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河南省淇县高级中学2013-2014学年高二数学上学期第二次月考试题 理 新人教A版


河南省淇县高级中学 2013-2014 学年高二数学上学期第二次月考 试题 理 新人教 A 版
一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题 60 分) 1.命题“ ?x ? R, e A. ?x ? R, e x ? x C. ?x ? R, e x ? x
x

? x ”的否定是(

)

B.

?x ? R, e x ? x D. ?x ? R, e x ? x )

2.已知椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(

4 A. 5
3.经过点 P

3 B. 5

2 C. 5

1 D. 5
)

?4,?2? 的抛物线的标准方程为(

A. y 2 ? ?8x B. x2 ? ?8 y C. y 2 ? x 或 x2 ? ?8 y D. y 2 ? x 或 y 2 ? 8x

x2 y2 ? ? 1 的长轴在 y 轴上,且焦距为 4,则 m 等于( 4.已知椭圆 10 ? m m ? 2
A.4 B.5 C.7 D.8

)

5.设 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 左支上一点,该双曲线的一条渐近线方程是 3x ? 4 y ? 0 , 9 a2
)

F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 PF ? 10 ,则 PF2 等于( 1
A. 2 B. 2或18 C. 18 D. 16

6. 已知 {an } 是等差数列, 1 ? a2 ? 4 , 7 ? a8 ? 28 , 则该数列前 10 项和 S10 等于 ( a a A.64 7.设 ? ? A.圆 B.100 C.110 D.120 )



?0, ? ? ,则方程 x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 不能表示的曲线为(
B.椭圆 C. 双曲线 D.抛物线

x2 y2 8.已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两 b a
点。若 AB 的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为 A、 ( )

x2 y2 + =1 45 36

B、

x2 y2 + =1 36 27
1

x2 y2 C、 + =1 27 18

x2 y2 D、 + =1 9 18
? 1 ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?

9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数 ? A、

100 101

B、

99 101

C、

99 100

D、

101 100

10.已知 F 、 F2 是椭圆 1

x 2 y2 + = (a>b>0)的两个焦点,以线段 F1 F2 为边作正三角 1 a 2 b2

形 M F F2 ,若边 M F 的中点在椭圆上,则椭圆的离心率是 1 1

A.

3-1 2

B. 3- 1

C.

3+1 2

D. 3+ 1

11.在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若 (a2 +c2 -b2 ) tan B= 的值为( A. ) B.

3ac ,则角 B

? 6

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 12.如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在曲线 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 上,那么 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
PQ 的最小值为
(A) 5 ? 1 (B)

4 5

?1

(C) 2 2 ? 1

(D) 2 ? 1

2

第 II 卷(非选择题) 评卷人 得分 二、填空题(每小题 5 分本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答卷纸相应位 置上. ...... .

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 m 的取值范围是______________. 13.若方程 m ?1 3 ? m
14.已知 x>0,y>0.lgx+lgy=1,则

2 5 ? 的最小值是 x y

x2 y2 ,, ? ? 1 的左焦点 , A?1 4? 点P 是双曲线右支上的动点, 15.已知 F 是双曲线 4 12


PF ? PA ? 的最小值为

.

16.下列关于圆锥曲线的命题:其中真命题的序号___________.(写出所有真命题的序 号) 。 ① 设 A, B 为两个定点,若 ② 设

PA ? PB ? 2 ,则动点 P 的轨迹为双曲线;

A, B 为两个定点,若动点 P 满足 PA ? 10 ? PB ,且 AB ? 6 ,则 PA 的

最大值为 8; ③ 方程 2 x ④ 双曲线
2

? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率;

x2 y 2 y2 ? ? 1 与椭圆 x 2 ? ? 1 有相同的焦点 25 9 35
得分 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.请在答卷纸指定区域 ....... 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .

评卷人

2 x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,与双曲线 x ? y 2 ? 1 有相同渐近 17.若双曲线与椭圆 16 25 2

线,求双曲线方程. 1 8.已知命题

p : 方 程 x 2 ? m x? 1 ? 0 有 两 个 不 等 的 负 实 根 , 命 题 q : 方 程

4 x 2 ? 4?m ? 2?x ? 1 ? 0 无实根.若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 m 的取值范
围. 19. (本题 14 分)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6
3

n ?1 20、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 ( n 为正整数).

1 2

(I)设 bn ? 2 n an 证明:数列{ bn }是等差数列. (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)令 cn ?

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn ,求 Tn 的值. n

21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴 上,椭圆 C 上的点到 焦点的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

4

参考答案 1.D 【解析】 试题分析:因为,全称命题的否定是存在性命题, 所以,命题“ ?x ? R, e
x

? x ”的否定是 ?x ? R, e x ? x ,选 D。

考点:全称命题与存在性命题 点评:简单题,全称命题的否定是存在性命题。 2.B 【解析】 试题分析:椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列,即 2a,2b,2c 成等差数列,
2 2 2 所以 , 2 ? 2b ? 2a ? 2c, 2b ? a ? c ,又 a ? b ? c , e ?

c , a

所以, (5e ? 3)(e ? 1) ? 0, e ?

