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正弦定理和余弦定理


第七节 正弦定理和余弦定理

正弦定理与余弦定理

定理

正弦定理
b a sinB sinA =_______ c =_______=2R (R是 sinC

余弦定理
在△ABC中,有 b2+c2-2bccos A a2=________________;

r />内容

△ABC外接圆的半
径)

c2+a2-2cacos B ; b2=________________ a2+b2-2abcos C c2=________________

定理

正弦定理 2Rsin A 2Rsin B ①a=________,b=________, 2Rsin C ; c=_________ ②sin A∶sin B∶sin C a∶b∶c ; =________

余弦定理

b2 ? c2 ? a 2 cos A=__________; 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B=___________; 2ac a 2 ? b2 ? c2 cos C=___________ 2ab

变形 公式

b ③sin A= a , sin B=____, 2R 2R c sin C=____ 2R ; a b c ? ? ④ sin A sin B sin C a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

定理

正弦定理

余弦定理

①已知两角和任一边, ①已知三边,求各角
解决的 求其他边和角 问题 ②已知两边和它们的 ②已知两边和其中一边 夹角,求第三边和其他 的对角,求其他边和角 角

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)在△ABC中,A>B必有sin A>sin B.( )

(2)正弦定理对钝角三角形不成立.(

)

(3)在△ABC中共有三个角、三个边六个量,可以已知三个量求 另外三个量.( ) ) )

(4)余弦定理对任何三角形均成立.(

(5)正弦定理可以实现边角互化,但余弦定理不可以.(

【解析】(1)正确.∵A>B,∴a>b,
a ? >1, b

由正弦定理可得 a ? sinA >1.
b sinB

又sin B>0,

∴sin A>sin B.
(2)错误.正弦定理对任意三角形均成立.

(3)错误.当已知三个角时不能求三边.

(4)正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用.
(5)错误.余弦定理可以实现角化边,也能实现边化角 .

答案:(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

1.在△ABC中,a=3,A=30°,B=60°,则b等于(

)

? A ? 3 3???????????????? B? 3???????????????? C ?
【解析】选A.由正弦定理得
b? asinB 3 ? sin60? ? ? sinA sin30? 3? 1 2

3 ???????????????? D ? 2 3 2

3 2 ? 3 3.

2.在△ABC中,a=4, b ? 2 3, C=30°,则边c等于(

)

? A ? 3??????????? B? 2??????????? C ? 2 3??????????? D ? 3
【解析】选B.由余弦定理得
c2 ? a 2 ? b2 ? 2abcosC ? 16 ? 12 ? 2 ? 4 ? 2 3 ? 3 ? 4,? c ? 2. 2

3.△ABC满足acos B=bcos A,则△ABC的形状为(
(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形

)

【解析】选C.由acos B=bcos A及正弦定理得,

sin Acos B=sin Bcos A,
即sin Acos B-cos Asin B=0, 故sin(A-B)=0. ∵A,B为△ABC的内角, ∴A-B=0,∴A=B, 所以△ABC是等腰三角形.

4.在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=____.
【解析】A=180°-30°-120°=30°, 由正弦定理得,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C =1∶1∶ 3. 答案:1∶1∶ 3

5.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A等于_____.
【解析】由已知得b2+c2-a2=-bc,
2 2 2 b + c - a 1 ∴cos A= =- , 2bc 2 又∵0<A<π,? A= 2? . 3 答案: 2 ? 3

考向 1

正弦定理的应用
6

【典例1】(1)(2013·唐山模拟)在△ABC中,A= ? , a=1,b= 2,
则B=( )
? 3? ? A ? ?????????????????? B? ???????? 4 4 ? 3? ? 5? C 或 ???????? D ? ? ? ? 或 4 4 6 6

(2)(2013·惠阳模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C
所对的边,若a=1,b= 3,A+C=2B,则sin C等于(
1 ? A ?1????????? B? ???????? C? 2 3 3 ???????? D ? 2 3

)

(3)(2013·岳阳模拟)如图,在△ABC中,点D在BC边上,
AD ? 33,sin?BAD ? 5 3 ,cos?ADC ? . 13 5

①求sin∠ABD的值; ②求BD的长.

