2 2 2 2

方 法 位置关系 相离 相外切 相交 相内切 内含
2

几何法:圆心距 d 与 r1 , r2 的关系

代数法:两圆方程联立组成方 程组的解的个数

____________________ ____________________ ___________________ _______________ ( r1 ? r2 ) ______________ ( r1 ? r2 )
2
2

_______________ __________________________ _________________________ _________________________ ____________
2

(2)已知两圆 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 和 x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交, 则与两圆共交点的圆 系方程为________________________________________________________________, 其中 ? 为 ? ? ?1 的任意常数,因此圆系不包括第二个圆. 当 ? ? ?1 时,为两圆公共弦所在的直线,方程为 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 .

三、 【范例导航】 2 2 ? 例 1 (1)直线 x ? 3 y ? 4 绕原点按顺时针方向旋转 30 所得直线与圆 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 的位置关系
为___________ ;
2

(2)若过点 A(4,0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1 有公共点,则直线 l 斜率的取值范围为_________.
2 2

【分析】第(1)题,关键求出直线旋转后的方程及圆心坐标和半径 r ,从而求出圆心到直线的距离 d , 由 d 和 r 的大小关系作出判断.第(2)题,设出直线 l 的点斜式方程,构造圆心到直线距离与半径的关系的 不等式,从而求解. 【解答】 (1)∵直线 x ? 3 y ? 4 的倾斜角为 150 ,
?

∴顺时针方向旋转 30 后的倾斜角为 120 , ∴旋转后的直线方程为 3x ? y ? 0 .将圆的方程化为 ( x ? 2) ? y ? 3 ,
2 2

?

?

∴圆心的坐标为 (2, 0) ,半径为 3 圆心到直线 3x ? y ? 0 的距离为 圆的半径, ∴直线和圆相切.

3 ? 2 ? 1? 0 ? 0 3 ? 12
2

? 3?

(2)依题意,设直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 ,由题意得圆心 (2, 0) 到直线 l 的距

离不超过该圆的半径,即有

2k ? 4k k 2 ?1

?1

由此解得 ?

3 3 . ?k? 3 3
? ? 3 3? , ?. 3 3 ?

?直线 l 的斜率的取值范围为 ? ?

【点评】1.判断直线与圆的位置关系常用几何法,其一般步骤分别为:①把圆的方程化为标准方程, 求出圆的圆心坐标和半径 r .②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 d .③判断:当 d ? r 时,直 线与圆相离;当 d ? r 时,直线与圆相切;当 d ? r 时,直线与圆相交. 2.已知直线与圆、圆与圆的位置关系时,常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离(或圆心距) d 与半径 r 的大小关系,以此来确定参数的值或取值范围.

变式训练:
1. 已知圆 C 与圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 l : x ? 3 y ? 0 相切于点 P(3, ? 3) , 求圆

C 的方程.
答案: 1.设所求圆的圆心为 C (a, b) ,半径长为 r ,则圆 C 的标准方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ∵ C (a, b) 在过点 P 且与 l 垂直的直线上,

?

b? 3 ? 3 a ?3



又∵圆 C 与 l 相切于点 P ,? r ?

a ? 3b 2



3

∵圆 C 与圆 C1 相外切,? (a ? 1) 2 ? b 2 ? r ? 1



2 由①得 3a ? b ? 4 3 ? 0 ,从而 y 4a ? 26a ? 49 ? 2a ? 6 ? 1 ,解得 ?

? ?a ? 4, ? a ? 0, 或? 此时, ?b ? 0. ?b ? ?4 3. ?

r ? 2或 r ? 6.
即所求的圆 C 的方程为

( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 或 x 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 36.
例 2 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . (1)若不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、 y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)从圆 C 外一点 P( x, y ) 向圆引一条切线,切点为 M , O 为坐标原点,且有 PM ? PO ,求点 P 的 轨迹方程. 【分析】第(1)题,关键设出直线的方程 x ? y ? a ? 0 ,利用直线 l 与圆 C 相切求待定系数.第(2)题, 关键抓住 PM
2

? PO ? PC ? r 2 求解.
2 2

【解答】(1)将圆 C 配方得 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 .由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零,设直线 方程为 x ? y ? a ? 0 ,



?1 ? 2 ? a 2

? 2 ,得 a ? 1 ? 2 即 a ? ?1 ,或 a ? 3 .

∴直线方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0 . (2)由于 PM ∴ PM
2 2

? PO ? PC ? r 2 ,
2 2 2 2 2

? PC ? r 2 又∵ PM ? PO ,∴ PC ? r 2 ? PO

∴ ( x ? 1)2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ? x 2 ? y 2 . ∴ 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 即为所求. 【点评】1.过圆上的一点 ( x0 , y0 ) 的圆的切线方程的求法:先求切点与圆心连线的斜率 k ,由垂直关 系知,切线斜率为 ?

