当前位置:首页 >> 理学 >> 高中数学必修5第二章数列 《等比数列的前n项和》教学课例分析

高中数学必修5第二章数列 《等比数列的前n项和》教学课例分析


金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

《等比数列的前 n 项和》教学课例分析
一、设计思想 1、 设计理念 本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑,坚持面向全体学生, 努力设计“适合学生发展得数学教育”, 体现“人人学数学”,“不同的人学不同的数学” 的理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性,注重引导学生主动地进行探 索,从而帮助学生树立正确的数学观,但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合,强调 “活动”的内化,即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组,从而引起真正的数学思维, 提高思维的效益。 通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的, 一方面培养学生 的社会意识,明确肯定“日常数学”的合理性等,另一方面,再调动学生生活经验的同时,又 应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。 2、 设计背景 传统的数学作业单调枯燥,脱离生活和学生实际,不利于学生个性和能力的发展。在新 课程标准的理念下, 重新认识作业的意义和价值, 突破传统, 改变现状, 树立正确的作业观, 创新作业方式,激发兴趣,发展学生数学素质,既注重基础知识的巩固,更要注重学生思维 和能力的发展,既要创新又要保证其科学有效,使学生在做作业的过程中体验快乐、形成能 力、学会合作、体验自主。 3、 教材的地位与作用 本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上,学习等比数列 n 前项和公式, 能用等比数列的前 n 项和公式解决相关求和问题。 探索公式的推导、 体会错位相减法以及分 类讨论的思想方法。本节内容基础知识和基本技能非常重要,涉及的数学思想、方法较为丰 富,因此是重点内容之一。本设计是第一课时的教学内容。 二、学习目标 ⑴知识与技能 掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 ⑵过程与方法 通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程,体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 ⑶情感、态度与价值观 通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用价值,发展数 学的理性思维。 教学重点 掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 教学难点 错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 三、教学设想: 本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主 和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以四周世界和生活实际为参照对 象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集 体等多种解难释疑的尝试活动, 将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。 让学 生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。设计思路如下:

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

四、教学过程 (一) 创设问题情景 课前给出复习:等比数列的定义及性质 课首给出引例: “一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意, 哪知富人一口答应了下来, 但提出了如下条件: 30 天中, 在 富人第一天借给穷人 1 万元,第二天借给穷人 2 万元,以后每 天所借的钱数都比上一天多 1 万;但借钱第一天,穷人还 1 分钱,第二天还 2 分钱,以后每天所还 的钱数都是上一天的两倍,30 天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富 人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人 借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注重力,使其马上进入到研究者的角色中 来!] (二) 启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱,教师引导学生自主探求,得出: 穷人 30 天借到的钱: S 30 ? 1 ? 2 ? ? ? 30 ?
'

(1 ? 30 ) ? 30 2
??

? 465 (万元)

穷人需要还的钱: S 30 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

29

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求 S 30 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 29

? ?的问题让学生探究,

S 30 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

29

①若用公比 2 乘以上面等式的两边,得到
30

2 S 30 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

29

?2



若②式减去①式,可以消去相同的项,得到:
S 30 ? 2
30

? 1 ? 1073741823

(分) ≈1073(万元) > 465(万元)

答案:穷人不能向富人借钱

(三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。
提出问题:如何推导等比数列前 n 项和公式?(学生很自然地模仿以上方法推导)
S n ? a1 ? a1 q ? a1 q qS
2 2

? ? ? a1 q
n ?1

n?2

? a1 q
n

n ?1

(1)

n

? a1 q ? a1 q ? ? ? a1 q

? a1 q ( 2 )
n

(1)-(2)有 (1 ? q ) S n ? a 1 ? a 1 q

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网
q ?1 ? na 1 , ? n ? ? a 1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? ? 1? q ? 1? q

wx.jtyjy.com

Sn

,

q ?1

推导等比数列前 n 项和 S n 的公式,教师引导讲完课本上的推导方法后, 教师:还有没有其他推导方法?(经过几分钟的思考,有学生举手发言) 学生 A: ?
a2 a1 ? a3 a2 ?? ? an a n ?1 ? q

?

a2 ? a3 ? ? ? an a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1

? q



s n ? a1 sn ? an
学生 B:

? q ? sn ?

a1 ? a n q 1? q

( q ? 1)


s n ? a1 ? a1 q ? ? ? a1 q
? a 1 ? q ?a 1 ? a 1 q ? ? ? a 1 q
? s n ? qs n ? a 1 ? a n q
n?2

n?2

? a1 q
1

n ?1

?? a

? qs n ?1 ? a 1 ? q ? s n ? a n ? ? a 1 ? qs n ? a n q
a1 ? a n q 1? q ( q ? 1)

? sn ?