3 ,选 B。 5

考点:等差数列,椭圆的几何性质。 点评: 小综合题, 通过椭圆长轴长、 短轴长和焦距成等差数列, 确定得到 a,b,c 的一种关系, 利用,椭圆的几何性质,确定得到离心率 e。 3.C 【解析】

4.D 【解析】

x2 y2 ? ? 1 的长轴在 y 轴上,且焦距为 4, 试题分析:因为,椭圆 10 ? m m ? 2
所以, a ? m ? 2, b ? 10 ? m ,
2 2
2 从而, m ? 2 ? (10 ? m) ? ( ) ,解得, m ? 8 ,

4 2

故选 D。 考点:椭圆的几何性质
2 2 2 点评:简单题,利用 a,b,c 的关系 a ? b ? c ,建立 m 的方程。

5.C 【解析】

试题分析:整 理 得 , 渐 近 线 方 程 得 y ? ? ∴

3 x, 4

3 3 ? , a=4, a 4

P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 左支上一点,∴ |PF 2 |-|PF 1 |=2a=8,∴ |PF 2 |= 18, 9 a2

故 选 C. 考点:双曲线的定义,双曲线的几何性质。 点评:简单题,利用双曲线的几何性质,建立 a 的方程。 6.B 【解析】设公差为 d,则由已知得 ?

?2a1 ? d ? 4 ?d ? 2 ?? ?2a1 ? 13d ? 28 ?a1 ? 1

而 S10 ? 10a1 ? 45d ? 10 ? 90 ? 100 ,故选 B. 7.D 【解析】

8.D;

? x12 y12 ? a 2 ? b2 ? 1 ? 【解析】设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,所以 ? 2 ,运用点差法,所以直线 AB 的斜率 2 x2 y2 ? ? ?1 ? a 2 b2 ?
为 k?

b2 b2 , 设 直 线 方 程 为 y ? 2 ( x ? 3) , 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 a2 a
6b2 ? 2 ;又因为 a 2 ? b 2 ? 9 ,解得 a 2 ? b2

(a2 ? b2 ) x2 ? 6b2 x ? 9b2 ? a4 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ?

b2 ? 9, a2 ? 18 .
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查学生的化归与转化能力. 9.A 【 解 析 】 由 a5 ? 5, S5 ? 15 , 得 a1 ? 1, d ? 1 , 所 以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n , 所 以

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1





1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 ,选 A. ?? ? ? ? ? ??? ? ? 1? ? a1a2 a100 a101 1 2 2 3 100 101 101 101
10.B 【解析】 试题分析:根据题意,则可以结合正三角形的性质,中位线性质和定义得到关系式,求解离

x 2 y2 1 心率。则由 F 、 F2 是椭圆 2 + 2 = (a>b>0)的两个焦点,以线段 F F2 为边作正三角 1 1 a b
形 F F2 ,若边 MF1 的中点 N 在椭圆上,则连接 N F2 ,NAME 那么可知 PF1 =c, PF2 =2a-c,则 1 根据直角三角形的勾股定理可知 c2 ? (2a ? c)2 ? 4c2 ?e2 ? 2e ? 2 ? 0?e ? 3 ?1,故答 案选 B. 考点:椭圆的定义 点评:解决该试题的关键是对于定义的灵活运用,以及正三角形中线是高线的性质的运用, 属于基础题。 【答案 】D 【解析】由 (a2 +c2 -b2 ) tan B=

3ac 得

(a 2 +c 2 -b2 ) 3 cos B 3 cos B ,即 cos B = , = 2ac 2 sin B 2 sin B

? sin B=
12.A

? 2? 3 ,又在△中所以 B 为 或 。 3 3 2

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 【解析】 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上, 点 画出可行域如图, Q 在圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 点 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
上, 那么 P Q 的最小值为圆心(0, -2)到直线 x-2y+1=0 的距离减去半径 1, 即为 5 -1, 选 A。

3 2 1 -2 -1 0 1 -1 -2 2 3

13.(1,2)∪(2,3) 【解析】 试题分析:因为,方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆, m ?1 3 ? m

? m ?1 ? 0 ? 所以, ? 3 ? m ? 0 ,解得, m 的取值范围是(1,2)∪(2,3)。 ?m ? 1 ? 3 ? m ?
考点:椭圆的标准方程及其几何性质 点评:简单题,利用椭圆的几何性质,建立 m 的不等式组。 14.2 【解析】略 15.9 【解析】 试题分析:根据双曲线的方程可求得 c=4 ,所以左焦点 F(-4,0), 右焦点 F ' (4,0) , 由双曲线定义:|PF|-|P F ' |=2a= 4,
2 2 所以,|PF|+|PA|=|P F ' | +4+|PA|=4+|PA|+|P F ' | ? 4+|A F ' |=4+ (1 ? 4) ? 4 ? =9,此