1 .由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在,则由图形写出切线方程 x ? x0 . . k

2.过圆外一点 ( x0 , y0 ) 的圆的切线方程的求法: (1)几何方法.当斜率存在时, 设为 k , 切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,由圆心到直线的距离等于半径, 即可得出切线方程.
4

(2)代数方法.设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,代入圆方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 ? ? 0 , 求得 k ,切线方程即可求出.

变式训练
1. 若将本例(1)中将“不过原点”的条件去掉,则直线 l 的方程如何? 2. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 1,求过点 P(1, 2) 的圆的切线方程. 答案: 1.将圆 C 配方得:( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,当直线在两坐标轴上的截距为零时, 设直线方程为 y ? kx , 由直线与圆相切得: y ? (2 ? 6) x ; 当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,由直线与圆相切得:直线方程 x ? y ?1 ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0 2. ∵ P(1, 2) 在圆外, 当切线斜率存在时, 可设圆的切线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? 2 ? k ? 0

3 ? 1, 解得 k ? , ∴切线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . 4 k ?1 当直线斜率不存在时, x ? 1 也是圆的切线, 故所求圆的切线方程为 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 5 ? 0 .

2

2?k

例 3 (2012·济南模拟)已知点 P(0,5) 及圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 12 y ? 24 ? 0 . (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3 ,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程. 【分析】(1)有关圆的弦长的求法:已知直线的斜率为 k ,直线与圆 C 相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两 点,点 C 到 l 的距离为 d ,圆的半径为 r .
2 2 2 方法一 代数法:弦长 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ;

方法二 几何法:弦长 AB ? 2 r ? d . .
2 2

(2)有关弦的中点问题: 圆心与弦的中点连线和已知直线垂直,利用这 条性质可确定某些等量关系. 【解答】(1)方法一:如图所示, AB ? 4 3 ,取 AB 的中点 D ,连 接 CD ,则 CD ? AB ,连接 AC 、 BC 则 AD ? 2 3, AC ? 4, 在 Rt ?ACD 中,可得 CD ? 2 当直线 l 的斜率存在时,设所求直线的斜率为 k ,则直线的方程为 y ? 5 ? kx, 即 kx ? y ? 5 ? 0 .

k ?1 3 当 k ? 时,直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 20 ? 0 . 4 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x ? 0 . ∴所求直线的方程为 3x ? 4 y ? 20 ? 0 或 x ? 0 . 方 法 二 当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 , 设 所 求 直 线 的 斜 率 为 k , 则 直 线 的 方 程 为 y ? 5 ? kx, 即 kx ? y ? 5 ? 0 . ? y ? kx ? 5, 联立直线与圆的方程 ? 2 消去 y ,得 (1 ? k 2 ) x 2 ? (4 ? 2k ) x ? 11 ? 0 . ① 2 ? x ? y ? 4 x ? 12 y ? 24 ? 0, 2k ? 4 ? ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 , ? 设方程①的两根为 x1 , x2 , 由根与系数的关系,得 ? ② 11 ?x x ? ? . ? 1 2 1? k 2 ?
2

由点 C 到直线 AB 的距离公式,得

?2k ? 6 ? 5

3 ? 2 ,解得 k ? . 4

5

由 弦 长 公 式 , 得 AB ? 1 ? k

2

x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 3 , 将 ② 式 代 入 , 解 得

k?

3 ,此时直线方程为 3x ? 4 y ? 20 ? 0 . 4 又 k 不存在时也满足题意,此时直线方程为 x ? 0 . ∴所求直线的方程为 3x ? 4 y ? 20 ? 0 或 x ? 0 .

(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D( x, y ) 则 CD ? PD ,即 CD?PD ? 0 ,

??? ??? ? ?

? ( x ? 2, y ? 6)? x, y ? 5) ? 0 ,化简得所求轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 11y ? 30 ? 0 . (
【点评】求解与圆的弦长有关的计算问题,常利用圆的半径 r , 弦长 l ,弦心距 d 之间的关系,利用弦心 距、半弦长及半径构成的直角三角形,利用勾股定理求的弦长,即 l ? 2 r 2 ? d 2 ,一般不用代数法求解. 同时再利用相交弦的性质时,也一定要作出上述的直角三角形,寻找解题的思路.

变式训练 1.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 和直线 kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 . (1)证明:不论 k 取何值,直线和圆总有两个不同交点; (2)求当 k 取什么值时,直线被圆截得的弦最短,并求这条最短弦的长.
答案: 1.(1) 证 明
2

由 kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 , 得 ( x ? 4)k ? y ? 3 ? 0 .∴ 直 线 kx ? y ? 4 k ?3 ? 0 过 定 点

.由 x ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 即 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4, 又 y (4 ? 3) 2 ? (3 ? 4) 2 ? 2 ? 4 P( 4, 3) ∴直线和圆总有两个不同的交点.

