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北京市西城区2004年抽样测试 高三数学试卷(文科)


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北京市西城区 2004 年抽样测试 高三数学试卷(文科)
2004.5 学校______________ 班级_______________ 姓名______________ 参考公式: 三角函数的和差化积公式

sin ? ? sin ? ? 2 sin

???

r />
2 2 ??? ??? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ??? ??? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ??? ??? cos ? ? cos ? ? 2 sin sin 2 2
正棱台、圆台的侧面积公式

cos

???

S台侧 ?

1 (c '? c )l 2

其中 c ' 、c 分别表示上下底面周长,l 表斜高或母线长 球体的体积公式

4 V球 ? ?R 3 3
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

y2 x2 ? ? 1 的两条准线方程是( ) 1.双曲线 9 16
A. x ? ?

9 5 1 2

B. x ? ?

16 5

C. y ? ?

9 5

D. y ? ?

16 5

2.不等式(2x-1)(1-|x|)<0 成立的充要条件是( ) A.x>1,或 x ? C. ? 1 ? x ? B.x>1,或 ? 1 ? x ? D.x<-1,或 x ?

1 2

1 2

1 2

3. 已知定点 A (0, 1) 点 B 在直线 y=x 上移动. 当线段 AB 最短时, 点 B 的坐标是 ( ) A. (

2 2 , ) 2 2
1 1 2 2

B. ( 2, 2 )

C. ( , )

D. ( ?

2 2 ,? ) 2 2

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4.已知α ,β 表示平面,m,n 表示直线.下列命题中正确的是( ) A.若α //β , m ? ? , n ? ? 则 m//n B.若α ⊥β , m ? ? , n ? ? ,则 m⊥n C.若 m//α ,n//β ,m⊥n,则α ⊥β D.若 m⊥α ,n⊥β ,m//n,则α //β 5.函数 y ? 2 x ? 1( x ? 1) 的反函数是( ) A. y ? log2 ( x ? 1) ,x∈(1,3) B. y ? ?1 ? log2 x ,x∈(1,3) C. y ? log2 ( x ? 1) ,x∈(1,3] D. y ? ?1 ? log2 x ,x∈(1,3] 6.在复平面内,向量 AB 对应的复数是 2+i,向量 CB 对应的复数是-1-3i,则向量 CA 对应的复数为( ) A.1-2I B.-1+2I C.3+4I D.-3-4i

?

?

?

7.设集合 A={1,2,3,4,5},a、b∈A,则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点位于 y 轴上的 a b

椭圆有( ) A.5 个 B.10 个 C.20 个 D.25 个 8.人口问题是我国最大的社会问题之一,估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列 相关政策的基础.由人口统计年监,可查得我国从 1974 年至 1999 年人口数据资料如下: 1974 1979 1984 1989 1994 1999 年份 9.08 9.75 10.35 11.07 11.77 12.50 人口数 (单位:亿) 由此可估算出我国 2004 年的人口数为( ) A.13.02 亿 B.13.22 亿 C.13.42 亿 D.13.66 亿 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.如果函数 y ? ?
x

?2 x ? 3, ( x ? 0) 是奇函数,则 f(x)=_________. ? f ( x) , ( x ? 0)

10 .函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 在 [0 , 1] 上最大值与最小值的和是 3 ,则 a 的值是 _________.

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11.函数 y ? sin x ? 3 cos x( x ? R) 的最小值是__________. 12.直线 l 截圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 所得弦 AB 的中点是 ( ?

1 3 , ) ,则直线 l 的方程为 2 2

_________________;|AB|=___________. 13.设正方体的棱长为 a,则以其六个面的中心为顶点的多面体的体积是_________. 14. 如图,n 2 (n ? 4) 个正数排成 n 行 n 列方阵. 符号 aij (1 ? i ? n,1 ? j ? n, i、j ? N ) 表示位于第 i 行第 j 列的正数.已知每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,且各 列数的公比都等于 q. 若 a11 ?

1 1 a32 ? . , 则 q=___________; . a 24 ? 1, a46 ? ________ 2 4

a11 a 21 ? a n1

a12 a 22 ? an2

a13 a 23 ? a n3

? ? ? ?

a1n a2n ? a nn

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 设 x∈R,函数 f ( x) ? cos(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) .已知 f(x)的最小正周期为π , 且 f( )?

?

