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2008年全国高中数学联赛加试试题及解答


2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、 (本题满分 50 分) 如 题 一 图 , 给 定

凸 四 边 形 ABCD , ?B ? ?D ? 180 , P 是 平 面 上 的 动 点 , 令

f ( P) ? PA ? BC ? PD ? CA ? PC ? AB .
(Ⅰ)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P,A,B,C 四点共圆; ( Ⅱ ) 设 E 是 ?ABC 外 接 圆 O 的 AB 上 一 点 , 满 足 :

AE 3 BC , ? 3 ?1 , ? EC AB 2

?ECB ?

1 ?ECA ,又 DA, DC 是 O 的切线, AC ? 2 ,求 f ( P ) 的最小值. 2

[解法一] (Ⅰ)如答一图 1,由托勒密不等式,对平面上的任意点 P ,有

PA ? BC ? PC ? AB ? PB ? AC .
因此 f ( P) ? PA ? BC ? PC ? AB ? PD ? CA

? P B ? C A? P D ? C ?A ( PB ? PD) ? CA .
因为上面不等式当且仅当 P, A, B, C 顺次共圆时取等号,因此当 且仅当 P 在 ?ABC 的外接圆且在 AC 上时,

f ( P) ? ( PB ? PD) ? CA .

…10 分

答一图 1

又因 PB ? PD ? BD ,此不等式当且仅当 B, P, D 共线且 P 在 BD 上时取等号.因此当且仅 当 P 为 ?ABC 的外接圆与 BD 的交点时, f ( P ) 取最小值 f ( P)min ? AC ? BD . 故当 f ( P ) 达最小值时, P, A, B, C 四点共圆. ( Ⅱ ) 记 ?ECB ? ? , 则 ?E C A ? 2? , 由 正 弦 定 理 有 …20 分

AE sin 2? 3 ,从而 ? ? AB sin 3? 2

3sin3? ? 2sin 2? ,即 3(3sin ? ? 4sin3 ? ) ? 4sin ? cos ? ,所以
3 3 ? 4 3(1 ? cos2 ? ) ? 4cos ? ? 0 ,
整理得 4 3 cos2 ? ? 4cos ? ? 3 ? 0 , 解得 cos ? ? …30 分

3 1 或 cos ? ? ? (舍去) , 2 2 3

故 ? ? 30 , ?ACE ? 60 .

第1页 共6页

由已知

sin ?EAC ? 30 BC ? 3 ?1 = EC sin ?EAC

?

0

? , 有 sin(?EAC ? 30 ) ? (

3 ?1)sin ?EAC ,即

3 1 2? 3 1 sin ?EAC ? cos ?EAC ? ( 3 ? 1)sin ?EAC ,整理得 sin ?EAC ? cos ?EAC , 2 2 2 2
故 tan ?EAC ?

1 ? 2 ? 3 ,可得 ?EAC ? 75 , 2? 3

…40 分

从而 ?E ? 45 , ?DAC ? ?DCA ? ?E ? 45 , ?ADC 为等腰直角三角形.因 AC ? 2 ,则

CD ? 1 .
又 ?ABC 也 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 故 BC ? 2 , BD2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos135 ? 5 ,

BD ? 5 .
故 f (P)min ? BD ? AC ? 5 ? 2 ? 10 . [解法二] (Ⅰ)如答一图 2,连接 BD 交 ?ABC 的外 …50 分

接圆 O 于 P 点(因为 D 在 O 外,故 P 在 BD 上) . 0 0 过 A, C, D 分别作 P 的垂线,两两相交 0 A, PC 0 ,P 0D 得 ?A1B1C1 ,易知 P 在 ?ACD 内,从而在 ?A1B1C1 内,记 0

?ABC

之 三 内 角 分 别 为

x,y,z

, 则

, ?APC ? 180? ? y ? z ? x , 又 因 B1C1 ? P 0 0A ,得 ?B1 ? y ,同理有 ?A1 ? x , ?C1 ? z , B1 A1 ? PC 0 所以 ?A1B1C1 ∽ ?ABC . …10 分 答一图 2

设 B1C1 ? ? BC , C1 A1 ? ?CA , A1B1 ? ? AB ,则对平面上任意点 M ,有

? f ( P0 ) ? ? ( P0 A ? BC ? P0 D ? CA ? PC 0 ? AB)
?P 0 A? B 1C1 ? P 0 D ? C1 A 1 ? PC 0 ?A 1B 1
? 2S?A1B1C1

? MA ? B1C1 ? MD ? C1 A1 ? MC ? A1B1
? ? (MA ? BC ? MD ? CA ? MC ? AB) ? ? f (M ) ,
从而 . f(P 0 )? f ( M )

由 M 点的任意性,知 P0 点是使 f ( P ) 达最小值的点. 由点 P 在 O 上,故 P0 , A, B, C 四点共圆. 0 (Ⅱ)由(Ⅰ) , f ( P ) 的最小值 …20 分

f ( P0 ) ?