【思路点拨】(1)利用正弦定理求解即可.
(2)先由A+B+C=π及条件得B,再利用正弦定理得A,进而得 sin C. (3)①利用∠ABD=∠ADC-∠BAD及两角差的正弦公式求解;②利 用正弦定理求解.

【规范解答】(1)选C.由正弦定理可得,
1 b ? sinA 2 ? 2. sinB ? ? a 1 2 5? ? 3? 又 ? 0<B< ,? B ? 或 . 6 4 4 2?

(2)选A.由A+C=2B且A+B+C=π得 B ? ? .
3



a b a ? sinB ? 得sinA ? ? sin A sinB b 又 ? a<b,? A<B, ? ? ,? C ? ? ? A ? B ? , 6 2

1?

3 2 ? 1. 2 3

?A ?

∴sin C=1.

3 (3)①因为cos?ADC ? , 5 4 所以sin?ADC ? 1 ? cos 2 ?ADC ? . 5 5 因为sin?BAD ? , 13 12 所以cos?BAD ? 1 ? sin 2 ?BAD ? . 13 因为?ABD ? ?ADC ? ?BAD,

所以sin?ABD ? sin(?ADC ? ?BAD) ? sin?ADCcos?BAD ? cos?ADCsin?BAD 4 12 3 5 33 ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65 ②在? ABD中,由正弦定理, 得 BD AD ? , sin?BAD sin?ABD AD ? sin?BAD ? sin?ABD 33 ? 5 13 ? 25. 33 65

所以BD ?

【拓展提升】1.三角形解的情况

已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已
知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况. A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系 a<bsinA 式 解的 情况 无解

a=bsinA 一解

bsinA<a <b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

a≤b 无解

2.解三角形中的常用公式和结论
(1)A+B+C=π. (2)0<A,B,C<π,
sin A?B ??C C ? sin ? cos , 2 2 2 A?B ??C C cos ? cos ? sin , 2 2 2

sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC, tan(A+B)=-tanC.

(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意
两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

【变式训练】1.(2013·青岛模拟)已知△ABC中,a,b,c分
别是角A,B,C的对边, a ? 2,b ? 3 ,B=60°,则A=( )

(A)135°
(C)135°或45°

(B)45°
(D)90°
a b 得, ? sin A sin B

【解析】选B.依题意,由正弦定理
2 3 ? , sin A sin 60?

解得sin A=

2 ,又b>a,∴A=45°. 2

2.(2013·莆田模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,若b=2,B= ? 且csin A=
3

3 acos C,则△ABC

的面积为______.

【解析】∵c·sin A=

3 a·cos C,

由正弦定理得:sin C·sin A= 3 sin A·cos C, ∵sin A≠0,∴sin C= 3 cos C, ∴tan C= 3 .又∵△ABC是锐角三角形,B ? ? , ∴A=B=C= ? ,a=b=c=2,
3 3 ∴S△ABC= 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3. 2 2

答案: 3

考向 2

余弦定理的应用

【典例2】(1)(2013·台州模拟)在△ABC中,(2a-c)cos B

=bcos

C,则角B等于(

)

? ? ? 5? A ?????? B ?????? C ?????? D ? ? ? ? ? ? ? ? 6 4 3 12

(2)(2013·济南模拟)已知△ABC中,sin A∶sin B∶
sin C=3∶2∶4,则cos C等于(
1 1 1 1 ? A ? ??????? B ? ? ?????? C ? ?????? D ? ? 4 4 3 3

)

(3)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
? ??? ? A 2 5 ??? cos ? ,AB ? AC ? 3,b ? c ? 6, 则边a=( 2 5

)

? A ? 2 2??????? B? 2 3??????? C ? 2 5??????? D ? 4

【思路点拨】(1)利用余弦定理代入整理转化可求.
(2)利用已知条件及正弦定理得a,b,c的关系,再利用余弦定理 可求. (3)利用已知可得cos A及b,c的值,从而利用余弦定理可求a.

