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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题7 解析几何 第34练


第 34 练

圆锥曲线中的探索性问题

题型一 定值、定点问题 x2 y2 1 例 1 已知椭圆 C: 2+ 2=1 经过点(0, 3),离心率为 ,直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交 a b 2 椭圆于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA=λAF,MB=μBF,当直线 l 的倾斜角变化时,探求 λ+μ 的 值是否为定值?若是,求出 λ+μ 的值;否则,请说明理由. 破题切入点 (1)待定系数法. (2)通过直线的斜率为参数建立直线方程, 代入椭圆方程消 y 后可得点 A, B 的横坐标的关系式, → → → → 然后根据向量关系式MA=λAF,MB=μBF.把 λ,μ 用点 A,B 的横坐标表示出来,只要证明 λ +μ 的值与直线的斜率 k 无关即证明了其为定值,否则就不是定值. c 1 解 (1)依题意得 b= 3,e= = ,a2=b2+c2, a 2 x2 y2 ∴a=2,c=1,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)因直线 l 与 y 轴相交于点 M,故斜率存在, 又 F 坐标为(1,0),设直线 l 方程为 y=k(x-1),求得 l 与 y 轴交于 M(0,-k), 设 l 交椭圆 A(x1,y1),B(x2,y2),

? ?y=k?x-1?, 由?x2 y2 ? ? 4 + 3 =1,
消去 y 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 4k2-12 ∴x1+x2= ,x1x2= , 3+4k2 3+4k2 8k2 → → 又由MA=λAF,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1), x1 x2 ∴λ= ,同理 μ= , 1-x1 1-x2 x1+x2-2x1x2 x1 x2 ∴λ+μ= + = 1-x1 1-x2 1-?x1+x2?+x1x2

-1-



2?4k2-12? - 3+4k2 3+4k2 8k2 8k2 1- + 3+4k2 3+4k2
2

8 =- . 3 4k -12

8 所以当直线 l 的倾斜角变化时,直线 λ+μ 的值为定值- . 3 题型二 定直线问题

例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x2=2py(p>0)相交于 A,B 两 点. (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在, 求出 l 的方程;若不存在,请说明理由. 破题切入点 假设符合条件的直线存在,求出弦长,利用变量的系数恒为零求解. 解 方法一 (1)依题意,点 N 的坐标为 N(0,-p), 可设 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 AB 的方程为 y=kx+p,
2 ? ?x =2py, 与 x =2py 联立得? ? ?y=kx+p. 2

消去 y 得 x2-2pkx-2p2=0. 由根与系数的关系得 x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 1 于是 S△ABN=S△BCN+S△ACN= · 2p|x1-x2| 2 =p|x1-x2|=p =p ?x1+x2?2-4x1x2 k2+2,

4p2k2+8p2=2p2

∴当 k=0 时,(S△ABN)min=2 2p2. (2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=a, AC 的中点为 O′,l 与以 AC 为直径的圆相交于点 P,Q,PQ 的中点为 H, x1 y1+p 则 O′H⊥PQ,Q′点的坐标为( , ). 2 2 1 1 2 1 ∵O′P= AC= x2 y2+p2, 1+?y1-p? = 2 2 2 1
-2-

? y1+p? 1 O′H=?a- ?= |2a-y1-p|, 2 ? 2 ?
∴PH2=O′P2-O′H2 1 1 2 2 = (y2 1+p )- (2a-y1-p) 4 4 p =(a- )y1+a(p-a), 2 p ∴PQ2=(2PH)2=4[(a- )y1+a(p-a)]. 2 p p 令 a- =0,得 a= , 2 2 此时 PQ=p 为定值,故满足条件的直线 l 存在, p 其方程为 y= ,即抛物线的通径所在的直线. 2 方法二 (1)前同方法一,再由弦长公式得

AB= = = =2p

1+k2|x1-x2|

1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 1+k2· 4p2k2+8p2 1+k2· k2+2, 2p 1+k2 .

又由点到直线的距离公式得 d= 1 从而 S△ABN= · d· AB 2 1 = · 2p 1+k2· k2+2· 2 =2p2 k2+2.

2p 1+k2

∴当 k=0 时,(S△ABN)min=2 2p2. (2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=a, 则以 AC 为直径的圆的方程为 (x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0, 将直线方程 y=a 代入得 x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0, 则 Δ=x2 1-4(a-p)(a-y1) p =4[(a- )y1+a(p-a)]. 2
-3-

设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P(x3,y3),Q(x4,y4), 则有 PQ=|x3-x4|= =2 p 4[?a- ?y1+a?p-a?] 2

p ?a- ?y1+a?p-a?. 2 p p 令 a- =0,得 a= , 2 2 此时 PQ=p 为定值,故满足条件的直线 l 存在, p 其方程为 y= ,即抛物线的通径所在的直线. 2 题型三 定圆问题 例 3 已知椭圆 G 的中心在坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率为 3 , 两个焦点分别为 F1 和 F2, 2

椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12,圆 Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点 Ak. (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△AkF1F2 的面积; (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由. 破题切入点 (1)根据定义,待定系数法求方程. (2)直接求. (3)关键看长轴两端点.

