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2012年3月泉州市高三质检数学试题及答案(理科word)


准考证号 (在此卷上答题无效)

姓名

保密★启用前

2012 年泉州市普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其它题为 必考题.本试卷共 6 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答

题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作 答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 、 x2 、?、 xn 的标准差:

s?

1 ?( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ??? ? xn ? x ?? ? ,其中 x 为样本平均数; n
1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3

柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 锥体体积公式: V ?

2 球的表面积、体积公式: S ? 4? R , V ?

4 ? R 3 ,其中 R 为球的半径. 3

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题意要求的. 1. 复数 ?1 ? i ? i 等于 A. ?1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. 1 ? i

2. 已知集合 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? x 1 ? log 2 x ? 2 ,则 A

?

?

?

?

B 等于

市质检数学(理科)试题

第 1 页(共 17 页)

A. x 0 ? x ? 3

?

?

B. x 2 ? x ? 3

?

?

C. x 1 ? x ? 3

?

?

D. x 1 ? x ? 4

?

?

3. 已知 a ? (2,1), b ? ( ?1, ?3) ,则 | a ? b | 等于 A. 5 B. 7 C.5 D.25

开始
S ? 1, n ? 1

4. 执行右侧框图所表达的算法,如果最后输出的 S 值为

1 ,那么判断框中实数 a 的取值范围是 2012 A. 2011 ? a ? 2012 B. 2011 ? a ? 2012 C. 2011 ? a ? 2012 D. 2012 ? a ? 2013
5. 下列四个条件: ① x , y ,z 均为直线; ② x , y 是直线,z 是平面; ③ x 是直线, y , z 是平面;④ x , y , z 均为平面. 其中,能使命题“ x ? y, y A.1 个

n≤a




S? S 1? S

输出 S 结束

n ? n ?1

(第 4 题图) D.4 个

z ? x ? z ”成立的有
B.2 个 C.3 个

? x ? y ? 2 ? 0, 6. 已知实数 x , y 满足 ? 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? x ? y ? 0, ? x 2 ? y 2 ? 4, ?
A.5 B.-1 C.2 D. 2 5

7. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ,则“ f (2) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 单调递增” 的 A.充要条件 C.必要不充分条件 8. 已知 A 1, A 2 分别为椭圆 C : 的点 P 恒满足 k PA1 ? k PA2 ? ? A. B.充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点, 椭圆 C 上异于 A 1, A 2 a 2 b2

4 ,则椭圆 C 的离心率为 9
B.

4 9

2 3

C.

5 9

D.

5 3

9. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例,采用如下调查方法: (1)在该校中随机抽取 100 名学生,并编号为 1,2,3,??,100; (2)在箱内放置两个白球和三个红球,让抽取的 100 名学生分别从箱中随机摸出一球, 记住其颜色并放回; (3)请下列两类学生举手: (ⅰ)摸到白球且号数为偶数的学生; (ⅱ)摸到红球且不
市质检数学(理科)试题 第 2 页(共 17 页)

喜欢数学课的学生. 如果总共有 26 名学生举手,那么用概率与统计的知识估计,该校学生中喜欢数学课的 人数比例大约是 A.88% B. 90% C. 92% D.94%

10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系, 如把抛物线 y 2 ? x 的图象绕原点沿逆时 针方向旋转 90 就得到函数 y ? x2 的图象.若把双曲线

x2 ? y 2 ? 1 绕原点按逆时针方向旋转 3
D. 90

一定角度 ? 后,能得到某一个函数的图象,则旋转角 ? 可以是 A. 30 B. 45 C. 60

市质检数学(理科)试题

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2012 年泉州市普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.将答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知等差数列 {an } 中, a5 ? 1 , a3 ? a2 ? 2 ,则 S11 ? 的面积为 . , 则 V ABC 周 长 的 最 大 值 3
2

.

12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥俯视图
3

13. 在 V ABC 中 , B ? 6 0 ,A C ? 为 . 14. 已知 min ?a, b? ? ?

1

正视图

侧视图

? ?a ? a ? b ? , , 设f? x ? ?b ? a ? b ?

n i ??m
.

? x , ? ?

3

1? 则由函数 f ? x ? 的图象与 x ?, x?