3? 4 因此过 P 点斜率为1 的直 ? ?1. 可以证明与 PC 垂直的直线被圆所截得的弦 AB 最短, 4?3 3 ? 4 ?1 线即为所求,其方程为 y ? 3 ? x ? 4 ,即 x ? y ? 1 ? 0 .又 PC ? ? 2, 2
(2) k PC ? ∴ AB ? 2

AC ? PC ? 2 2.
2 2

四、 【解法小结】
1.求切线方程时,若知道切点,可直接利用公式;若过圆外一点求切线,一般运用圆心到直线的距离等 于半径来求,但注意有两条. 2.解决与弦长有关的问题时,注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形,也可以运用 弦长公式.这就是通常所说的“几何法”和“代数法”. 3.判断两圆的位置关系,从圆心距和两圆半径的关系入手.

五、 【布置作业】
必做题: 1.(2012 年高考天津卷理科 8)设 m ,n ? R , 若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) +(y ? 1) =1
2 2

相切,则 m+n 的取值范围是_____________. 2. (2012 年高考陕西卷理科 4)已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , 过点 P(3,0) 的直线, 则直线与圆______. l
2 2

3. (2012 年高考 江苏卷 12)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线

y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是
4.已知两圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 10 x ? 12 y ? m ? 0 求:
2 2 2 2



6

(1) m 取何值时两圆外切? (2) m 取何值时两圆内切? (3) m ? 45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

必做题答案: 1. ? 直线 (m ? 1)x ? (n ? 1)y ? 2 ? 0与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 相切, ? 圆心 (1,1) 到直线的距离为
2 2

d?

m ?1? n ?1? 2 ( m ? 1) ? ( n ? 1)
2 2

? 1 ,? mn ? m ? n ? 1 ? (

m?n 2 1 ) ,设 t ? m ? n ,则 t 2 ? t ? 1 ,解得 2 4

t ? ??, 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2 2, ?? . ? ?
2.点 P(3,0) 在圆内,则直线与圆必相交. 3.根据题意 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 将此化成标准形式为: ?x ? 4? ? y ? 1 ,得到该圆的圆心为 M ?4,0 ? 半
2 2

?

?

径为1 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点,只需要圆 心 M ?4,0 ? 到直线 y ? kx ? 2 的距离 d ? 1? 1 ,即可,所以有 d ?

4k ? 2 k 2 ?1

? 2 ,化简得 k (3k ? 4) ? 0 解得

0?k ?

4 4 ,所以 k 的最大值是 . 3 3
2 2 2

( x ( 4. 两 圆 的 标 准 方 程 分 别 为 ( x ? 1 ) ? y ? 3 ) ? 1 1 , ?

5 )y ? 2 ? (

6 ) m6 1心 分 别 为 ? ? ,圆

M ( 1 , 3N, )

半径分别为 11 和 61 ? m . (5, 6)

2 2 (1)当两圆外切时, (5 ? 1) ? (6 ? 3) ? 11 ? 61 ? m . 解得 m ? 25 ? 10 11.

(2) 当 两 圆 内 切 时 , 因 定 圆 的 半 径 11 小 于 两 圆 圆 心 间 距 离 , 故 只 有

61? m ? 11 ? 5解 得

m ? 25? 10 11.
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为: ( x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1) ? ( x ? y ? 10 x ? 12 y ? 45) ? 0
2 2 2 2

即 4 x ? 3 y ? 23 ? 0 .由圆的半径、弦长、弦心距间的关系,不难求得公共弦的长为

2?

? 4 ? 3 ? 3 ? 23 ? 11 ? ? ? ? 2 7. 42 ? 32 ? ?
2

2

选做题: 1.(2012·湛江模拟)自点 A(?3,3) 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 所在直线的方程.
2.过点 (3,1) 作直线与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 相交于 M 、 N 两点,则 MN 的最小值为________. 3.(2010· 安徽高考改编)设圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 则圆

C 上到直线 l 距离为

7 10 的点的个数为_________. 10

7

4.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4 ,则 ab 的最大值 是________. 选做题答案: 1. 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 ; 2. 4 ; 3. 2 ;4.

1 . 4

六、 【教后反思】
1.本教案的亮点是:从考纲和考试说明出发,抓住了圆的方程知识的重点、难点,注重难点的突破和知 识点的拓展.把圆的方程的求解与应用通过三个典型例题展示出来,同时又注重了对难点知识和综合应用的突 破.在课后练习的选择上,注重了由于课堂容量所限以至于三个例题所不能涵盖的题型.在选做题中又从今年 高考试题中选择了具有代表性的题目,提高了学生完成作业的积极主动性. 2.本教案的弱项是:针对求圆的方程时,需要较强的计算能力和较多的平面几何的知识基础这一点,所 设计的题目数量不够,学生在应用数形结合的思想方法解决圆的的综合应用问题时,差距较大.所选例题的类 型还不是很全面.

8


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