(Ⅰ)求ω 和 ? 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调递增区间. 16. (本题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,E 是 AC 中点. (Ⅰ)求证: BE?平面ACC1 A1 ; (Ⅱ)求证: AB1 // 平面BEC1 ;

8

1 . 2

(Ⅲ)若

A1 A 2 ,求二面角 E ? BC1 ? C 的大小. ? AB 2

17. (本题满分 12 分)

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某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系近似满足

?t ? 20, (1 ? t ? 24, t ? N ) .商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系 P?? ?? t ? 100, (25 ? t ? 30, t ? N )
近似满足 Q=-t+40(1≤t≤30, t ? N ) .求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销售金 额最大的一天是 30 天中第几天. 18. (本题满分 14 分) 设函数 f(x)= loga (1 ? ax) ,其中 0<a<1. (Ⅰ)证明 f(x)是(- ? , (Ⅱ)解不等式 f(x)>1. 19. (本题满分 14 分) 已知定点 A(-2, -4) , 过点 A 作倾斜角为 45°的直线 l 交抛物线 y 2 ? 2 px (p>o)于 B、 C 两点,且|AB|,|BC|,|AC|成等比数列. (Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)中的抛物线上是否存在点 D,使得|DB|=|DC|成立?如果存在,求出点 D 的坐标;如果不存在,请说明理由. 20. (本题满分 14 分) 已知正项数列 ?an ? 和 ?bn ? 中, a1 ? a (0<a<1) , b1 ? 1 ? a .当 n≥2 时,

1 )上的增函数; a

an ? an?1 ? bn , bn ?

bn?1 . 2 1 ? an ?1

(Ⅰ)证明:对任意 n ? N ,有 an ? bn ? 1; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

高三数学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 2.B 3.C 4.D 5.A 6.D 7.B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共 30 分. 9.2x+3 (5 分) 10.2 (5 分) 11.-2 (5 分) 12. x - y ? 2 ? 0; 2 (第一个空 2 分,第二个空 3 分).

8.B

13.

a3 (5 分) 6

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14.

1 3 ; ( ) (第一个空 2 分,第二个空 3 分) 2 8

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,其它解法,请仿此给分. 15.(本题满分 12 分) 解:∵f(x)的最小正周期为π , ∵ f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ∵0 ?? ?? , ∴

? ………………………………………8 分 4 3 12 ? (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得, f ( x) ? cos( 2 x ? ). 12 ? ? 2k? 时, ∴当 2k? ? ? ? 2 x ? 12 13? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 时,f(x)单调递增. 即 k? ? 24 24 13? ? , k? ? ], (k ? Z ) …………………………12 分 ∴f(x)的单调递增区间是 [k? ? 24 24
? 2? ?
∴? ? 16. (本题满分 14 分)

?

?

2? ? ? , ? ? 1 …………………………3 分 2? ? ? 1 ∴ f ( ) ? cos( ? ? ) ? 8 4 2 ? ? 5? ∴ ? ?? ? ……………………………5 分 4 4 4


(Ⅰ)证明:∵ ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱, ∴ AA 1 ?平面ABC, ∴ BE?AA1 ∵△ABC 是正三角形,E 是 AC 中点, ∴ BE?AC, ∴ BE?平面ACC1 A1 , …………………………………………………………4 分

(Ⅱ)证明:连 B1C, 设BC1 ? B1C ? D.

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∵ ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱, ∴ BCC1 B1 是矩形,D 是 B1C 的中点. ∵E 是 AC 的中点, ∴ AB1 ∥DE. ∵ DE ? 平面BEC1 , AB1 ? 平面BEC1 ∴ AB1 ∥平面 BEC 1 ………………………………………………………………8 分 (Ⅲ)解:作 CF?EC1于F , FG?BC1 于 G,连 CG. 由(Ⅰ)知,平面 BEC1?平面ACC1 A1 , ∴ CF?平面BEC1 ………………………………………………………………9 分 ∴FG 是 CG 在平面 BEC 1 上的射影. ∴根据三垂线定理得, CG?BC1 ∴∠CGF 是二面角 E ? BC1 ? C 的平面角……………………………………11 分

设 AB=a,∵

A1 A 2 2 ? , 则A1 A ? a. AB 2 2

在 Rt△ ECC1中, CF ?

EC ? CC1 6 ? a, EC1 6 BC ? CC1 3 ? a. BC1 3

在 Rt△ BCC1中, CG ?

在 Rt ?CFG 中,∵ sin ?CGF ?

