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广东省广州市重点中学2010届高三12月月考数学试卷(文科)


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广东省广州市重点中学 2010 届高三 12 月月考 文科数学试卷 第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在 每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。 1.已知 cos ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 )

B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角 )

2.函数 f ( x) ? 3x (0 ? x ≤ 2) 的值域为(

? A. (0, ?)

, B. (1 9]

1) C. (0,

? D. [9, ?)

3.已知函数 f ( x) ? ? ( )

1 的定义域 M , g ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 N,则 M ? N = 1? x

A. {x | x ? ?1}

B. {x | x ? 1}

C. {x | ?1 ? x ? 1}

D. ?

4.一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底都为 1 的等腰梯形,则 原平面图的面积是( )

0

A. 2 ?

2

B.

1? 2 2

C

2? 2 . D. 1? 2 2


5.椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为(

A.

5 4

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

6 已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 , 那么( )

??? ??? ??? ? ? ?

A. AO ? OD

????

????

B. AO ? 2OD

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2AO ? OD

????

????

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? y?x ? 7.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 则目标函 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9



8.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 2 3 ? );数列 ?nan ? 中数值最小的项是第 ,, , (
[来源:学科网]

)项。

A. 2

B. 3

C. 4

D.5

[来源:Z+xx+k.Com]

9.直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 A. (0,1) B. (0,5)

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点。则实数 m 的取值范围是( ) 5 m
C. [1,5) ? (5,??) D. (1, ? ?)

10.对于函数① f ( x) ? lg( x ? 2 ? 1) ,② f ( x) ? ( x ? 2)2 ,③ f ( x) ? cos( x ? 2) ,判断如 下三个命题的真假: 命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数;

? ? 命题乙: f ( x ) 在 (??,) 上是减函数,在 (2, ?) 上是增函数; ? 命题丙: f ( x ? 2) ? f ( x) 在 (??, ?) 上是增函数.
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( A.①③ B.①② C.③ D.② )

第 II 卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上. 11.函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值是 。

12.在三棱锥 A ? BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC、△ACD、△ADB 的面积 分别为
2 3 6 、 、 ,则三棱锥 A ? BCD 外接球的表面积为 2 2 2

. 。

2 2 13 、圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得的弦长等于

14.已知函数 f ( x ) , g ( x) 分别由下表给出
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x
f ( x)

1 1

2 3

3 1

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

x
g ( x)

1 3 。

2 2

[来源:Z*xx*k.Com]

3 1

[来源:学&科&网]

则满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 12 分) 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4) ,B(0,0) ,C(c,0) (1)若 c=5,求 sin∠A 的值;
[来源:Z|xx|k.Com]

(2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围。

16(本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ?

an 2a n ? 1

I)求 ?an ? 的通项公式。 II)若数列 {bn } 满足 a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ....... n bn = a

n , 求数列 {bn } 的通项公式 3

17. (本小题共 14 分) 在长方形 ABEF 中,D,C 分别是 AF 和 BE 的中点,M 和 N 分别是 AB 和 AC 的中点, AF=2AB=2a,将平面 DCEF 沿着 DC 折起,使角 ?ADF ? 90 ,G 是 DF 上一动点
0

求证: ⑴ GN 垂直 AC ⑵当 FG=GD 时,求证:GA||平面 FMC。

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18. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy ,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标

原点 O。椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 。 a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)在圆 C 上存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的 长,请求 出 Q 点的坐标

19. (本小题共 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx , f ( x ? 1) 为偶函数,函数 f ( x) 的图象与直线 y ? x 相切. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ? [ f ( x) ? k ]x 在 (??, ??) 上是单调减函数,那么:求 k 的取值范围;

[来源:Z_xx_k.Com]

20. (本小题共 13 分) 已知 a ? R, 函数 f ( x) ? x ( x ? a) .
2

(1)当 a=3 时,求 f(x)的零点; (2)求函数 y=f (x)在区间[1,2]上的最小值.

[来源:学科网]

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广东省广州市重点中学 2010 届高三 12 月月考 文科数学试题答案
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。每小题给出的四个选项中,只有一个 选项最符合题目要求。 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 号 0 答 C B C A B A B B C D 案
[ 来源:Z,xx,k.Com]

二、填空题(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11. 6
??? ?

12. 6?

13. 2 2
????

12. 14.

2
????

