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高二数学必修五


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高中数学必修五 等差等比数列 基础知识点
(一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {a n }满足a n +1 ? a n = d (常数), 则{a n } 称等差数列; 2°.通项公式: a n = a1 + ( n ? 1) d = a k + ( n ? k ) d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n =

n(a1 + a n ) n(n ? 1) = na1 + d. 2 2

② 等 比 数 列 : 1 ° . 定 义 若 数 列 {a n }满足

a n +1 = q ( 常 数 ) 则 {a n } 称 等 比 数 列 ; 2 ° . 通 项 公 式 : , an

a n = a1 q n ?1 = a k q n ? k ; 3°.前 n 项和公式: S n =
2.简单性质:

a1 ? a n q a1 (1 ? q n ) = (q ≠ 1), 当 q=1 时 S n = na1 . 1? q 1? q

①首尾项性质:设数列 {a n } : a1 , a 2 , a3 , L , a n , 1°.若 {a n } 是等差数列,则 a1 + a n = a 2 + a n ?1 = a 3 + a n ? 2 = L; 2°.若 {a n } 是等比数列,则 a1 ? a n = a 2 ? a n ?1 = a 3 ? a n ? 2 = L. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A =

a+b ; 2

2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G = ± ab . ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p + q = r + s, 1°. 若 {a n } 是等差数列,则 a p + a q = a r + a s ; 2°. 若 {a n } 是等比数列,则 a p ? a q = a r ? a s ; ④顺次 n 项和性质:

n

2n k k = n +1 2n k = n +1 k

3n k = 2 n +1 3n k

1°.若 {a n } 是公差为 d 的等差数列, 则

∑a , ∑ a , ∑a
k =1 n

组成公差为 n2d 的等差数列;

2°. 若 {a n } 是公差为 q 的等比数列, 则 偶数时这个结论不成立) ⑤若 {a n } 是等比数列, 地址: 地址:福州市鼓楼区福新路

∑ ak ,
k =1



ak ,

k = 2 n +1

∑a

k

组成公差为 qn 的等比数列.(注意:当 q=-1,n 为

1

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n2

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则顺次 n 项的乘积: a1 a 2 L a n , a n +1 a n + 2 L a 2 n , a 2 n +1 a 2 n + 2 L a3 n 组成公比这 q 的等比数列. ⑥若 {a n } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n = na中且S 奇 ? S 偶 = a中 (注 : a中指中项, 即a中 = a n +1 , 而 S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶
2

数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 =

nd . 2

二、巩固习题 巩固习
一、 选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 (A)为常数数列 2.、在等差数列 (A) a n (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 ( (D) a n ) ( )

{a n }中, a1 = 4 ,且 a1 , a5 , a13 成等比数列,则 {a n }的通项公式为
(B) a n

= 3n + 1

= n+3

(C) a n

= 3n + 1 或 a n = 4

= n + 3 或 an = 4
( )

3、已知 a, b, c 成等比数列,且 x, y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项,则

a c + 的值为 x y

(A)

1 2

(B) ? 2

(C) 2

(D) 不确定

4、互不相等的三个正数 a , b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, (A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 5、已知数列

y 是 b,c 的等比中项,那么 x 2 , b 2 , y 2 三个数(



(B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 ( (D) a n )

{a n }的前 n 项和为 S n , S 2 n+1 = 4n 2 + 2n ,则此数列的通项公式为
= 2n ? 2
(B) a n

(A) a n 6、已知 ( z

= 8n ? 2

(C) a n

= 2 n ?1

= n2 ? n
( )

? x) 2 = 4( x ? y )( y ? z ) ,则
(B) x, y , z 成等比数列 (C)

(A) x, y , z 成等差数列

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z
( )

7、数列

{a n }的前 n 项和 S n

= a n ? 1 ,则关于数列 {a n } 的下列说法中,正确的个数有
②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (D)1

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 (A)4 8、数列 1 (B)3

③可能是等比数列,也可能是等差数列

(C)2

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 , … ,前 n 项和为 2 4 8 16 1 1 1 2 2 (B) n ? n +1 + (A) n ? n + 1 2 2 2

( (C) n
2



?n?

1 +1 2n

(D) n

2

?n?

1 2
n +1

+

1 2

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9、若两个等差数列

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、 Bn ,且满足

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的值为 ( )

{a n }、 {bn }的前 n 项和分别为 An
(B)

An 4n + 2 a5 + a13 = ,则 Bn 5n ? 5 b5 + b13
7 8

(A)

7 9

8 7

(C)

19 20

(D)

10、已知数列

{a n }的前 n 项和为 S n
(B)58

= n 2 ? 5n + 2 ,则数列 {a n } 的前 10 项和为
(C)62 (D)60





(A)56 11、已知数列

{a n }的通项公式 a n
n(3 n + 13) 2

= n + 5 为,



{a n }中依次取出第 3,9,27,…3 , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列
n

的前 n 项和为 (B) 3
n





(A)

+5

(C)

3 n + 10n ? 3 2

(D)

3 n +1 + 10n ? 3 2
( )

12、下列命题中是真命题的是 A.数列

{a n }是等差数列的充要条件是 a n {a n }的前 n 项和为 S n

= pn + q ( p ≠ 0 )

B.已知一个数列

= an 2 + bn + a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 = ab n?1

C.数列

{a n }是等比数列的充要条件 a n {a n }的前 n 项和 S n

D.如果一个数列 二、填空题

= ab n + c (a ≠ 0, b ≠ 0, b ≠ 1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a + c = 0

13、各项都是正数的等比数列

{a n },公比 q ≠ 1 a5 , a 7 , a8 ,成等差数列,则公比 q =
a1 + a5 + a17 a 2 + a6 + a18
=

14、已知等差数列

{a n },公差 d ≠ 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则
= 1+
1 a n ,则 a n = 4

15、已知数列

{a n }满足 S n

16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列

{a n }是公差 d 不为零的等差数列,数列 {ab }是公比为 q 的等比数列, b1 = 1, b2
n

= 10, b3 = 46

,求公比 q 及 bn 。

18、已知等差数列

{a n }的公差与等比数列 {bn }的公比相等,且都等于 d

(d > 0, d ≠ 1) , a1 = b1

,a 3

= 3b3 , a 5 = 5b5 ,求 a n , bn 。

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3

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19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。

20、已知

{a n }为等比数列, a3 = 2, a2 + a4 = 20 ,求 {an } 的通项式。
3

21、数列

{an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 = 1, an+1 = 2Sn + 1( n ≥ 1) {an } 的通项公式; {bn } 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 = 15 ,又 a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 成等比数列,求 Tn

(Ⅰ)求

(Ⅱ)等差数列

22、已知数列

{an } 满足 a1 = 1, an+1 = 2an + 1(n ∈ N * ). {an } 的通项公式; {bn } 满足 4b ?1.4b ?1...4b ?1 = ( an + 1)b ( n ∈ N ? ) ,证明: {bn } 是等差数列;
1 2 n n

(I)求数列

(II)若数列

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