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圆锥曲线的中点弦问题


关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题。这类问题一 般有以下三种类型: (1)求中点弦所在直线方程问题; (2)求弦中点的轨迹方程问题; (3)求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例 1、过椭圆

/>x2 y2 ? ? 1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦所在的直线方程。 16 4

解法一:设所求直线方程为 y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理得:

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8(2k 2 ? k ) x ? 4(2k ? 1) 2 ? 16 ? 0 又设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x 2 是方程的两个根,于是
8(2k 2 ? k ) , 4k 2 ? 1 x1 ? x2 4(2k 2 ? k ) 又 M 为 AB 的中点,所以 ? ? 2, 2 4k 2 ? 1 1 解得 k ? ? , 2 故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 解法二:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,M(2,1)为 AB 的中点, 所以 x1 ? x2 ? 4 , y1 ? y 2 ? 2 , x1 ? x 2 ?
又 A、B 两点在椭圆上,则 x1 ? 4 y1 ? 16 , x2 ? 4 y2 ? 16 , 两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

y1 ? y 2 x ? x2 1 1 ?? 1 ? ? ,即 k AB ? ? , 2 x1 ? x2 4( y1 ? y 2 ) 2 故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 解法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y ),由于中点为 M(2,1) ,
所以 则另一个交点为 B(4- x ,2 ? y ), 因为 A、B 两点在椭圆上,所以有 ?

?

两式相减得 x ? 2 y ? 4 ? 0 , 由于过 A、B 的直线只有一条, 故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 二、求弦中点的轨迹方程问题

x 2 ? 4 y 2 ? 16 , 2 2 ( 4 ? x ) ? 4 ( 2 ? y ) ? 16 ?

x2 y2 ? ? 1 上一点 P(-8,0)作直线交椭圆于 Q 点,求 PQ 中点的轨迹方程。 例 2、过椭圆 64 36
解法一:设弦 PQ 中点 M( x, y ),弦端点 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),

? 9 x1 2 ? 16 y1 2 ? 576 则有 ? , 2 2 ?9 x 2 ? 16 y 2 ? 576
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两式相减得 9( x1 ? x2 ) ? 16( y1 ? y2 ) ? 0 , 又因为 x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y ,所以 9 ? 2 x( x1 ? x2 ) ? 16 ? 2 y( y1 ? y 2 ) ? 0 , 所以

2

2

2

2

y1 ? y 2 9 x , ? x1 ? x2 16y

而 k PQ ?

y 9x y?0 ,故 。 ? 16 y x ? 8 x ? (?8)

化简可得 9x 2 ? 72x ? 16y 2 ? 0 ( x ? ?8 )。 解法二:设弦中点 M( x, y ),Q( x1 , y1 ), 由x?

x1 ? 8 y , y ? 1 可得 x1 ? 2 x ? 8 , y1 ? 2 y , 2 2
2 2

x y 又因为 Q 在椭圆上,所以 1 ? 1 ? 1 , 64 36


4( x ? 4) 2 4 y 2 ? ? 1, 64 36 ( x ? 4) 2 y 2 ? ? 1 ( x ? ?8 )。 16 9

所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为

三、弦中点的坐标问题 例 3、求直线 y ? x ? 1 被抛物线 y 2 ? 4 x 截得线段的中点坐标。 解:解法一:设直线 y ? x ? 1 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,其中点 P( x0 , y0 ) ,由题意得

?y ? x ?1 , ? 2 ? y ? 4x
消去 y 得 ( x ? 1) 2 ? 4x ,即 x ? 6 x ? 1 ? 0 ,
2

所以 x0 ?

x1 ? x2 ? 3 , y0 ? x0 ? 1 ? 2 ,即中点坐标为 (3,2) 。 2

2 解法二:设直线 y ? x ? 1 与抛物线 y ? 4 x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,其中点 P( x0 , y0 ) ,由题意得

? y1 2 ? 4 x1 2 2 ,两式相减得 y2 ? y1 ? 4( x2 ? x1 ) , ? 2 ? y 2 ? 4 x2
所以

( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? 4, x2 ? x1
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所以 y1 ? y 2 ? 4 ,即 y 0 ? 2 , x0 ? y0 ? 1 ? 3 ,即中点坐标为 (3,2) 。 上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论

引理

设 A、B 是二次曲线 C: Ax

2

? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上的两点,P ( x0 , y0 ) 为弦 AB 的中点,则

k AB ? ?

