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湖北省黄冈中学2014年高三5月模拟考试数学理试题


湖北省黄冈中学 2014 届高三五月模拟考试 数学(理工类)
本试题卷共 6 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题.满分 150 分.考试用时 120 分钟.

★ 祝考试顺利★
命题:潘际栋 审稿:张智 校对:尚厚家 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号 条形码粘贴在答题卡

上的指定位置.用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂 黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无 效. 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂 黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区 域内,答在试题卷、草稿纸上无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于( ) A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) 2.已知命题 p : $ x A. $ x C. $ x

R, 使 sin x <

1 x 成立. 则 ?p 为( 2
B. " x D. " x )



1 x 成立 2 1 x 成立 R, 使 sin x ? 2

R, 使 sin x =

R, sin x <

1 x 均成立 2 1 x 均成立 R, sin x ? 2

3.由曲线 y ? x , y ? x 围成的封闭图形的面积为(
2 3

A.

1 12

B.

1 4

C.

1 3

D.

7 12

4.向圆内随机投掷一点,此点落在该圆的内接正 n 边形 (n ? 3, n ? N * ) 内的概率为 P n 下列论断正确的是( )
B.随着 n 的增大, P n 减小

A.随着 n 的增大, P n 增大

C.随着 n 的增大, P n 先增大后减小 5.为得到函数 y ? sin( x ?

D.随着 n 的增大, P n 先减小后增大

?
3

) 的图象,可将函数 y ? sin x 的图象向左平移 m 个单位长度,或


向右平移 n 个单位长度( m , n 均为正数) ,则 | m ? n | 的最小值是( A.

4? 3

B.

2? 3

C.

? 3

D. 2?

6.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? 值中可以为 Sn? m 的值的是( A.2 B.3 )

n m , S m ? ( m, n ? N * 且 m ? n) ,则下列各 m n

C.4

D.5

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? 7.已知变量 x , y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? 2 x ? 2 y 的最小值为( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.

)

5 2

B.2

C. 3 3 2

D. 3 3

1 2

8.气象意义上从春季进入夏季的标志为: “连续 5 天的日平均温度均不低于 22 0C” .现有甲、 乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数) : ① 甲地:5 个数据的中位数为 24 ,众数为 22 ; ② 乙地:5 个数据的中位数为 27 ,总体均值为 24 ; ③ 丙地:5 个数据中有一个数据是 32 ,总体均值为 26 ,总体方差为 10.8 . 则肯定进入夏季的地区有 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

9.在等腰梯形 ABCD 中,E , F 分别是底边 AB, CD 的中点,把四边形 AEFD 沿直线 EF 折
起后所在的平面记为 ? , P ? ? ,设 PB, PC 与 ? 所成的角分别为 ?1 ,?2 (?1 ,?2 均不为 0 ) .若 ?1 ? ?2 ,则点 P 的轨迹为( A.直线 B.圆 ) C.椭圆 D.抛物线

10.已知关于 x 的方程
个命题正确的是(

cos x ? k 在 (0, ??) 有且仅有两根,记为 ? , ? (? ? ? ) ,则下列的四 x

2

A. sin 2? ? 2? cos ?
2

B. cos 2? ? 2? sin ?
2

C. sin 2? ? ?2? sin ? D. cos 2? ? ?2? sin ? 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在 答题卡对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. .......
2

(一)必考题(11—14 题) 11.已知某四棱锥,底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如右图所示.

若该四棱锥的侧视图为直角三角形,则它的体积为__________. 12.设 a ? (1,1, ?2) , b ? ( x, y, z) ,若 x2 ? y 2 ? z 2 ? 16 , 则 a ? b 的最大值为 .
2
1 1

13. 过抛物线 C : x 2 ? 2 y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点, 若抛物线 C 在点 B 处的 切线斜率为 1,则线段 AF ? 14.已知数列 A : a1 , a2 , a3 , .

, an (n ? 3,n ? N * ) 中,

* 令 TA ? x | x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? n, i, j ? N , card (TA ) 表示集合 TA 中元素的个数.

?

?

(1)若 A :1,3,5,7,9 ,则 card (TA ) ?

; .

(2)若 ai ?1 ? ai ? c ( c 为常数,且 c ? 0 , 1 ? i ? n ? 1 )则 card (TA ) ?