轴、直线 x ? e 所围成的封闭图形的面积为

15. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗,如: “云边月影沙边雁, 水外天光山外树” ,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云” ,其意境和韵味读 来真是一种享受!数学中也有回文数,如:88,454,7337,43534 等都是回文数,无论从左 往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文数” ,读起来还真有趣! 二位的回文数有 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个; 三位的回文数有 101,111,121,131,?,969,979,989,999,共 90 个; 四位的回文数有 1001,1111,1221,?,9669,9779,9889,9999,共 90 个; 由此推测:10 位的回文数总共有 个.

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知点 F (1,0) ,直线 l : x ? ?1 ,动点 P 到点 F 的距离等于它到 直线 l 的距离. (Ⅰ)试判断点 P 的轨迹 C 的形状,并写出其方程. (Ⅱ)是否存在过 N (4, 2) 的直线 m ,使得直线 m 被截得的弦
C B y

AB 恰好被点 N 所平分?
17.(本小题满分 13 分)

θ

A

x

将边长为 1 的正三角形 ABC 按如图所示的方式放置, 其中顶点 A 与坐标原点重合.记边

市质检数学(理科)试题

第 4 页(共 17 页)

? ?? AB 所在直线的倾斜角为 ? ,已知 ? ? ?0, ? . ? 3?
(Ⅰ)试用 ? 表示 BC 的坐标(要求将结果化简为形如 (cos ? ,sin ? ) 的形式) ; ( Ⅱ ) 定 义 : 对 于 直 角 坐 标 平 面 内 的 任 意 两 点 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? , 称 为 P 、 Q 两点间的“taxi 距离” ,并用符号 PQ 表示.试求 BC 的最 x1 ? x2 ? y1 ? y2 大值. 18.(本小题满分 13 分) 已知 A 1, A 2, A 3, 得通过的概率均为 某同学参加每所高校的考试获 , A10 等 10 所高校举行的自主招生考试,

1 . 2

(Ⅰ)如果该同学 10 所高校的考试都参加,试求恰有 2 所通过的概率; (Ⅱ)假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为 a 元,该同学决定按

A1 , A2 , A3 ,

, A10 顺序参加考试,一旦通过某所高校的考试,就不再参加其它高校的考试,

试求该同学参加考试所需费用 ? 的分布列及数学期望. 19. (本小题满分 13 分) 如图,侧棱垂直底面的三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中, AB ? AC , AA 1 ? AB ? AC ? 3 ,

AB ? AC ? t (t ? 0) , P 是侧棱 AA1 上的动点.

B1 C1 A1 P B C A

(Ⅰ)当 AA1 ? AB ? AC 时,求证: AC ? 平面ABC1 ; 1 (Ⅱ)试求三棱锥 P ? BCC1 的体积 V 取得最大值时的 t 值; (Ⅲ)若二面角 A ? BC1 ? C 的平面角的余弦值为 20.(本小题满分 14 分)
市质检数学(理科)试题 第 5 页(共 17 页)

10 ,试求实数 t 的值. 10

? 已知 f0 ? x ? ? x ? e x , f1 ? x ? ? f0? ? x ? , f 2 ? x ? ? f1?? x ? , ?,fn ? x ? ? f n??1 ? x ? (n? N ) .

(Ⅰ)请写出 fn ? x ? 的表达式(不需证明) ; (Ⅱ)设 fn ? x ? 的极小值点为 P n ? xn , yn ? ,求 yn ; (Ⅲ)设 gn ? x ? ? ?x2 ? 2 ? n ?1? x ? 8n ? 8 , gn ? x ? 的最大值为 a , fn ? x ? 的最小值为

b ,试求 a ? b 的最小值.
21. 本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑,并将所选题号填入括号中.作 (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 若二阶矩阵 M 满足 M ? (Ⅰ)求二阶矩阵 M ; (Ⅱ)把矩阵 M 所对应的变换作用在曲线 3x2 ? 8xy ? 6 y 2 ? 1 上,求所得曲线的方程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 1 2 ? ? 7 10 ? ? ?? ?. ?3 4? ? 4 6 ?

已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2t cos ? (t 为非零常数,? 为参 ? y ? 2sin ?

数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半 轴为极轴)中,直线 l 的方程为 ? sin(? ?

?
4

)?2 2.