?2a=12, ? x2 y2 解 (1)设椭圆 G 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),半焦距为 c,则?c 3 a b ? ?a= 2 ,
所以 b2=a2-c2=36-27=9. x2 y2 所以所求椭圆 G 的方程为 + =1. 36 9 (2)点 Ak 的坐标为(-k,2), 1 1 S△AkF1F2= ×|F1F2|×2= ×6 3×2=6 3. 2 2 (3)若 k≥0,由 62+02+12k-0-21=15+12k>0,可知点(6,0)在圆 Ck 外;

?a=6, ? 解得? ? ?c=3 3,

若 k<0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0,可知点(-6,0)在圆 Ck 外. 所以不论 k 为何值,圆 Ck 都不能包围椭圆 G. 即不存在圆 Ck 包围椭圆 G. 总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解

决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,
-4-

y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). (3)定直线问题一般都为特殊直线 x=x0 或 y=y0 型.

x2 1.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y2=1 有两个不 2 同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; → → (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B,是否存在常数 k,使得向量OP+OQ → 与AB共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)由已知条件,得直线 l 的方程为 y=kx+ 2, x2 代入椭圆方程得 +(kx+ 2)2=1. 2 1 2 2 整理得( +k )x +2 2kx+1=0.① 2 1 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ=8k2-4( +k2)=4k2-2>0, 2 2 2 解得 k<- 或 k> . 2 2 2 2 即 k 的取值范围为(-∞,- )∪( ,+∞). 2 2 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2), 4 2k 由方程①,得 x1+x2=- .② 1+2k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2.③ → 而 A( 2,0),B(0,1),AB=(- 2,1). → → → 所以OP+OQ与AB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 将②③代入上式,解得 k= 由(1)知 k<- 2 2 或 k> , 2 2 2 . 2

故不存在符合题意的常数 k. y2 2.已知双曲线方程为 x2- =1,问:是否存在过点 M(1,1)的直线 l,使得直线与双曲线交于 2 P、Q 两点,且 M 是线段 PQ 的中点?如果存在,求出直线的方程,如果不存在,请说明理由. 解 显然 x=1 不满足条件,设 l:y-1=k(x-1). y2 联立 y-1=k(x-1)和 x2- =1, 2 消去 y 得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,
-5-

2?k-k2? 3 由 Δ>0,得 k< ,x1+x2= , 2 2-k2 x1+x2 k-k2 由 M(1,1)为 PQ 的中点,得 = =1, 2 2-k2 3 解得 k=2,这与 k< 矛盾, 2 所以不存在满足条件的直线 l. x2 y2 3.设椭圆 E: 2+ 2=1(a,b>0)过 M(2, 2),N( 6,1)两点,O 为坐标原点. a b (1)求椭圆 E 的方程; → (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA → ⊥OB?若存在,写出该圆的方程,并求 AB 的取值范围;若不存在,请说明理由. x2 y2 解 (1)因为椭圆 E: 2+ 2=1(a,b>0)过 M(2, 2),N( 6,1)两点, a b 4 2 1 1 + =1, = , a2 b2 a2 8 所以 解得 6 1 1 1 + = 1 , = , a2 b2 b2 4

? ? ?

? ? ?

2 ? ?a =8, x2 y2 所以? 椭圆 E 的方程为 + =1. 8 4 ?b2=4, ?

→ (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA

? ?y=kx+m, → ⊥OB,设该圆的切线方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),解方程组?x2 y2 ? ? 8 + 4 =1
+2(kx+m)2=8, 即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0, 则 Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,即 8k2-m2+4>0.

得 x2

? 故? 2m -8 xx= ? 1+2k ,
2 1 2 2

4km x1+x2=- , 1+2k2

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 = = k2?2m2-8? 4k2m2 - +m 2 2 2 1+2k 1+2k m2-8k2 1+2k2 .

→ → 要使OA⊥OB,需使 x1x2+y1y2=0,
-6-



2m2-8 m2-8k2 + =0, 1+2k2 1+2k2

所以 3m2-8k2-8=0, 3m2-8 所以 k2= ≥0. 8
2 ? ?m >2, 8 又 8k -m +4>0,所以? 所以 m2≥ , 3 ?3m2≥8, ? 2 2

2 6 2 6 即 m≥ 或 m≤- , 3 3 因为直线 y=kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线, |m| 所以圆的半径为 r= , 1+k2 m2 m2 8 2 6 r2= = = ,r= , 2 2 3 1+k 3m -8 3 1+ 8 8 所求的圆为 x2+y2= , 3 2 6 2 6 此时圆的切线 y=kx+m 都满足 m≥ 或 m≤- , 3 3 2 6 x2 y2 2 6 2 6 而当切线的斜率不存在时切线为 x=± 与椭圆 + =1 的两个交点为( ,± ) 或 (- 3 8 4 3 3 2 6 2 6 8 → → ,± )满足OA⊥OB,综上,存在圆心在原点的圆 x2+y2= ,使得该圆的任意一条切线 3 3 3 → → 与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA⊥OB.