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的 题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图, PC 切圆 O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O , C 弦 CD ? AB 于点 E ,已知圆 O 的半径为 3 , PA ? 2 ,则 CE ? ______. 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 B O
·

E D

A

P

? ? x ? 3 ? 3cos ? , (? 为参数) ,以 ox 为极轴建立极 ? ? ? y ? 1 ? 3sin ?
坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? 为 .

?
6

) ? 0. 则圆 C 截直线 l 所得的弦长

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, AC ? 1, ?ABC ? (1)求 f ( x ) 解析式并标出其定义域; (2)设 g ( x) ? 6mf ( x) ? 1 ,若 g ( x) 的值域为 (1, ] ,求实数 m 的值.

2? , ?BAC ? x ,记 f ( x) ? AB ? BC . 3
3 2

18. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,把它们编号,利用随机数表 法 抽 取 50 个 作 为 样 本 , 称 出 它 们 的 重 量 ( 单 位 : 克 ) ,重量分组区间为

(5,15],(15, 25],(25,35] , (35, 45], 由此得到样本的重量频率分布直方图,如图所示.
(1)求 a 的值; (2)根据样本数据,试估计盒子中小球重量的平均值; (3)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在

(5,15] 内的小球个数为 ? ,求 ? 的分布列和期望.

19. (本小题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示(转下页) ,其正视图为矩形,侧视图为等腰 直角三角形,俯视图为直角梯形, (1)求证:BN ? 平面C1B1 N ; (2)设 ? 为直线 C1 N 与平面 CNB1 所成的角,求 sin ? 的值; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上求一点 P,使 MP//平面 CNB1 ,求

BP 的值 . PC

开始 4 8 正视图 4 4 俯视图 侧视图 输入 a1 , d , k

S ? 0, M ? 0, i ? 1
i ? k?

N

Y ai?1 ? ai ? d
C1
C

输出 S

C
C

M?

1 ai ai ?1

结束

B M A
M

B1
C

S ?S?M i ? i ?1
(第 20 题图)

N
(第 19 题图)

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数,观察程序框图,当 k ? 2 时, S ? 当 k ? 3 时, S ?

2 ; 3

3 . 4

(1)试求数列 {an } 的通项; (2)设若 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数(如 [2.10] ? 2,[0.9] ? 0 ) , 求 T ? [log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ?

[log2 (2an ?1)] ? [log2 (2an )] 关于 n 的表达式.

21. (本小题满分 13 分) 已知 A, B 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右顶点,B(2,0),过椭圆 C 的右焦点 F 的 a 2 b2

直线交椭圆于点 M, N, 交直线 x ? 4 于点 P ,且直线 PA , PF , PB 的斜率成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若记 ?AMB, ?ANB 的面积分别为 S1 , S 2 求

S1 S2

的取值范围.

22. (本小题满分 14 分)
x 设 g ( x) ? e , f ( x) ? g[?x ? (1 ? ?)a] ? ?g ( x) ,其中 a, ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 .

(1)求函数 f ( x ) 的最值; (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式

g ( x) ? 1 ? 1 ? a 成立; x

(3)设 ?1 ? 0, ?2 ? 0 ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,证明:对任意正数 a1 , a 2 都有:
?2 a1?1 a2 ? ?1a1 ? ?2a2 .

2014 年届湖北省黄冈中学五月模拟试题
1. 【答案】D 2. 【答案】D 【解析】原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即 ?p : ?x ? R ,sin x ? 3. 【答案】A 【解析】 S ?

x . 2

? (x
0

1

2

1 1 1 ? x 3 )d ( x) ? ( x 3 ? x 4 ) |1 0? 3 4 12

4. 【答案】A

1 2 2? 2? nr sin n sin 2 n ? n ,设 f ? x ? ? x sin 2? ,可知 【解析】 P n ? 2 x ?r 2? 2? 2? 2? 2? 2? 2? f ' ? x ? ? sin ? cos ? cos ? 0 ,当 ,可 x ? [3, 4] 时 f ' ? x ? ? sin x x x x x x
x ? (4, ??) 时, f ' ? x ? ? cos
5. 【答案】B 【解析】由条件可得 m ? 2k1? ?

2? x

2? 2? ? ? ? tan x x ?

? * ? ? 0 ,故 Pn 在 n ? 3(n ? N ) 时单调递增. ?

5? (k1 , k2 ? N ) ,则 3 3 2? 4? | m ? n |?| 2(k1 ? k2 )? ? | ,易知 k1 ? k2 ? 1 时 | m ? n |min ? 3 3 , n ? 2k2? ?