(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程并说明曲线的形状;

B, (Ⅱ) 是否存在实数 t , 使得直线 l 与曲线 C 有两个不同的公共点 A 、 且 OA ? OB ? 10 (其中 O 为坐标原点)?若存在,请求出;否则,请说明理由.
(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 4 的 最 小 值 为 m , 实 数 a, b, c, n, p, q 满 足

a 2 ? b 2 ? c 2 ? n2 ? p 2 ? q 2 . ? m
(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求证:

n4 p 4 q 4 ? ? ? 2. a 2 b2 c 2

市质检数学(理科)试题

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2012 届泉州市普通中学高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分 细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1. A 6. D 2.B 7.C 3.C 8.D 4.A 9.B 5.C 10.C

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11. 33 12.1 13. 3 3 14.

5 4

15.90000

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理 论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)因点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离,所以点 P 的轨迹 C 是以 F 为焦 点、直线 x ? ?1 为准线的抛物线, 其方程为 y ? 4 x .
2

??????2 分 ??????5 分

(Ⅱ) 解法一: 假设存在满足题设的直线 m .设直线 m 与轨迹 C 交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,
市质检数学(理科)试题 第 7 页(共 17 页)

依题意,得 ?

? x1 ? x2 ? 8 . ??????6 分 ? y1 ? y2 ? 4

①当直线 m 的斜率不存在时,不合题意. ??????7 分 ②当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 4) ,???8 分 联立方程组 ?

? y ? 2 ? k ( x ? 4)
2 ? y ? 4x



消去 y ,得 k 2 x2 ? (8k 2 ? 4k ? 4) x ? (2 ? 4k ) 2 ? 0 , (*) ∴ x1 ? x2 ?

??????9 分

8k 2 ? 4k ? 4 ? 8 ,解得 k ? 1 . ??????10 分 k2 2 此时,方程(*)为 x ? 8x ? 4 ? 0 ,其判别式大于零, ??????11 分 ∴存在满足题设的直线 m ??????12 分 且直线 m 的方程为: y ? 2 ? x ? 4 即 x ? y ? 2 ? 0 . ??????13 分
解法二:假设存在满足题设的直线 m .设直线 m 与轨迹 C 交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,

依题意,得 ?

? x1 ? x2 ? 8 . ??????6 分 ? y1 ? y2 ? 4

易判断直线 m 不可能垂直 y 轴, ??????7 分 ∴设直线 m 的方程为 x ? 4 ? a( y ? 2) ,???8 分 联立方程组 ?

? x ? 4 ? a( y ? 2)
2 ? y ? 4x
2



消去 x ,得 y ? 4ay ? 8a ? 16 ? 0 , ??????9 分 ∵ ? ? 16(a ?1) ? 48 ? 0 ,
2

∴直线与轨迹 C 必相交. ??????10 分 又 y1 ? y2 ? 4a ? 4 ,∴ a ? 1 . ∴存在满足题设的直线 m ??????11 分 ??????12 分 ??????13 分

且直线 m 的方程为: y ? 2 ? x ? 4 即 x ? y ? 2 ? 0 .

解法三:假设存在满足题设的直线 m .设直线 m 与轨迹 C 交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,

依题意,得 ?

? x1 ? x2 ? 8 . ??????6 分 y ? y ? 4 ? 1 2
市质检数学(理科)试题 第 8 页(共 17 页)

∵ A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在轨迹 C 上,
2 ? 1) ? y1 ? 4 x1 ( ,将 (1) ? (2) ,得 y12 ? y22 ? 4( x1 ? x2 ) . ???8 分 2 ? ? y2 ? 4 x2 (2)

∴有 ?

当 x1 ? x2 时,弦 AB 的中点不是 N ,不合题意, ???9 分 ∴

y1 ? y2 4 ? ? 1 ,即直线 AB 的斜率 k ? 1 , ???10 分 x1 ? x2 y1 ? y2
??????12 分 ??????13 分

注意到点 N 在曲线 C 的张口内(或:经检验,直线 m 与轨迹 C 相交)?11 分 ∴存在满足题设的直线 m 且直线 m 的方程为: y ? 2 ? x ? 4 即 x ? y ? 2 ? 0 . 识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 13 分. 解: (Ⅰ)解法一:因为 B ? cos? ,sin ? ? , C ? cos ?? ?

17. 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知

? ?

? ?

??

? ?? ? ? ,sin ?? ? ? ? , ??2 分 3? 3 ?? ?
???3 分

所以 BC ? ? cos ?? ?