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路! 教师让学生进行各种尝试, 探寻公式的推导的方法, 同时抓住机会或创设问题情景调动了学 生参与问题讨论的积极性,培养学生的探究能力,发挥了组织者、推进者和指导者的作用, 而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者!让学生享受成功的喜悦!] (四)数学应用 例 1 求等比数列 1/2,1/4,1/8……的 (1) 前 8 项的和; (2) 第四项到第八项的和 解 : (1) ? a 1 ?
1 ? S8 ? 2 1? (1 ? 1 2 1 2
n

1 2
)

,q ?

1 2

,n ? 8

?

255 256

(2)? a 4 ? a 1 q ?
3

1 16
) ?

,n ? 5

1 ?S ?
'

(1 ? 1?

1 2 1 2
5

16

31 256

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网
例 2:在等比数列 ?a n ? 中, (1)已知 (2)已知
a1 ? ? 4, q ? 2, 求 S n

wx.jtyjy.com

a 1 ? 1, a k ? 2 4 3 q ? 2 求 S k ,

例 3:在等比数列 ?a n ? 中, S 3 ?

7 2

,S6 ?

63 2

求an

[例 1 教师板演示范,强调解题的规范。例 2、例 3 学生分析解法,学生不会时要分析出不 会做的症结所在,然后再由学生板演出解题过程。] (五)总结、评估、 (1)课堂小结 等差数列 求和公式 推导方法 公式应用 [由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容] (2)知识评估 1)根据下列条件求 S n ① a1 ? 2, q ? 2, n ? 8 ② a1 ? 8, q ? 2, a n ?
1 2

等比数列

2)在等比数列 ?a n ? 中, ①已知 a 1 ? ? 1 . 5 , a 7 ? ? 96 ,求 q 和 S n ②已知 a 3 ? 4 , S 3 ? 12 , 求 q 和 a 1 3)求数列 1 ? a ? a ? a ? ? a
2 3 n ?1

? ? ( a ? 0 ) 的前 n 项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成了作业。然 后老师给出评价] (六)布置作业 1、 根据下列条件,求等比数列 ? a n ①: a 1 ? 3 , q ? 2 , n ? 6

? 的前 n 项和 S n
②: a 1 ? 8 , q ?

1 2

,an ?

1 2

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网
③: a 2

wx.jtyjy.com
④: a 1 ? a 3 ? 10 , a 4 ? a 6 ?

? 0 . 12 , a 5 ? 0 . 00096 , n ? 4

5 4

,

2、 在等比数列 ①:已知 a 1 ②:已知 S 2

?

an

? 中,
,求 ,求

? 2 , S 3 ? 26
? 30 , S 3 ? 115

q

和Sn

Sn
n ?1

3、在等比数列 ? a n 4、求和: S n

? 中,已知 S n ? 48 , S 2 n ? 60 ,求 S 3 n
2

? 1 ? 3 x ? 5 x ? ? ? ( 2 n ? 1) x

( x ? 0)

[作业要求:允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成 了作业。] (七)板书设计 等比数列的前 n 项和 公式推导 例题 练习 注: (七)课后反思 本节课授课对象为实验班的学生,学习基础较好。同时,考虑到这是一节探究课,授课 前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发,采用“教师设计问题与活动引导” 与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明 (1)创设问题情景、布疑激趣 (2)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型 (3)探寻特例、提出猜想 (4)数学应用 (5)知识评估。 学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下, 在教师预设的思路中, 一 步步发现了公式并推导了公式,感受到了创造的快乐,激发了学习数学的爱好,教学的知识 目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。 (一)、 通过创设教学情境,激活了学生思维。从认知的角度看, 情境可视为一种信息载体, 一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点: 1.从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出:学生的数学学习内容应当是现 实的、 有趣的和富有挑战性的。 从心理学的角度看, 青少年有一种好奇的心态、 探究的心理。 因此,本教案紧紧地抓住高二学生的这一特征,利用“正弦定理的发现和证实”这一富有挑战 性和探索性的材料,精心设计教学情境,使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中, 逐步形成创新意识。 2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”,本节课数学情境的设计处处以问 题为导向:“怎样调整发射角度呢?”、“我们的工作该怎样进行呢?”、“我们的?根据地?是什 么?”、“对任意三角形都成立吗?”……促使学生去思考问题,去发现问题。 (二)、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”,新课标提倡教师创造性 地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作,再到证实方法的发现,都对教材