15. (1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) ,若 c=5, 则 AC ? (2, ?4) ,
???? ??? ? 2 5 ?6 ? 16 1 ∴ cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ,∴sin∠A= ; ? 5 5? 2 5 5

[来源:学科网 ZXXK]

(2)若∠A 为钝角,则 ?

? ?3c ? 9 ? 16 ? 0 25 解得 c ? , 3 ?c ? 0

∴c 的取值范围是 (

25 , ??) ; 3

16 解:I)因为 a n ?1 ?

an 2a ? 1 1 1 ,所以 ? n ? ?2 2a n ? 1 an?1 an an

[来源:Zxxk.Com][来源:Z_xx_k.Com]

从而

1 a n ?1

?

1 1 ? 2 ,所以数列 { } 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列 an an

所以

1 1 =1+2(n-1)=2n-1 ,从而 a n ? 2n ? 1 an

II)由题知 a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ....... n bn = a

n 3

a 所以 a1b1 ? a 2 b2 ? a3 b3 ....... n ?1bn ?1 ?
两式作差: a n bn ? 又 b1 ?

n ?1 3

n n ?1 1 1 1 ? ? ,将 a n ? 代入得 bn ? (2n ? 1) 3 3 3 2n ? 1 3

1 1 ,所以 bn ? (2n ? 1) 3 3
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17(略) 18 解: (1)圆 C: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ;
x2 y 2 ? ?1, 25 9

(2)由条件可知 a=5,椭圆

∴F(4,0) ,若存在,则 F 在 OQ 的中垂线上,又 O、Q 在圆 C 上,所以 O、Q 关于直线 CF 对称;
?y ? ?3 1 ? 直线 CF 的方程为 y-1= ? ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,设 Q(x,y) ,则 ? x , 3 ? x ? 3y ? 4 ? 0 ?2 2 ? 4 ? ?x ? 5 ? 解得 ? ? y ? 12 ? 5 ?

4 12 所以 存在,Q 的坐标为 ( , ) 。 5 5

19 解: (1)∵ f ( x ? 1) 为偶函数,∴ f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,即
a(? x ? 1)2 ? b(? x ? 1) ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) 恒成立,即 (2a ? b) x ? 0 恒成立,

∴ 2a ? b ? 0 ,∴ b ? ?2 a ,∴ f (x) ? ax 2 ? 2ax .∵函数 f ( x) 的图象与直线 y ? x 相切,∴二次
2 0 方 程 a x ? ( 2 a? 1 ) x? 有 两 相 等 实 数 根 , ∴ ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 0 ? 0 , ∴ a ? ?

1 , 2

1 f ( x) ? ? x 2 ? x . 2 1 3 (2)①∵ g ( x) ? ? x3 ? x2 ? kx ,∴ g ?( x) ? ? x 2 ? 2x ? k .∵ g ( x) 在 (??, ??) 上是单调减函 2 2 3 2 数,∴ g ?( x) ? 0 在 (??, ??) 上恒成立,∴ ? ? 4 ? 4(? )(?k ) ? 0 ,得 k ? .故 k 的取值范围为 2 3

2 [ , ??) . 3

20.(1)由题意 f ( x) ? x ( x ? 3) ,
2

由 f ( x) ? 0 ,解得 x=0,或 x=3; (2)设此最小值为 m. f ( x) ? 3 x ? 2ax ? 3 x( x ? ,
/ 2

---

2 a), x ? (1,2), 3

/ (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0, x ? (1,2),

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则 f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以 m ? f (1) ? 1 ? a (Ⅱ)当 a ? 0 时,

---

2a 2 / 时, f ( x) ? 0, 从而 f ( x)在区间[ a,?? )上是增函数 ; 3 3 2a 2 / 当0 ? x ? 时, f ( x) ? 0, 从而 f ( x)在区间[0, a]上是单减函数 ; -3 3 2 ①当 a ? 2 ,即 a ? 3 时, m ? f (2) ? 8 ? 4a 3
当 x ? 0或x ?

2 3 2a 4a ②当 1 ? a ? 2 ,即 ? a ? 3 时, m ? f ( ) ? ? . 3 2 3 27
③当 0 ? a ?

3

3 时, m ? f (1) ? 1 ? a 2

3 ? ?1 ? a, (a ? 2 ) ? ? 4a 3 3 综上所述,所求函数的最小值 m ? ?? , ( ? a ? 3) ? 27 2 ?4(2 ? a), (a ? 3) ? ?

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