? ?

? ?

??

?? ? ? ? ? cos ? ,sin ?? ? ? ?sin ? ? 3? 3? ? ?
2? ? ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? . 3 ?? ? ? ?

? 2? ? ? ? cos ?? ? 3 ? ?

???7 分

解法二:平移 BC 到 AD ( B 移到 A , C 移到 D ) ,???2 分 由 BC 的坐标与 AD 的坐标相等,都等于点 D 的坐标. ???3 分 由平几知识易得直线 AD 的倾斜角为

2? ?? , 3

∵ | AD |? 1 ,∴根据三角函数的定义可得 D ? cos ? ? ?

? ?

? ?

2? 3

2? ? ? ? ,sin ?? ? 3 ? ?

?? ?? , ??

所以 BC ? ? cos ? ? ?

? ?

? ?

2? 3

2? ? ? ? ,sin ? ? ? 3 ? ? ? ?

?? ? ? . ???7 分 ??

(Ⅱ)解法一: BC ? cos ? ? ? ∵ ? ? ?0,

2? ? 2? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ,???8 分 3 ? 3 ? ?

2? 2? ? ?? ?[ ,? ] , ,∴ ? ? ???9 分 ? 3 3 ? 3? 2? ? 2? ? ? ? ∴ BC ? ? cos ? ? ? ???11 分 ? ? sin ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ?
市质检数学(理科)试题 第 9 页(共 17 页)

5? ? ? ???12 分 ? 2 sin ? ? ? ?, 12 ? ? ? 所以当 ? ? 时, BC 取得最大值 2 . ???13 分 12
解法二: BC ? cos ?? ? ∵0 ?? ?

? ?

??
?
3

?? ? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ? sin ? ,???8 分 3? 3? ?
? 2? ? ? ? ,即 0 ? ? ? ? ? ? ? , 3 3

?
3

,∴

?
3

?? ?

∴ cos ? ? ? ∵0 ?? ?

? ?

??

? ? cos ? ? cos ? ? cos(? ? ) . ???9 分 3? 3
,∴

?

?
3

?

?? ? ( ?? ) ? , 2 3 2
???10 分

?

?

∴ sin ? ? ?

? ?

??

?? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? sin ? , 3? 3? ?

? ?? ? || BC ||? cos ? ? cos(? ? ) + sin ? ? ? ? ? sin ? 3 3? ?

? ? 5? ? sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? 2 sin(? ? ) , 6 6 12
所以当 ? ?

???12 分

?
12

时, BC 取得最大值 2 .

???13 分

18. 本题主要考查概率与统计的基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用 用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想等.满分 13 分.

解: (Ⅰ)因为该同学通过各校考试的概率均为

1 ,所以该同学恰好通过 2 所高校自主 2
???4 分

2 招生考试的概率为 P ? C10 ? ? ?1 ?

?1? ? ?2? ?

2

45 1? ? ? 1024 . 2?

8

(Ⅱ)设该同学共参加了 i 次考试的概率为 Pi ( 1 ? i ? 10, i ? Z ).

?1 ,1 ? i ? 9, i ? Z ? ? 2i ∵ Pi ? ? , ? 1 , i ? 10 ? ? 29
∴所以该同学参加考试所需费用 ? 的分布列如下:
市质检数学(理科)试题 第 10 页(共 17 页)

?
P

a
1 2

2a

3a

4a

5a

6a

7a

8a

9a

10 a

1 22 1 2

1 23
???7 分

1 24 ?

1 25

1 26

1 27

1 28

1 29

1 29

所以 E? ? ( ?1 ? 令S ? 则

1 ?2 ? 22 ?

1 1 ? 9 ? 9 ?10) a , ???8 分 9 2 2
?(1) ?(2)

1 1 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 2

1 ? 9, 29 ?

1 1 1 S ? 2 ?1 ? 3 ? 2 ? 2 2 2

1 1 ? 8 ? 10 ? 9 , 9 2 2 ?

由(1)-(2)得 所以 S ? 1 ?

1 1 1 S? ? 2? 2 2 2

1 1 ? 10 ? 9 , 9 2 2

1 1 1 1 ? 2 ? ? 8 ? 9 ? 9 , ???11 分 2 2 2 2 1 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 所以 E? ? ?1 ? ? 2 ? ? 8 ? 9 ? 9 ? 9 ?10 ? a ? ?1 ? ? 2 2 2 ? 2 ? 2 2 ?