2

?

S ?A1B1C1
第2页 共6页

? 2? S?ABC ,
记 ?ECB ? ? ,则 ?ECA ? 2? ,由正弦定理有 即 3(3sin ? ? 4sin3 ? ) ? 4sin ? cos ? ,所以

AE sin 2? 3 ,从而 3sin3? ? 2sin 2? , ? ? AB sin 3? 2

3 3 ? 4 3(1 ? cos2 ? ) ? 4cos ? ? 0 ,
整理得 4 3 cos2 ? ? 4cos ? ? 3 ? 0 , 解得 cos ? ? …30 分

3 1 或 cos ? ? ? (舍去) , 2 2 3

故 ? ? 30 , ?ACE ? 60 .

sin ?EAC ? 30 BC 由已知 ? 3 ?1 = EC sin ?EAC

?

0

?

, 有 sin(?EAC ? 30 ) ? ( 3 ?1)sin ?EAC , 即

3 1 2? 3 1 sin ?EAC ? cos ?EAC ? ( 3 ? 1)sin ?EAC ,整理得 sin ?EAC ? cos ?EAC , 2 2 2 2
故 tan ?EAC ?

1 ? 2 ? 3 ,可得 ?EAC ? 75 , 2? 3

…40 分

所以 ?E ? 45? , ?ABC 为等腰直角三角形, AC ? 2 , S?ABC ? 1,因为 ?AB1C ? 45? , B1 点 在 O 上, ?AB1B ? 90? ,所以 B1BDC1 为矩形, B1C1 ? BD ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos135? ? 5 , 故 ? ? 5 ,所以 f ( P)min ? 2 ? 5 ?1 ? 10 . 2 2 [解法三] (Ⅰ)引进复平面,仍用 A, B, C 等代表 A, B, C 所对应的复数. …50 分

由三角形不等式,对于复数 z1 , z2 ,有

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,
当且仅当 z1 与 z2 (复向量)同向时取等号. 有 所以

P A? B C?

PC ? AB ?

P? A B ?C

P ?, C AB

( A ? P) (C? B) ? (C? P) ( B ? A) ? ( A ? P) (C ? B) ? (C ? P) (B? A) ? ? P ?C ?A ?B ?C ?B ?P ?A
, ? ( B ? P) (C ? A) ? P B ? A C (1)

从而

P A? B C?

PC ?

AB ?
AC

P ?D

CA

? P B ? A C ? P D?

第3页 共6页

? ( PB ? PD ) ? AC

? BD ? AC .
(1)式取等号的条件是

(2)

…10 分

复数 ( A ? P)(C ? B) 与 (C ? P)( B ? A) 同向,故存在实数 ? ? 0 ,使得

( A ? P)(C ? B) ? ? (C ? P)( B ? A) ,
A? P B ? A , ?? C? P C ? B
所以

A? P arg( ? ) C? P

B ? A arg( , ) C ? B

向量 PC 旋转到 PA 所成的角等于 BC 旋转到 AB 所成的角, 从而 P, A, B, C 四点共圆. (2)式取等号的条件显然为 B, P, D 共线且 P 在 BD 上. 故当 f ( P ) 达最小值时 P 点在 ?ABC 之外接圆上, P, A, B, C 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( P)min ? BD ? AC . 以下同解法一. …20 分

二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x) 的周期且 0 ? T ? 1 .证明: (Ⅰ)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使

1 是 f ( x) 的周期; p

( Ⅱ ) 若 T 为 无 理 数 , 则 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列 {an } 满 足 1 ? an ? an?1 ? 0

(n ? 1, 2, ???) ,且每个 an

(n ? 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.
n 且 (m, n) ? 1 ,从而存在整数 a , b , m

[证] (Ⅰ)若 T 是有理数,则存在正整数 m, n 使得 T ? 使得

ma ? nb ? 1 .
于是

1 ma ? nb ? ? a ? bT ? a ?1 ? b ? T m m
是 f ( x ) 的周期. 又因 0 ? T ? 1 ,从而 m ? 2 .设 p 是 m 的素因子,则 m ? pm? , m? ? N? ,从而 …10 分