时 P 在线段 A F ' 上 即

PF ? PA ? 最小值为 9。

考点:双曲线的几何性质 点评:简单题,利用数形结合思 想,分析 A,F,P 的相对位置,得到 4+|A F ' |的长度即为所 求。 16.②③ 【解析】 试题分析:① 不 正 确 .若 动 点 P 的 轨 迹 为 双 曲 线 ,则 2 要 小 于 A、B 为 两 个 定 点 间 的 距 离 . 当 2 大 于 A、 B 为 两 个 定 点 间 的 距 离 时 动 点 P 的 轨 迹 不 是 双 曲 线 . ② 正 确 . 设 点 P 的 坐 标 为 ( x, y) , ∵ |PA|+|PB|=10> |AB|=6, ∴ 点 P 的 轨 迹 是 以 A、 B 为 焦 点 的 椭 圆 , 其 中 a=5, c=3, 则 |PA| 的 最 大 值 为 a+c=8.

③ 正 确 .方 程 2x -5x+2=0 的 两 根 分 别 为 的离心率. ④不正确. 曲线 双

2

1 1 和 2, 和 2 可 分 别 作 为 椭 圆 和 双 曲 线 2 2

x2 y 2 y2 ? ?1 的 焦 点 在 x 轴 上 , 圆 x2 ? ? 1 的焦 点 在 y 轴 上 , 椭 25 9 35

故答案为:②③. 考点:椭圆、双曲线的定义及其几何性质 点评:简单题,本题注重椭圆、双曲线的定义及其几何性质的考查,突出了对基础知识的考 查。 17.

y2 x2 ? ?1 3 6

【解析】 试题分析: 思路分析:与双曲线

x2 ? y2 ?1 有 相 同 渐 近 线 , 一 般 设 所 求 的 双 曲 线 方 程 为 2
通过确定“待定系数 ” ? ,求得双曲线方程。

x2 y ? ? ? (? ? 0) 2
2

解:依题意可设所求的双曲线的方程为 y ?
2

x2 ? ? (? ? 0) 2
5分

3分



y2

?

?

x2 ?1 2?

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点 又? 双曲线与椭圆 16 25
? ? ? 2? ? 25 ? 16 ? 9 解得 ? ? 3
9分 11 分 13 分

? 双曲线的方程为

y2 x2 ? ?1 3 6

考点:双曲线的标准方程及其几何性质 点评:中档题,本题双曲线的定义及其几何性质的考查,本题解法具有一般性。 。 18.实数 m 的取值范围为 ?1,2? ? ?3,??? 【解析】 试题分析: 思路分析:根据

p ? q 为真, p ? q 为假,确定 p,q 之一为真,另一为假。

因此,应确定 p,q 为真命题时,m 的范围, 然后根据 p 真 q 假, p 假 q 真,分别求得 m 的范围,确定它们的“并集” 。

解:对于命题

p :方程 x 2 ? m x ? 1 ? 0 有两个不等的负实根
3分

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ,解得: m ? 2 ?? ?? m ? 0
对于命题 q :方程 4 x
2

2

? 4?m ? 2?x ? 1 ? 0 无实根
6分

? ? ? 16?m ? 2? ? 16 ? 0 ,解得:1 ? m ? 3
? p ? q 为真, p ? q 为假 ? p, q 一真一假
若 p 真 q 假,则 ? 7分

?m ? 2 ,解得: m ? 3 ?m ? 1或m ? 3

10 分



?m ? 2 p 假 q 真,则 ? ,解得: 1 ? m ? 2 ?1 ? m ? 3

13 分

综上,实数 m 的取值范围为 ?1,2? ? ?3,???

14 分

考点:复合命题真值表 点评:中档题,利用复合命题真值表,确定 p,q 的真假情况。通过研究时命题 p,q 为真命题 时的 m 范围,达到解题目的。 19. (I) AB ? 1 (II) C ? 60?

20、 解: (I)在 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?

1 2

当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 2

n?2

1 ? 2, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , ? 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 . w.w.w..c.o.m
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

?

n . 2n

23.(I)

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
2 7

(II) 直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0).

【解析】解:(I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b 2 ? 3

?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ? ?1 ? 3 ?4
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4(m 2 ? 3) ? 0 ,

? ? 64m2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .

x1 ? x2 ? ?

8mk 4(m 2 ? 3) , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), k AD ? k BD ? ?1 ,

?

y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得 2k ,且满足 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 . m1 ? ?2k , m2 ? ? 7 当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾; 2 2k 2 当m ? ? 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7


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