?

1? ?a 29 ?

1 210 a ? 2 ?1 ? 1 ? a ? 1023 a (元). ? ? 10 ? 1 512 ? 2 ? 1? 2 1?

???13 分

19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考 查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函 数与方程思想及应用意识. 满分 13 分. 解: (Ⅰ)证法一:∵ AA1 ? 面 ABC ,∴ AA1 ? AC , AA1 ? AB . 又∵ AA1 ? AC ,∴四边形 AAC 1 1C 是正方形, ∴ AC1 ? AC 1 . ???1 分

∵ AB ? AC, AB ? AA 1 , AA 1 , AC ? 平面AAC 1 1C , AA 1 ∴ AB ? 平面AAC 1 1C . ???2 分

AC ? A ,

又∵ AC1 ? 平面AAC 1 1C , ∴ AB ? AC1 . ∵ AB, AC1 ? 平面ABC1 , AB

???3 分

AC1 ? A ,

市质检数学(理科)试题

第 11 页(共 17 页)

∴ AC ? 平面ABC1 . 1

???4 分

证法二:∵ AA1 ? 面 ABC ,∴ AA1 ? AC , AA1 ? AB . 又∵ AB ? AC , ∴分别以 AB, AC, AA1 所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系. ??1 分 则 A(0,0,0), C1 (0,1,1), B(1,0,0), C(0,1,0), A 1 (0,0,1) ,

AC ? (0,1, ?1), AC1 ? (0,1,1), AB ? (1,0,0) , 1
∴ AC 1 ? AC1 ? 0, AC 1 ? AB ? 0 , ?2 分 ∴ AC ? AC1, AC ? AB . ?3 分 1 1 又∵ AB, AC1 ? 平面ABC1 , AB ∴ AC ? 平面ABC1 . 1

z B1 C1 A1 P B y C A(O) x

AC1 ? A

?4 分

证法三:∵ AA1 ? 面 ABC ,∴ AA1 ? AC , AA1 ? AB . 又∵ AB ? AC , ∴分别以 AB, AC, AA1 所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系. ??1 分 则 A(0,0,0), C1 (0,1,1), B(1,0,0), C(0,1,0), A 1 (0,0,1) ,

z B1 C1 A1 P B y C A(O) x

AC ? (0,1, ?1), AC1 ? (0,1,1), AB ? (1,0,0) . 1
设平面 ABC1 的法向量 n ? ( x, y, z) ,

则?

? ?n ? AC1 ? y ? z ? 0 ? ?n ? AB ? x ? 0

,解得 ?

?x ? 0 . ? y ? ?z
??3 分 ??4 分

令 z ? 1 ,则 n ? (0, ?1,1) , ∵ AC 1 ? ?n , (Ⅱ)∵ AA 1

∴ AC ? 平面ABC1 . 1

平面BB1C1C ,
市质检数学(理科)试题 第 12 页(共 17 页)

∴点 P 到平面 BB1C1C 的距离等于点 A 到平面 BB1C1C 的距离
1 1 1 3 ∴ V ? VP ? BCC1 ? VA? BCC1 ? VC1 ? ABC ? t 2 (3 ? 2t ) ? t 2 ? t 3 (0 ? t ? ) , ?5 分 6 2 3 2 V ' ? ?t (t ? 1) ,
令 V ' ? 0 ,得 t ? 0 (舍去)或 t ? 1 , 列表,得

(0,1)
V'
+ 递增

1 0 极大值 ?8 分

3 (1, ) 2
- 递减

V
∴当 t ? 1 时, Vmax ?

1 . 6

(Ⅲ)分别以 AB, AC, AA1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.
则 A(0,0,0), C1 (0, t,3 ? 2t ), B(t,0,0), C(0, t,0), A 1 (0,0,3 ? 2t ) ,

AC ? (0, t,2t ? 3), AC1 ? (0, t,3 ? 2t ), AB ? (t,0,0) , 1 CC1 ? (0,0,3 ? 2t ) , BC ? (?t, t,0) .
设平面 ABC1 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , ??9 分

? x1 ? 0 ? ?n1 ? AC1 ? ty1 ? (3 ? 2t ) z1 ? 0 ? 则? ,解得 ? 2t ? 3 , y ? z1 n ? AB ? tx ? 0 ? 1 ? ? 1 1 t ?
令 z1 ? t ,则 n1 ? (0,2t ? 3, t) . ?10 分

z B1 C1 A1 P B y C A(O) x

设平面 BCC1 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

? ?n2 ? BC ? ?tx2 ? ty2 ? 0 则? . ? ?n2 ? CC1 ? (3 ? 2t ) z2 ? 0
由于 0 ? t ?