【规范解答】(1)选C.由(2a-c)cos B=bcos C得
a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ? b? , ? 2a ? c ? ? 2ac 2ab 2 2 2 a ? c ? b 1 得a 2 ? c2 ? b 2 ? ac,? cos B ? ? , 2ac 2 ? 又 ? 0<B<?,? B ? . 3

(2)选B.由sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,
及sinA ? a b c ,sinB ? ,sinC ? 得 2R 2R 2R

a∶b∶c=3∶2∶4. 故设a=3k,则b=2k,c=4k,
a 2 ? b 2 ? c2 9k 2 ? 4k 2 ? 16k 2 1 故cosC ? ? ?? . 2ab 2 ? 3k ? 2k 4

A 2 5 3 ? ,所以cosA ? , 2 5 5 ??? ? ??? ? 由AB ? AC ? 3, 得bccosA ? 3,所以bc ? 5.

? 3? 选C.因为cos

由bc=5,且b+c=6,解得
?b ? 5, ?b ? 1, 或? ? , ?c ? 5. ?c ? 1 由余弦定理得a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bccosA ? 20, 故a ? 2 5.

??? ? ??? ? 【互动探究】若将本例题(3)中的“AB ? AC ? 3,b ? c ? 6”
B B b cos ? ”,如何求a ? 2 2 4 【解析】由cos A ? 2 5 得cos A ? 3,故sin A ? 4 . 2 5 5 5 改为“sin

B B b B B cos ? 得b ? 4sin cos ? 2sin B, 2 2 4 2 2 b a b 4 8 故 ? 2,? ? , 即a ? 2 ? ? . sin B sin A sin B 5 5 又由sin

【拓展提升】正、余弦定理的相互转化 正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,尤其是其变形应用时 可相互转化.如a2=b2+c2-2bccos A可以转化为sin2A=sin2B+ sin2C-2sin Bsin Ccos A,利用这些变形可进行等式的化简与 证明.

【变式备选】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边, 且
cos B b ?? . cos C 2a ? c

(1)求角B的大小.
(2)若 b ? 13,a ? c ? 4, 求a,c的值.

【解析】(1)由余弦定理知:
a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 cos B ? , cos C ? . 2ac 2ab cos B b 将上式代入 ?? 得: cos C 2a ? c a 2 ? c2 ? b2 2ab b ? 2 ? ? , 2 2 2ac 2a ? c a ?b ?c 整理得:a 2 ? c 2 ? b 2 ? ?ac. a 2 ? c 2 ? b 2 ?ac 1 ? cos B ? ? ?? . 2ac 2ac 2 2 ? B为三角形的内角,? B ? ?. 3

? 2 ? 将b ?

13,a ? c ? 4, B ?
2

2 ?代入b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2accos B, 3

得b 2 ? ? a ? c ? ? 2ac ? 2accos B, 1 ?13 ? 16 ? 2ac(1 ? ),? ac ? 3. 2 ?a ? c ? 4, ?a ? 1, ?a ? 3, 由? 得? 或? ?ac ? 3 ?c ? 3 ?c ? 1. 故a ? 1, c ? 3或a ? 3, c ? 1.

考向 3

利用正、余弦定理判断三角形的形状

【典例3】(1)(2013·哈尔滨模拟)在△ABC中,若sin A= 2sin Bcos C,则△ABC是( )

(A)锐角三角形 (C)钝角三角形

(B)等腰三角形 (D)直角三角形

(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. ①求A的大小; ②若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.

【思路点拨】(1)将sin A转化为sin(B+C)展开可求. (2)①利用正弦定理角化边转化,再结合余弦定理可解; ②利用C=π-(A+B)转化为关于角B的关系式求解角B可判断.

【规范解答】(1)选B.由sin A=sin(B+C)得 sin(B+C)=2sin Bcos C, 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, 即sin Bcos C-cos Bsin C=0,得sin(B-C)=0. 又B,C为△ABC的内角, 故B-C=0,即B=C,故△ABC为等腰三角形.

(2)①由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,

即a2=b2+c2+bc,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 故cos A= ? 1 , A=120°.
2

②由①得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 又sin B+sin C=1,得sin B=sin C= 1 .
2

因为0°<B<90°,0°<C<90°, 故B=C=30°,所以△ABC是等腰的钝角三角形.