?

6. 【答案】D

n ? S n ? An 2 ? Bn ? ? ?( An ? B)m ? 1 ? m ?? 【解析】由已知,设 Sn ? An2 ? Bn ,则 ? ? S ? Am 2 ? Bm ? m ?( Am ? B)n ? 1 m ? n ?
两式相减得, B(m ? n) ? 0 ,故 B ? 0, A ?

1 。 mn

Sm? n ? A(m ? n)2 ?

(m ? n)2 m2 ? n 2 ? 2mn 4mn ? ? ? 4 ,故只有 D 符合。 mn mn mn

7. 【答案】D
【 解 析 】 如 图 , 点 ( x, y ) 所 满 足 的 区 域 即 为 ?ABC , 其 中

A(?1,1), B(0, 2), C(1,0), 可见, z ? 2 x ? 2 y 取得最小值的点一定在线段 AC 上,

z ? 2x ? 2 y ? 21?2 y ? 2 y ?
8. 【答案】C

1 2 2 2y 2y 1 ? ? ? 3 3 (当且仅当 x ? ? , y ? 时等号成立) y 2 3 3 (2 ) 2 2 2

【解析】甲地肯定进入,因为众数为 22,所以 22 至少出现两次,若有一天低于 22 0C,则中 位数不可能为 24;丙地肯定进入,10.8 ? 5 ? (32 ? 26)2 ? 18 ? ( x ? 26)2 ,若 x ? 21 ,上式显 然不成立.乙地不一定进入,如 13,23,27,28,29.

9. 【答案】B
【解析】如图,过 B 作 BM ? AE 于 M ,过 C 作

D

A P

M E B

CN ? DF 于 M ,易知 BM ? 平面 AEFD ,
N

CN ? 平面 AEFD ,则 ?BPM ? ?1 , ?CPN ? ?2 ,
由 tan ?1 ? tan ?2 ,可得 tan ?1 ? tan ?2 ,故 F C

BM CN PN CN ? ? ? ? 定值,且此定值不为 1, PM PN PM BM
故 P 点的轨迹为圆。 (到两定点的比为不为 1 定值的 点的轨迹为圆――――阿波罗尼斯圆)

10. 【答案】C
【解析】即方程 cos x ? kx 在 (0, ??) 上有两个不同 的解,作出 y ? cos x 的图象,可见,直线

?? ? y ? kx 与 y ? cos x 在 x ? ? , ? ? 时相切才符合,此时 y ? cos x ? ? cos x ?2 ?
有 y'
x??

? sin ? ? k ,又 cos ? ? k ? ? k ?

? cos ?

?



sin ? ?

? cos ?

?
4 3

? ? sin 2? ? ?2? sin 2 ?

11. 【答案】

【解析】易知 V ? 12. 【答案】 4 6

1 2 4 ? 2 ?1 ? 3 3

2 2 2 2 2 2 2 【解析】由柯西不等式, ? ?1 ? 1 ? (?2) ? ? ( x ? y ? z ) ? ( x ? y ? 2z) ,

知 a ? b ? x ? y ? 2 z ?[?4 6, 4 6] . 13. 【答案】1 【解析】设 B ? x1 , y1 ? ,因为 y ?

1 2 x ,所以 y ? ? x , y ? 2

x ? x1

? 1? ? x1 ? 1 ,可得 B ?1, ? ,因为 ? 2?

1 1 ? 1? ? 1? F ? 0, ? ,所以直线 l 的方程为 y ? ,故 AF ? BF ? ? ? ? ? ? 1 . 2 2 ? 2? ? 2?

14. 【答案】 (1)7

(2) 2n ? 3

【解析】根据题中集合 TA 表示的含义,可知 TA 中元素为数列中前后不同两项的和,所以

A :1,3,5, 7,9 ,则集合 TA 中元素为 4,6,8,10,12,14,16,元素个数为 7.
(2)易知,数列数列 A 为首项为 a1 ,公差为 c( c ? 0 )的等差数列,所以 an ? a1 ? (n ?1)c ,

ai ? a j ? 2a1 ? (i ? j ? 2)c(1 ? i ? j ? n) , i ? j 可以取遍从 3 到 2n ? 1 中每个整数,共有
2n ? 3 个不同的整数,故 card (TA ) ? 2n ? 3 。
15. 【答案】

12 5

2 【解析】 : PC ? PA ? PB ? 16 ,所以 PC ? 4 ,又 OC ? 3 ,

∴ OP ? 5 则 CE ? 16. 【答案】 4 2

OC ? PC 12 ? OP 5

【解析】圆 C 方程为 x ? 3

?