? x2 ? y2 3 ,所以解得 ? . 2 ? z2 ? 0
?11 分

令 y2 ? 1 ,则 n2 ? (1,1,0) .

市质检数学(理科)试题

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设二面角 A ? BC1 ? C 的平面角为 ? , 则有 | cos ? |?

| n1 ? n2 | | 2t ? 3 | 10 ? ? . 10 | n1 | ? | n2 | 2 ? t 2 ? (2t ? 3) 2
6 . 5
?13 分

2 化简得 5t ? 16t ? 12 ? 0 ,解得 t ? 2 (舍去)或 t ?

所以当 t ?

6 10 时,二面角 A ? BC1 ? C 的平面角的余弦值为 . 5 10

20. 本题主要考查函数、导数、数列以及合情推理等基础知识,考查推理论证能力、运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想.满 分 14 分. 解:(Ⅰ) fn ? x ? ? ? x ? n? ? e
x

( n ? N ).
x

?

??4 分

(Ⅱ)∵ f n? ? x ? ? ? x ? n ? 1? ? e , ∴当 x ? ? ? n ? 1? 时, f n? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? ? n ? 1? 时, f n? ? x ? ? 0 . ∴当 x ? ? ? n ? 1? 时, fn ? x ? 取得极小值 f n ? ? n ? 1? ? ?e 即 yn ? ?e ( Ⅲ )
?? n?1?

?

?

?? n ?1?



( n ? N ). 法
2

?

??8 分 ∵







g n ? x ? ? ? ? x ? ? n ? 1? ? ? ? n ? 3?
2

2







a?

n

g ( ?( n ? 1 n?? ?9 分 3 ? ) ? ?) .

又 b ? f n ? ? n ? 1? ? ?e ∴ a ? b ? ? n ? 3? ? e
2 2

?

?

?? n ?1?



?? n ?1?



令 h ? x ? ? ? x ? 3? ? e

?? x ?1?

? x ? 0 ? ,则 h? ? x ? ? 2 ? x ? 3? ? e?? x?1? .
?1

??10 分

∵ h? ? x ? 在 ?0, ??? 单调递增,∴ h? ? x ? ? h? ? 0? ? ?6 ? e , ∵ h? ? 3? ? ?e
?4

? 0 , h? ? 4? ? 2 ? e?5 ? 0 ,
??12 分
第 14 页(共 17 页)

∴存在 x0 ? ? 3,4 ? 使得 h? ? x0 ? ? 0 .

市质检数学(理科)试题

∵ h? ? x ? 在 ?0, ??? 单调递增, ∴当 0 ? x ? x0 时, h? ? x0 ? ? 0 ;当 x ? x0 时, h? ? x0 ? ? 0 , 即 h ? x ? 在 ? x0 , ??? 单调递增,在 ?0, x0 ? 单调递减, ∴ h ? x?

?

?

min

? h ? x0 ? ,

又∵ h ? 3? ? e?4 , h ? 4? ? 1 ? e?5 , h ? 4? ? h ? 3? , ∴当 n ? 3 时, a ? b 取得最小值 e . ??14 分 解法二: ∵ g n ? x ? ? ? x ? ? n ? 1? 又 b ? f n ? ? n ? 1? ? ?e ∴ a ? b ? ? n ? 3? ? e
2

?4

?

? ? ? n ? 3?
2

2

,所以 a ? g n (?(n ? 1)) ? ? n ? 3? .??9 分
2

?

?

?? n ?1?



?? n ?1?



令 cn ? ? n ? 3? ? e
2

?? n ?1?



则 cn ?1 ? cn ? 2n ? 5 ? 当 n ? 3 时,

1 e
n?2

?

1 en ?1

,??10 分

cn ?1 ? cn ? 2n ? 5 ?
所以 2n ? 5 ?

1 e
n?2

?