【互动探究】若将本例题(1)中条件改为“sin B=
cos Asin C”,则△ABC的形状如何?

【解析】由sin B=cos Asin C得
sin(A+C)=cos Asin C, 即sin Acos C+cos Asin C=cos Asin C, 故sin Acos C=0.又0<A<π,故sin A>0, 所以cos C=0,故C= ? . 因而△ABC是直角三角形.
2

【拓展提升】1.三角形形状的判断思路 (1)边与边的关系主要看是否有等边,是否符合勾股定理等 . (2)角与角的关系主要是看是否有等角,有无直角或钝角等 . 2.判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三 角形内角之间的关系进行判断. (2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换, 求出边与边之间的关系进行判断.

【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重 挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C 的范围对 三角函数值的影响.

【变式备选】(1)在△ABC中,acos( ? -A)=bcos( ? -B),
2 2

则△ABC的形状为(

)

(A)直角三角形
(C)等边三角形

(B)等腰三角形
(D)等腰直角三角形

(2)△ABC中,已知a-b=ccos B-ccos A,则△ABC的形状
为( )

(A)等腰三角形
(C)等腰直角三角形

(B)直角三角形
(D)等腰或直角三角形

(3)△ABC中,若b=asin C,c=acos B,则△ABC的形状为( (A)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (B)直角三角形 (D)等腰或直角三角形

)

【解析】(1)选B.方法一:
? ? -A)=bcos( -B),∴asin A=bsin B. 2 2 由正弦定理可得: a ? a =b ? b , 2R 2R

∵acos(

∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.

方法二:∵acos(

? ? -A)=bcos( -B), 2 2

∴asin A=bsin B. 由正弦定理可得:2Rsin2A=2Rsin2B,即sin A=sin B, ∴A=B.(A+B=π不合题意舍去) 故△ABC为等腰三角形.

a 2 ? c2 ? b2 (2)选D.由已知结合余弦定理可得 a ? b ? c ? 2ac b 2 ? c2 ? a 2 整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2 ?c ? , 2bc

=c2,∴△ABC为等腰或直角三角形. (3)选C.由b=asin C可知 b ? sin C ? sin B , 由c=acos B可知
a ? c ? b 整理得b2+c2=a2,即三角形一定是直角三角形, c ?a? , 2ac
2 2 2

a

sin A

A=90°,∴sin C=sin B,

∴B=C,∴△ABC为等腰直角三角形.

【满分指导】解答正、余弦定理的综合题
【典例】(12分)(2012·江苏高考)在△ABC中,已知
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC ? 3BA ? BC.

(1)求证:tan B=3tan A.

(2)若cos C= 5 , 求A的值.
5

【思路点拨】

已知条件
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC ? 3BA ? BC

条件分析
利用向量数量积转化为边角 关系,再利用正弦定理转化 为角的关系

5 cosC ? 5

可得tan C,再将tan B转化 为tan(A+C)整理可解

【规范解答】(1) 由AB ? AC ? 3BA ? BC得
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AB | ? AC cos A ? 3 | BA | ? BC cos B,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

即为cbcos A=3cacos B, ????????????2分 bcos A=3acos B,由正弦定理得sin Bcos A=3sin Acos B,① ???????????????????????3分 两边同除cos Acos B得tan B=3tan A. 即tan B=3tan A成立. ?????????????5分

(2)因cos C=

5 , 所以C为锐角,所以tan C=2, 5

由(1)tan B=3tan A,且A+B+C=π, 得tan[π-(A+C)]=3tan A,②??????????6分 即-tan (A+C)=3tan A? ? 即
tanA ? tanC ? 3tanA, 1 ? tanAtanC

tanA ? 2 =3tan A, ??????????????8分 2tanA ? 1 1 所以tan A=1或tan A= ? . ????????????10分 3

因tan B=3tan A,由内角和为π知两角均为锐角,③
故tan A= ?
1 应舍去. 3

所以tan A=1,所以 A ? ? . ????????????12分
4

【失分警示】(下文①②③见规范解答过程)

1.(2012·湖南高考)在△ABC中, AC ? 7,BC=2,B=60°,则BC

边上的高等于(

)

?A?

