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1.7.2定积分在物理中的应用


选修 2-2 导学案(19)§ 1.7.2 定积分在物理中的应用
学习目标与要求:体会定积分的基本思想,会用定积分解决变速直线运动的路程及变力所做的功等简 单的物理问题。 自主学习过程: 一、复习与思考: 1、以速度 v=v(t)作变速直线运动的物体,在 a≤t≤b 时段内行驶的路程 s 等于什么? 2、除了变速运动的路程问题之外,哪些物理问题还可以用定积分的知识解决?

二、知识学习: (认真体会下列内容) 1、位移路程的计算: 路程是位移的绝对值之和,从时刻 t = a 到时刻 t = b 所经过的路程 s 和位移 s' 分别为:
b b ⑴若 v (t ) ≥0,则 s ? ?a v(t )dt ; s' ? ?a v(t )dt 。 b b ⑵若 v (t ) ≤0,则 s ? ??a v(t )dt ; s' ? ?a v(t )dt 。

c b b ⑶若在区间[ a , c ]上 v (t ) ≥0,在区间[ c , b ]上 v (t ) <0,则 s ? ?a v(t )dt ? ?c v(t )dt , s' ? ?a v(t )dt 。

2、求变力作功的方法: ⑴求变力作功时,要根据物理学的实际意义,求出变力 F ( x) 的表达式,这是求功的关键; ⑵由功的物理意义知,物体在变力 F ( x) 的作用下,沿力 F ( x) 的方向做直线运动,使物体从 x ? a 移到 x ? b ( a < b )。因此,求功之前还应该求出位移起始位置与终止位置。
b ⑶根据变力作功公式 w ? ?a F ( x) x 即可求出变力 F ( x) 所作的功。

三、例题分析 例 1:有一动点 P 沿 x 轴运动,在时间 t 的速度为 v(t ) ? 8t ? 2t 2 (速度的正方向与 x 轴正方向一致)。求: ⑴P 从原点出发,当 t =3 时,P 离开原点的路程; ⑵当 t =5 时,点 P 的位置; ⑶从 t =0 到 t =5,点 P 经过的路程; ⑷P 从原点出发,经过时间 t 后,又回到原点的 t 值。

例 2:如图所示,一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B、C 运动到 D,其中 AB=50m,BC=40m, CD=30m,变力 F= ? 4
?1 ? x ? 5, (0 ? x ? 90) ? ?20, ( x ? 90)

(其中 x 为距离,单位:m,变力 F 单位:N)。在 AB 段运动时

F 与运动方向成 30° 角,在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45° 角,在 CD 段 F 与运动方向相同,求物体 由 A 运动到 D 所作的功。 F F D C F B A

变式练习:1、A、B 两站相距 7.2km,一辆电车从 A 站 B 开往站,电车开出 ts 后到达途中 C 点,这 一段的速度为 1.2t(m/s),到 C 点的速度为 24m/s,从 C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶,从 D 点开始 刹车,经 ts 后,速度为(24-1.2t)m/s,在 B 点恰好停车,试求 (1)A、C 间的距离; (2)B、D 间的距离; (3)电车从 A 站到 B 站所需的时间。

2、如果 1N 能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm,需做功



例 3、设一物体从初速度为 1 时开始作直线运动,已知在任意时刻 t 时的加速度为 2 t ? 1 ,将位移表 示为时间 t 的函数式。

【课堂练习】 1、一物体以速度 v(t ) ? 3t 2 ? 2t ? 3 做直线运动,它在[0,3]这段时间内的位移是( A.9 B.18 C.27 D.36 )

2、 一物体在力 F ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 5 (力的单位: N, 位移单位: m)作用下, 沿与力 F ( x) 相同的方向由 x =5m 直线运动到 x =10m 处所做的功是 A.925J B.850J ( C.825J ) D.800J

3、一物体沿直线以 v=3t+2 (t 的单位:s,v 的单位:m/s)的速度运动,则该物体在 3s~6s 间的运动路 程是( A.46m ) B.46.5m C.87m D.47m )

4、以初速度 40m/s 竖直向上抛一物体,速度 v ? 40 ? 10t 2 ,则此物体达到最高时的高度为(

A.

160 m 3

B.

80 m 3

C.

40 m 3

D.

20 m 3

5、一物体在变力 F ( x) ? 5 ? x 2 (力的单位:N,位移单位:m)作用下,沿与 F ( x) 成 30° 角方向做直线运 动,则由 x =1m 运动到 x =2m 时 F ( x) 做的功是( A.
3J



B.

2 3 J 3

C.

4 3 J 3

D. 2 3 J

6、从高空自由下落一物体,在第一秒时刻恰好经过电视塔顶,在第二秒时刻物体落地。已知自由落 体的运动速度为 v ? gt ( g 为常数),则电视塔高为( A.
1 g 2

) D. 2 g

B. g

C.

3 g 2

7、 一物体在力 F ( x) ? ?

?10, (0 ? x ? 2) (单位: N) 的作用下, 沿与力相同的方向, 从 x ? 0 运动到 x ? 4 (单 ?3 x ? 4, ( x ? 2)

位:m)处,则力 F ( x) 做的功为

。 。 才停车。 m。

8、一物体以 v(t ) ? t 2 ? 3t ? 8 (m/s)的速度运动,则其在前 30 秒内的平均速度为 9、一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度 v(t)=27 – 0.9t,则刹车后前进

10、一物体以 v ? 1 ? t m/s 的速度沿直线运动,该物体开始运动后 10 s 内经过的路程为

11、在弹性限度内,弹簧所受的拉力与弹簧的伸长量成正比。已知弹簧原长为 20 ㎝,用 100N 的拉力 使弹簧伸长到 30 ㎝,若使弹簧从原长伸长到 40 ㎝,求拉力所做的功。

12、列车以 72 km / h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度 a(t ) ? ?0.4tm / s ,问列车应在进站前多
2

长时间,以及离站多远处开始制动?(精确到 0.1m )

*13、已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直 线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲 和 v乙 (如图所示),那么 对于图中给定的 t 0 和 t 1 ,下列判断中一定正确的是( )

A.在 t 1 时刻,甲车在乙车前面 B. t 1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面 *14、在原点 O 有一个带电量为+ q 的点电荷,它所产生的电场对周围电荷有作用力,现有一个单位正 电荷从距离点 O 为 a 处沿着射线方向移至距 O 点为 b ( a < b )的地方,求电场力做的功。

(十九)CCBACC 7、46J 13、A
1 1 14、 kq( ? ) a b

8、263m/s

9、405 10、

22 11 ? 2 3

11、20 12、133.3


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