1 e
n ?1

, 又因为 n ? 3 , 所以 2n ? 5 ? 1 ,

1
n?2

e

?0, 0?

1 en ?1

?1,

1 e
n?2

?

1 e n ?1

? 0 ,所以 cn?1 ? cn .??12 分

又 c1 ? 4 ?

1 1 1 , c2 ? 1 ? 3 , c3 ? 4 , c1 ? c2 ? c3 , 2 e e e
?4

∴当 n ? 3 时, a ? b 取得最小值 e . ??14 分 21.(1)选修 4—2:矩阵与变换 本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识,考查运算求解能力及函数与 方程思想.满分 7 分.

? ?2 1 ? ?1 2? ?1 ? ? 解: (Ⅰ)记矩阵 A ? ? 1 ? . ??2 分 ? ,故 A ? ?2 ,故 A ? ? 3 3 4 ? ? ? ? 2 2? ? ?2 1 ? ? 7 10 ? ?1 ? 7 10 ? ? ? ?1 2 ? . ??3 分 由已知得 M ? ? 1??? ?A ?? ?? 3 ? ? ?4 6 ? ?4 6 ? ?1 1 ? ? 2 2?

市质检数学(理科)试题

第 15 页(共 17 页)

(Ⅱ)设二阶矩阵 M 所对应的变换为 ?

? x? ? ?1 2 ?? x ? ? x? ? x ? 2 y ,得 , ? ? ? ? ?? ? ? y? ? ?1 1 ?? y ? ? y? ? x ? y

解得 ?

? x ? ? x? ? 2 y ? , ? y ? x? ? y ?

??5 分

又 3x2 ? 8xy ? 6 y 2 ? 1 ,故有 3(? x? ? 2 y?)2 ? 8(? x? ? 2 y?)( x? ? y?) ? 6( x? ? y?)2 ? 1 ,化 简得 x?2 ? 2 y?2 ? 1 .故所得曲线的方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1 . ??7 分 (2)选修 4—4:坐标系与参数方程 本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力以及 化归与转化思想、分类与整合思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)∵ t ? 0 ,∴可将曲线 C 的方程化为普通方程:

x2 ? y 2 ? 4 . ??1 分 2 t

①当 t ? ?1 时,曲线 C 为圆心在原点,半径为 2 的圆; ??2 分 ②当 t ? ?1 时,曲线 C 为中心在原点的椭圆. ??3 分 (Ⅱ)直线 l 的普通方程为: x ? y ? 4 ? 0 . 联立直线与曲线的方程,消 y 得 ??4 分

x2 ? ( x ? 4)2 ? 4 ,化简得 (1 ? t 2 ) x2 ? 8t 2 x ?12t 2 ? 0 . 2 t
2

若直线 l 与曲线 C 有两个不同的公共点,则 ? ? 64t 4 ? 4(1 ? t 2 ) ?12t 2 ? 0 ,解得 t ? 3 . ??5 分

8t 2 12t 2 , x1 x2 ? , 又 x1 ? x2 ? ? 1? t2 1? t2

??6 分

故 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

? 2x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? 10 .
解得 t ? 3 与 t ? 3 相矛盾.
2 2

故不存在满足题意的实数 t . (3)选修 4—5;不等式选讲

??7 分

本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力以及推理 论证能力,考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分 7 分.

市质检数学(理科)试题

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?2 x ? 6 ( x ? 4) ? (2 ? x ? 4) ,??2 分 解: (Ⅰ)法一: f ( x) ? x ? 2 ? x ? 4 ? ?2 ??2 x ? 6 ( x ? 2) ?
可得函数的最小值为 2.故 m ? 2 . ??3 分 法二: f ( x) ? x ? 2 ? x ? 4 ? ( x ? 2) ? ( x ? 4) ? 2 , ??2 分 当且仅当 2 ? x ? 4 时,等号成立,故 m ? 2 . (Ⅱ)? [( ??3 分

n2 2 p2 q2 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ] ?( a2 ? b2 ? c2 ) a b c 2 2 2 n p q ? ( ?a ? ? b ? ? c) 2 ??5 分 a b c 4 4 4 n p q 即: ( 2 ? 2 ? 2 ) ? 2 ? (n2 ? p2 ? q2 )2 ? 4 , a b c n4 p 4 q 4 故 2 ? 2 ? 2 ? 2. ??7 分 a b c

市质检数学(理科)试题

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