2 Ax0 ? D (2Cy0 ? E ? 0) 2Cy0 ? E 。
2 2 2 2

设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) 则 Ax1 ? Cy1 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0 ……(1)

Ax2 ? Cy2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0 ……(2) (1) ? (2) 得 A( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? C( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? D( x1 ? x2 ) ? E( y1 ? y2 ) ? 0
∴ 2 Ax0 ( x1 ? x2 ) ? 2Cy0 ( y1 ? y2 ) ? D( x1 ? x2 ) ? E( y1 ? y2 ) ? 0 ∴ (2 Ax0 ? D)(x1 ? x2 ) ? (2Cy0 ? E)( y1 ? y2 ) ? 0 ∵ 2Cy0 ? E ? 0 ∴ x1 ? x2



2 Ax0 ? D 2 Ax0 ? D y1 ? y2 k AB ? ? ?? 2Cy0 ? E 。 x1 ? x2 2Cy0 ? E 即

?? B 时 , 上 面 的 结 论 就 是 过 二 次 曲 线 C 上 的 点 P ( x0 , y0 ) 的 切 线 斜 率 公 式 , 即 (说明:当 A?

k ??

2 Ax0 ? D 2Cy0 ? E )
2 2 设圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的弦 AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) ,

推论 1


k AB ? ?

2 x0 ? D 2 x0 ? D 2 y0 ? E 。 (假设点 P 在圆上时,则过点 P 的 k ? ? 2 y0 ? E

切线斜率为)

b 2 x0 x2 y2 k AB ? ? 2 ? ? 2 ?1 2 a y0 。 b 推论 2 设椭圆 a 的弦 AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) ,则 (注:对 a≤b 也成 2 x b k ?? 2 ? 0 a y0 ) 立。假设点 P 在椭圆上,则过点 P 的切线斜率为 b 2 x0 x2 y2 k ? ? ? 2 ?1 AB 2 2 ( x , y ) y ? 0 ) a y0 。 0 0 0 a b 推论 3 设双曲线 的弦 AB 的中点为 P ( 则 (假设点 P 在双曲线 2 x b k? 2? 0 a y0 ) 上,则过 P 点的切线斜率为
推论 4

( x , y ) y ? 0) 则 设抛物线 y ? 2 px 的弦 AB 的中点为 P 0 0 ( 0
2

k AB ?

p y0 。 (假设点 P 在抛物线上,则

k?

过点 P 的切线斜率为 我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题,下面举例说明。

p ) y0

x2 y2 ? ?1 例 1、求椭圆 25 16 斜率为 3 的弦的中点轨迹方程。
3??
解:设 P( x, y) 是所求 轨迹 上的 任一 点, 则有

16 x ? 25 y , 故 所 示 的 轨 迹 方 程 为 16x+75y=0

(?

75 75 ?x? ) 241 241
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x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 b 例 2、已知椭圆 a A、B 是椭圆上两点,线段 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴相交于 P ( x0 ,0) ,
求证:

?

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? a a 。

证明:设 AB 的中点为 T ( x1 , y1 ) ,由题设可知 AB 与 x 轴不垂直,∴ y1 ? 0 ,

k AB ? ?


b 2 x1 ? a 2 y1

kl ?
∵l⊥AB
2



a 2 y1 ? b 2 x1 0 ? y1 ?
令 y=0
2

y ? y1 ?
∴l 的方程为: ∴

a y1 ? ( x ? x1 ) b 2 x1
∵ | x1 |? a



a 2 y1 ? ( x0 ? x1 ) b 2 x1

x1 ?

a ? x0 a ?b 2
2

2

a ? x0 |? a 2 ∴ a ?b |
2

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? ? x0 ? a a ∴
例 3、已知抛物线 C: y ? x ,直线
2

l : y ? k ( x ? 1) ? 1, 要使抛物线 C 上存
在关于 l 对称的两点, k 的取值范围是什么? 解:设 C 上两点 A、B 两点关于 l 对称,AB 的 中点为 P ( x0 , y0 ) ( y0 ? 0)

1 k 2 ∵P∈ l ∴ y0 ? k ( x0 ? 1) ? 1, ∴ ∴ 1 1 1 1 1 1 ? k ? k ( x0 ? 1) ? 1, x0 ? ? P ( ? ,? k ) 2 k ∴ 2 k 2 ∴ 2 ∴ 1 2 1 1 k 3 ? 2k ? 4 k ? ? ? 0, 2 k 4k ∵P 在抛物线内 ,∴ 4 ∴

k AB

1 p 1 ? ? 2 ?? y0 y0 k

y0 ? ?

(k ? 2)(k 2 ? 2k ? 2) ? 0, 4k ∴

∴ ? 2 ? k ? 0.

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