?

2

? ? y ? 1? ? 9 ,直线方程为
2

3 1 x ? y ? 0 ,圆心到直线的距 2 2

离为 d ? 1 ,所以弦长为 4 2

17.解: (1)由正弦定理有:

BC 1 AB ; ? ? sin x sin 2? sin(? ? x) 3 3

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

? sin( ? x) 1 3 ∴ ; BC ? sin x , AB ? 2? 2? sin sin 3 3
∴f ( x) ? AB BC ?

1 4 ? 1 2 3 sin x sin( ? x) ? ( cos x ? sin x)sin x 3 3 2 3 2 2
-----------------6分

1 ? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? (0 ? x ? ) 3 6 6 3
(2) g ( x) ? 6mf ( x) ? 1 ? 2m sin(2 x ?

?
6

) ? m ? 1 (0 ? x ?

?
3

)

? ? ? 5? ? 1 x ? (0, ) ,∴ ? 2 x ? ? ,则 sin(2 x ? ) ? ( ,1] 。 3 6 6 6 6 2
当 m ? 0 时, g ( x) ? 2m sin(2 x ? 又 g ( x) 的值域为 (1, ] ,解得

?
6

) ? m ? 1 的值域为 (1, m ? 1] 。
1 ; 2

3 2

m?

当 m ? 0 时, g ( x) ? 2m sin(2 x ? ) ? m ? 1 的值域为 [m ? 1,1) 。 此时 m 的值不存在。 ∴ 综上 m ?

? 6

1 2

-----------------12 分

18.(1)由题意,得(0.02+0.032+ a +0.018) ? 10 ? 1, 解得 a ? 0.03 (2)50 个样本小球重量的平均值为 -----------------3 分

x ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6

-----------------7 分

(3)利用样本估计总体,该盒子中小球重量在 (5,15] 内的概率为 0.2,则 ?

1 B(3, ) 5

4 64 48 1 1 4 2 P(? ? 0) ? C30 ( )3 ? , P(? ? 1) ? C3 ( )( ) ? 5 125 5 5 125 1 4 12 1 3 1 3 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? , P(? ? 3) ? C3 ( ) ? 5 5 125 5 125

? 的分布列为

?

0

1

2

3

P

64 125
1 3 E? ? 3 ? ? 5 5

48 125

12 125

1 125
----------------12 分

19.解: (1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯 形,∴BA,BC,BB1 两两垂直。 ?????2 分

以 BA,BC,BB1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则 N(4,4,0) ,B1(0, 8,0) ,C1(0,8,4) , C(0,0,4) ∵ BN ? NB1 =(4,4,0)· (-4,4,0)=-16+16=0 (0,0,4)=0 BN ? B1C1 =(4,4,0)· ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; (2)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量, 则? -----------------4 分

? ?n2 ? CN ? 0

?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ?? ? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0

?x ? y ? z ? 0 ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? x ? y ? 0
则 sin ? ?|

(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

-----------------8 分

(3)∵M(2,0,0) .设 P(0,0,a)为 BC 上一点, 则 MP ? (?2,0, a) , ∵MP//平面 CNB1, ∴ MP ? n2 ? MP ? n2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 , ∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1

?

BP 1 ? PC 3

-----------------12 分

20.解:由框图可知 S ?

1 1 1 ? ?L ? a1a2 a2a3 ak ak ?1

…………………………2 分

Q {an } 是等差数列,设公差为 d ,则有
?S ?

1 1 1 1 ? ( ? ) ak ak ?1 d ak ak ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ?L ? ? )? ( ? ) d a1 a2 a2 a3 ak ak ?1 d a1 ak ?1
2 3 和S ? 3 4

(1)由题意知若 k ? 2, k ? 3 时,分别有 S ?

2 ?1 1 1 ?d (a ? a ) ? 3 ?a1 ? 1 ?a1 ? ?1 ? 1 3 解得 ? 或? (舍) ?? 1 1 1 3 d ? 1 d ? ? 1 ? ? ? ( ? )? ? 4 ? d a1 a4
故 an ? a1 ? (n ?1)d ? n (2)由题意可设 T ? [log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ? -----------------6 分

[log2 (2n ?1)] ? [log2 (2n )]

T ? [log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ?
? [log 2 1] ? ([log 2 2] ? [log 2 3]) ?