x2 y2 4.(2014· 重庆)如图,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 D 在椭圆上, a b F 1F 2 2 DF1⊥F1F2, =2 2,△DF1F2 的面积为 . DF1 2 (1)求该椭圆的标准方程. (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处 的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2. 由 F1F2 F1F2 2 =2 2,得 DF1= = c, DF1 2 2 2

1 2 2 从而 S△DF1F2= DF1· F1F2= c2= ,故 c=1, 2 2 2

-7-

从而 DF1=

2 . 2

9 2 2 由 DF1⊥F1F2,得 DF2 =DF2 1+F1F2= , 2 3 2 因此 DF2= . 2 所以 2a=DF1+DF2=2 2, 故 a= 2,b2=a2-c2=1. x2 因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 x2 (2)如图, 设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交, P1(x1, y1), P2(x2, y2)是两个交点, y1>0, 2 y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2.

由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2. 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0), → → 所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1),
2 再由 F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+y1 =0. 2 x1 由椭圆方程得 1- =(x1+1)2,即 3x2 1+4x1=0, 2 4 解得 x1=- 或 x1=0. 3

当 x1=0 时,P1,P2 重合,题设要求的圆不存在. 4 当 x1=- 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 3 设 C(0,y0), y1-y0 y1 由 CP1⊥F1P1,得 · =-1. x1 x1+1 1 5 而求得 y1= ,故 y0= . 3 3 4 1 5 4 2 圆 C 的半径 CP1= ?- ?2+? - ?2= . 3 3 3 3 综上,存在满足题设条件的圆, 5 32 其方程为 x2+(y- )2= . 3 9

-8-

5.(2014· 江西)如图,已知抛物线 C:x2=4y,过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A,B 两点, 过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点). (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴), 与直线 y=2 相交于点 N1, 与(1)中的定直线相交于点 N2,
2 证明:MN2 2-MN1为定值,并求此定值.

(1)证明 依题意可设 AB 方程为 y=kx+2, 代入 x2=4y, 得 x2=4(kx+2),即 x2-4kx-8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2=-8. y1 直线 AO 的方程为 y= x; x1 BD 的方程为 x=x2.

? ?x=x2, 解得交点 D 的坐标为? y1x2 ? ?y= x1 ,
注意到 x1x2=-8 及 x2 1=4y1, y1x1x2 -8y1 则有 y= 2 = =-2. x1 4y1 因此动点 D 在定直线 y=-2 上(x≠0). (2)解 依题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax+b(a≠0),代入 x2= 4y 得 x2=4(ax+b), 即 x2-4ax-4b=0. 由 Δ=0 得(4a)2+16b=0,化简整理得 b=-a2. 故切线 l 的方程可写为 y=ax-a2. 分别令 y=2,y=-2 得 N1,N2 的坐标为 2 2 N1( +a,2),N2(- +a,-2), a a 2 2 2 2 则 MN2-MN1=( -a)2+42-( +a)2=8, a a
2 即 MN2 2-MN1为定值 8.

6.(2014· 福建)已知曲线 Γ 上的点到点 F(0,1)的距离比它到直线 y=-3 的距离小 2.
-9-

(1)求曲线 Γ 的方程. (2)曲线 Γ 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A,直线 y=3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M,N.以 MN 为直径作圆 C,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B.试探究:当点 P 在曲线 Γ 上运动(点 P 与 原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论. 解 方法一 (1)设 S(x,y)为曲线 Γ 上任意一点, 依题意,点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y=-1 的距离相等,所以曲线 Γ 是以点 F(0,1)为焦 点、直线 y=-1 为准线的抛物线,所以曲线 Γ 的方程为 x2=4y. (2)当点 P 在曲线 Γ 上运动时,线段 AB 的长度不变.证明如下:

1 由(1)知抛物线 Γ 的方程为 y= x2, 4 1 2 设 P(x0,y0)(x0≠0),则 y0= x0, 4 1 由 y′= x,得切线 l 的斜率 2 1 k=y′|x=x0= x0, 2 1 所以切线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0), 2 1 1 2 即 y= x0x- x0. 2 4 1 1 2 ? ?y=2x0x-4x0, 1 由? 得 A( x0,0). 2 ? ?y=0, 1 1 2 ? ?y=2x0x-4x0, 1 6 由? 得 M( x0+ ,3). 2 x0 ? ?y=3, 1 3 又 N(0,3),所以圆心 C( x0+ ,3), 4 x0 1 1 3 半径 r= MN=| x0+ |, 2 4 x0 AB= = AC2-r2 1 1 3 1 3 [ x0-? x0+ ?]2+32-? x0+ ?2= 6. 2 4 x0 4 x0

所以点 P 在曲线 Γ 上运动时,线段 AB 的长度不变. 方法二 (1)设 S(x,y)为曲线 Γ 上任意一点, 则|y-(-3)|- ?x-0?2+?y-1?2=2,
- 10 -

依题意,点 S(x,y)只能在直线 y=-3 的上方,所以 y>-3,所以 化简,得曲线 Γ 的方程为 x2=4y. (2)同方法一.

?x-0?2+?y-1?2=y+1,

- 11 -


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