第4页 共6页

1 1 ? m? ? p m
是 f ( x ) 的周期. (Ⅱ)若 T 是无理数,令 …20 分

?1? a1 ? 1 ? ? ? T , ?T ?
则 0 ? a1 ? 1,且 a1 是无理数,令

?1? a2 ? 1 ? ? ? a1 , ? a1 ?
……

?1? an ?1 ? 1 ? ? ? an , ? an ?
……. 由数学归纳法易知 an 均为无理数且 0 ? an ? 1 .又 …30 分

?1? 1 ?1? ? ? ? ? 1 ,故1 ? an ? ? ? an , an ? an ? ? an ?
…40 分

即 an ?1 ? 1 ? ?

?1? ? an ? an .因此 {an } 是递减数列. ? an ?

1 最后证: 每个 an 是 f ( x ) 的周期. 事实上, 因 1 和 T 是 f ( x ) 的周期, 故 a1 ? 1 ? ? ? T 亦 ? ?T ? ?
? ? 是 f ( x ) 的周期.假设 ak 是 f ( x ) 的周期,则 ak ?1 ? 1 ? ? 1 ? ak 也是 f ( x ) 的周期.由数学归 ? ak ?
纳法,已证得 an 均是 f ( x ) 的周期. …50 分

三、 (本题满分 50 分) 设 ak ? 0 ,k ? 1, 2,

, 2008 .证明:当且仅当 ? ak ? 1 时,存在数列 {xn } 满足以下条件:
k ?1

2008

(ⅰ) 0 ? x0 ? xn ? xn?1 , n ? 1, 2,3, (ⅱ) lim xn 存在;
n ??



(ⅲ) xn ? xn ?1 ? ? ak xn ? k ? ? ak ?1 xn? k , n ? 1, 2,3,
k ?1 k ?0

2008

2007



[证] 必要性:假设存在 {xn } 满足(ⅰ) , (ⅱ) , (iii) .注意到(ⅲ)中式子可化为
* xn ? xn ?1 ? ? ak ( xn ? k ? xn ? k ?1 ) , n ? N ,

2008 k ?1

其中 x0 ? 0 .
第5页 共6页

将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x0 ? 0 得

xn ? a1 ( xn?1 ? x1 ) ? a2 ( xn?2 ? x2 ) ?
由(ⅱ)可设 b ? lim xn ,将上式取极限得
n ??

? a2008 ( xn?2008 ? x2008 ) .

…10 分

b ? a1 (b ? x1 ) ? a2 (b ? x2 ) ?
? b ? ? ak ? (a1 x1 ? a2 x2 ?
k ?1 2008

? a2008 (b ? x2008 )
? a2008 x2008 )

? b ? ? ak ,
k ?1

2008

因此 ? ak ? 1 .
k ?1

2008

…20 分
2008 k ?1

充分性:假设 ? ak ? 1 .定义多项式函数如下:

f ( s) ? ?1 ? ? ak s k , s ? [0,1] ,
k ?1

2008

则 f ( s ) 在[0,1]上是递增函数,且

f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? ?1 ? ? ak ? 0 .
k ?1

2008

因此方程 f ( s) ? 0 在[0,1]内有唯一的根 s ? s0 ,且 0 ? s0 ? 1,即 f (s0 ) ? 0 .
k 下取数列 {xn } 为 xn ? ? s0 , n ? 1, 2, k ?1 n

…30 分

,则明显地 {xn } 满足题设条件(ⅰ) ,且

k xn ? ? s0 ? k ?1

n

n ?1 s0 ? s0 . 1 ? s0 n ?1

s ?s s n ?1 因 0 ? s0 ? 1,故 lim s0 ? 0 ,因此 lim xn ? lim 0 0 ? 0 ,即 {xn } 的极限存在,满 n ?? n ?? n ?? 1 ? s 1 ? s0 0
足(ⅱ) .
k 最后验证 {xn } 满足(ⅲ) ,因 f (s0 ) ? 0 ,即 ? ak s0 ? 1 ,从而 k ?1
2008 k ?1 2008 k ?1 2008 k ?1

…40 分
2008

n k n n?k xn ? xn?1 ? s0 ? ( ? ak s0 )s0 ? ? ak s0 ? ? ak ( xn? k ? xn? k ?1 ) .

综上,存在数列 {xn } 满足(ⅰ) , (ⅱ) , (ⅲ) .

…50 分

第6页 共6页


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