3 3 3 3? 6 3 ? 39 ??????????? B? ??????????? C ? ???????????? D ? 2 2 2 4

【解析】选B.设AB=c,BC边上的高为h. 由余弦定理得AC2=c2+BC2-2BC·ccos 60°, 即7=c2+4-4ccos 60°,即c2-2c-3=0,
? c ? 3.又h ? c ? sin 60? ? 3 ? 3 3 3 ? . 2 2

2.(2012·广东高考)在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC ? 3 2, 则AC=( )
3 2

? A ? 4 3??????????? B? 2 3??????????? C ? 3???????????? D ?

【解析】选B. 在△ABC中,由正弦定理知 AC ? BC ,
sin B sin A

? AC ?

BCsin B ? sin A

3 2? 3 2

2 2 ? 2 3.

3.(2012·湖北高考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,
b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C, 3b=20acos A,则sin A∶sin B∶sin C为( (A)4∶3∶2 (C)5∶4∶3 (B)5∶6∶7 (D)6∶5∶4 )

【解析】选D.由题意知:a=b+1,c=b-1,∴3b=20acos A=
20 ? b ? 1? b ?c ?a ? 20(b ? 1) ? 2bc
2 2 2

b2 ? ? b ? 1? ? ? b ? 1?
2

2

2b ? b ? 1?

,

整理得:7b2-27b-40=0,解之得b=5或 b ? ? 8 (舍去),可知
7

a=6,c=4.结合正弦定理sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c =6∶5∶4.

4.(2013·济宁模拟)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,
??? ? ??? ? c,且bcos C=3acos B-ccos B.若 BA ? BC ? 2,b ? 2 2, 则△ABC

的形状是_____. 【解析】由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 又bcos C=3acos B-ccos B, ∴sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B, 即sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,

∴sin(B+C)=3sin Acos B,∴sin A=3sin Acos B,

又sin A≠0,∴cos B= .
??? ? ??? ? 由BA ? BC ? 2得accos B ? 2, 1 又cos B ? , ? ac ? 6. 3 由b 2 ? a 2 ? c2 ? 2accos B, b ? 2 2可得a 2 ? c 2 ? 12, ? ? a ? c ? ? 0,即a ? c,? a ? c ? 6.
2

1 3

故三角形ABC为等腰三角形. 答案:等腰三角形

5.(2012·福建高考)在△ABC中,已知∠BAC=60°,
∠ABC=45°,BC= 3 ,则AC=_________.
AC BC ? , sin?ABC sin?BAC 即 AC ? BC ? sin?ABC ? 2 ? 2 ? 2. sin?BAC 2

【解析】由正弦定理,得

答案: 2

1.在△ABC中,若2acos B=c,则2cos2 A +sin B-1的取值范围
2

是(

)
2, 2] 2]

? A[ ? ? ? C ? (1,

? B? (?1, 2] ? D[ ? 1, 2]

【解析】选C.由2acos B=c得2sin Acos B=sin C=sin(A+B), 即2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B , 即sin Acos B-cos Asin B=0, 即sin(A-B)=0,

故A ? B.又cos B ? 所以2cos 2

c >0, 故B为锐角. 2a

A ? sin B ? 1 ? cos A ? sin B ? sin B ? cos B 2 ? ? 2sin(B ? ). 4 ? ? ? 3? ? 0<B< ,? <B ? < , 2 4 4 4 ? ? 2sin(B ? ) ? (1, 2] . 4

2.△ABC中,三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,

则△ABC(

)

(A)一定是锐角三角形

(B)一定是直角三角形
(C)一定是钝角三角形

(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

【解析】选C.由sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13得 a∶b∶c=5∶11∶13. 设a=5k,则b=11k,c=13k,
a 2 ? b 2 ? c2 25k 2 ? 121k 2 ? 169k 2 ?23 故cos C ? ? ? <0. 2ab 2 ? 5k ?11k 110

又0<C<π,

? <C<π,所以C为钝角, 2

故△ABC为钝角三角形.


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