[log2 (2n ?1)] ? [log2 (2n )]
? ?[log 2 (2k )] ? ? [log 2 (2k ?1 ? 1)]? ? ? [log 2 (2n )]

? 0 ? 1? (22 ? 21 ) ? 2 ? (23 ? 22 ) ? ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ? (n ? 2) ? 2n ? n ? 2

? (n ?1)(2n ? 2n?1) ? n

? (n ?1) ? 2n?1 ? n
-----------------12 分

21.解: (1)令 P(4, y0 ), F (c,0), 由题意可得 a ? 2, A(?2,0), B(2,0).

? 2k PF ? k PA ? k PB ,

?

2 y0 y y ? 0 ? 0 , 4?c 4?2 4?2

? c ? 1.
? 椭圆方程为

?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3.
x2 y2 ? ? 1. 4 3
-----------------5 分

(2) 令M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 由方程组 ?

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? x ? my ? 1,

消 x, 得

(3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0,

? y1 ? y 2 ?

? 6m , 3m 2 ? 4



y1 y2 ?

?9 , 3m 2 ? 4



-----------------8 分

①2/②得

y1 y 2 ? 4m 2 ? ?2? , y 2 y1 3m 2 ? 4

令t ?

y1 , y2

16 1 1 10 m 2 ? 8 10 3 , 则t ? ? t ? ? ? ? 2 t t 3m 2 ? 4 3 3m ? 4
1 10 1 2 ?| t | ? | |? ? ?| t |? 3, 且 | t |? 1 t 3 3 1 AB y1 S ?AMB S 1 2 ? ? ? t , ? A M B? ( , 1 ) S ANB 3 S ?ANB 1 AB y 2 2
21. (1)∵ f ?( x) ? ? g ?[? x ? (1 ? ?)a] ? ? g ?( x) , 由 f ?( x) ? 0 得, g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? g ?( x) , ∴ ? x ? (1 ? ? )a ? x ,即 (1 ? ? )( x ? a) ? 0 ,解得 x ? a ,-----------------3 分 故当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ; ∴当 x ? a 时, f ( x ) 取最大值, f ( x)max=f (a) ? (1 ? ? ) g (a) ? (1 ? ?)ea

-----------------13 分 (1, 3 )

-----------------1 分

f ( x) 没有最小值.
(2)∵

-----------------4 分

ex ?1 ex ? x ?1 , ?1 ? x x
x x

又当 x ? 0 时,令 h( x) ? e ? x ? 1 ,则 h?( x) ? e ?1 ? 0 ,故 h( x) ? h(0) ? 0 ,

ex ? x ?1 ?a, 因此原不等式化为 x
即 e ? (1 ? a) x ?1 ? 0 ,
x

令 ? ( x) ? e ? (1 ? a) x ?1 ,则 ? '( x) ? e ? (1 ? a) ,
x x

由 ? '( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) ,
x

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, g ?( x) ? 0 .

故当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ( x) 取最小值

? ( x)min ? ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ,
令 s(a) ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a)(a ? 0) ,则 s?(a) ? ? ln(1 ? a) ? 0 . 故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立.

-----------------7 分

-----------------9 分

(3)由(1) f ( x) ? (1 ? ? ) g (a) 恒成立,故 g[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ( x) ? (1 ? ? ) g (a) , 取 x ? x1 , a ? x2 , ? ? ?1 ,1 ? ? ? ?2 ,即得 g (?1x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ?2 g ( x2 ) , 即e 1 1
? x ? ?2 x2

? ?1ex1 ? ?2ex2 ,故所证不等式成立.

-----------------14 分

法二:先证 ( x ? 1)? ? 1 ? ? x(? ? 0, x ? ?1) 令 ? ( x) ? ( x ? 1)? ? ? x , ? '( x) ? ?[( x ? 1)? ?1] ? 0 , 则 x ? 0 ,而 x ? (?1, 0) 时, ? '( x) ? 0 ; x ? (0, ??) , ? '( x) ? 0

? ( x)min ? ? (0) ? 1 , ? ( x) ? 1 ,
∴ ( x ? 1)? ? 1 ? ? x(? ? 0, x ? ?1) ,令 x ? 则有 a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ?2 a2 。
? ?

a2 ? 1 , ? ? ?2 a1


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