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

作了一定的调整和拓展, 使其更符合学生的思维习惯和认知水平, 使学生在知识的形成过程、 发展过程中展开思维,发展了学生的能力。 (三) 数学实验走进了课堂, 这一朴实无华而又意义重大的科学研究的思路和方法给了学生 成功的快乐;这一思维模式的养成也为学生的终身发展提供了有利的武器。 (四)我在作业布置时曾做过一个新尝试:允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出 不会做的症结所在,就算完成了作业。这种新策略有以下两个优点: 1、对学生而言,完成作业是成功,个别题目没有完成,但明确了哪儿卡壳也是成功。 在这宽松和谐的气愤中,他们将由苦学变为乐学,由被动变为主动学,大大提高作业效率。 如果说不会的作业可以不做是“量的减负”,那么分析不会的原因则是“质的增效”,这是 由于数学的概念体系以其逻辑严谨著称, 而数学习题的解决, 要经历多次由此及彼的推理了 或计算才能获得。那些基础扎实、推理能力较强的学生,在做完一道题后,往往会产生一定 的正确的自信。即便遇上一时解不开的题,也能分析出只需解决了某步推理,或由题设完成 某数据的计算, 该题即可或解。 而某步推理或某数据的计算, 恰恰是疑点, 即所说的 “症结” , 能够分析出“症结”,知道哪儿卡壳,是需要一定数学素养的,这对学生来说,需要一个逐 渐养成的过程。在这种宽松的气愤中,学生大都能静下心来,抱着研究的心态,去分析症结 所在,甚至在分析的过程中,使问题或解而得到意外的收获。 2、由于学生对不会做的题不做变成一种“合法行为”,再也不会有人做抄袭的傻事, 还可以培养学生的求实精神, 屏弃自欺欺人的不良学风, 新策略实施后受到学生的热烈欢迎, 绝大多数学生把对新策略的兴趣,逐渐转变成为对数学的兴趣。当然在实践中,总有个别学 生钻“对不会做的题目可以不做”的空子,而不去认真分析“症结”,这也是新策略尚待进 一步研究的地方。 一些遗憾: 由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入, 有些学生往往以一种观赏者 的身份参与其中,主动探究意识不强,思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验 的深入,这种状况会逐步改善。 一些感悟:轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地,是合作交流、探索创新的主阵地,是思 想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台!

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com


更多相关文档:

高中数学必修5教学案:第二章数列小结与复习

高中数学必修5教学案:第二章数列小结与复习_数学_高中教育_教育专区。第二章 ...前 n 项和的最值问题. 二、等比数列 1 请同学们仿照、类比对等差数列的归纳...

高中数学必修5第二章等比数列的前n项和

2.5 等比数列的前 n 项和 (一)教学目标 1、 知识与技能:掌握等比数列的前 ...高中数学必修5第二章数列... 高中数学必修5第二章等差... 高中数学必修5第三...

...A版必修5高中数学 第二章《等比数列的前n项和1》导...

最新人教A版必修5高中数学 第二章《等比数列的前n项和1导学案(精品)_高三...能利用数列通项公式与前 n 项和之间的关系 求另两 个量. 【重点难点】 ...

2014高中数学 第二章数列 等比数列前n项和提高训练 新...

2014高中数学 第二章数列 等比数列前n项和提高训练 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。等比数列前 n 项和(提高训练) 1、 数列{an}是等比数列,其中 Sn...

人教版高中数学必修五 2.5 等比数列前n项和公式 教学设...

人教版高中数学必修五 2.5 等比数列前n项和公式 教学设计(全国一等奖)_数学_...(第 1 课时)教学设计 一、教材分析 《等比数列的前 n 项和》数列这一章...

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳_数学_高中教育_教育专区。数列知识点总结一、等差数列与等比数列定义 通项公式 递推公式 中项 等差数列 a n ?1 - ...

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳_高一数学_数学_高中教育_教育专区。数列知识点总结一、等差数列与等比数列定义 通项公式 递推公式 中项 等差数列 a n ...

...2017学年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和高...

2016-2017学年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和高效测评新人教A版必修5讲义_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列...

第二章数列2.5等比数列的前n项和公式教学设计新人教A版...

第二章数列2.5等比数列的前n项和公式教学设计新人教A版必修5_初中教育_教育专区。等比数列的前 n 项和公式 《等比数列前 n 项和》 是人教版必修 5 第二章...

高中数学必修5教学案第16课时:等比数列的前N项和(2)

高中数学必修5教学案第16课时:等比数列的前N项和(2)_数学_高中教育_教育专区。总课题分课题 教学目标 等比数列 等比数列的前 n 项和(二) 总课时 分课时 第...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com