CF 2 ,∴ ?CGF ? 45? . ? CG 2

∴二面角 E ? BC1 ? C 的大小是 45°.………………………………14 分 17. (本题满分 12 分) 解:设日销售金额为 y 元,则 y=P·Q……………………………………2 分
2 ? ?? t ? 20t ? 800, (1 ? t ? 24, t ? N ) ∴y?? 2 ? , (25 ? t ? 30, t ? N ) ?t ? 140t ? 4000

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2 ? ?? (t ? 10) ? 900, (1 ? t ? 24, t ? N ) 即y?? …………………………6 分 2 ? ?(t ? 70) ? 900, (25 ? t ? 30, t ? N )

当 1 ? t ? 24时, t ? 10, ymax ? 900;……………………………………8 分 当 25 ? t ? 30 时,函数g (t ) ? (t ? 70) 2 ? 900单调递减, ∴t=25 时, y max ? 1125…………………………………………10 分 ∴ y max ? 1125. ∴该商品销售金额的最大值为 1125 元,且近 30 天中第 25 天销售额最大.……12 分 18. (本题满分 14 分) (Ⅰ)证明:任取 x1 , x 2 ? ( ?? , ) ,且 x1 ? x 2 ,

1 a

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? loga (1 ? ax1 ) ? loga (1 ? ax2 ) ? loga

1 ? ax1 …………3 分 1 ? ax2



1 ? ax1 1 ? ax1 ? (1 ? ax2 ) a( x2 ? x1 ) ,…………5 分 ?1 ? ? 1 ? ax2 1 ? ax2 1 ? ax2
x1 ? x 2 ? 1 ,∴ 1 ? ax2 ? 0, a( x2 ? x1 ) ? 0 . a

∵ 0 ? a ? 1,



1 ? ax1 1 ? ax1 ? 1 ,∴ loga ? 0. 1 ? ax2 1 ? x2
1 a

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x)是(?? , ) 上的增函数.……………………8 分 (Ⅱ)解:[解法 1] ∵ 0 ? a ? 1,

∴ f ( x) ? 1 ? loga (1 ? ax) ? loga ? ? 解不等式(1)得, x ?

?1 ? ax ? 0 ?1 ? ax ? a

(1) ……………………11 分 (2)

1 , a 1? a 解不等式(2)得, x ? a 1? a 1 ? ∵0<a<1,∴ a a 1? a 1 ? x ? } ……………………………………14 分 ∴原不等式解集为 {x | a a 1 [解法 2] 函数 f(x)的定义域为 { x | x ? } ………………………………8 分 a

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1? a a 1 1? a 由(Ⅰ)知 f(x)是 (?? , ) 上的增函数,∴f(x)>1 时, x ? . a a 1? a 1 1? a 1 ? ,∴原不等式解集为. {x | ? x ? } ……………………13 分 ∵ a a a a
解方程 f(x)=1,得 x ? 19. (本题满分 14 分)

(Ⅰ)解:直线 l 方程为 y=x-2,将其代入 y 2 ? 2 px , 整理为, x 2 ? 2(2 ? p) x ? 4 ? 0 .①……………………2 分 ∵p>0,∴ ? ? 4(2 ? p) 2 ? 16 ? 0 . 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) . ∴ x1 ? x2 ? 4 ? 2 p, x1 ? x2 ? 4 .…………………………4 分 ∵|AB|,|BC|,|AC|成等比数列, ∴ | BC |2 ?| AB | ? | AC | . ∴ ( 2 | x2 ? x1 |) 2 ?
2

2 ( x1 ? 2) ? 2 ( x2 ? 2) ,

整理为, ( x1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 5x1 ? x2 ? 4 ? 0 . 将 x1 ? x2 ? 4 ? 2 p, x1 ? x2 ? 4 代入上式,解得 p=1. ∴抛物线方程 y 2 ? 2 x .………………………………7 分 (Ⅱ)解:假设在抛物线 y 2 ? 2 x 上存在点 D( x3 , y3 ) ,使得|DB|+|DC|成立, 记线段 BC 中点为 E( x0 , y0 ) . 则 | DB |?| DC |? DE?BC ? K DE ? ?

1 ? ?1 .………………10 分 K1

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当 p=1 时,①式成为 x ? 6 x ? 4 ? 0 . ∴ x0 ?

2

x1 ? x2 ? 3 , y0 ? x0 ? 2 ? 1 . 2

2 ? y3 ? 2x ? ∴点 D( x3 , y3 ) 应满足 ? y 3 ? 1 .…………………………12 分 ? x ? 3 ? ?1 ? 3

解得, ?

? x3 ? 2 ? x3 ? 8 或? . ? y 3 ? 2 ? y 3 ? ?4

∴存在点 D (2,2) 或(8,-4) ,使得|DB|=|DC|成立…………………………14 分 20. (本题满分 14 分) (Ⅰ)证明:用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, a1 ? b1 ? a ? (1 ? a) ? 1,命题成立;…………………………2 分 ②假设 n=k 时命题成立,即 ak ? bk ? 1 ,则当 n=k+1 时,

ak ?1 ? bk ?1 ? ak ? bk ?1 ? bk ?1 ?
∴当 n=k+1 时,命题也成立.

ak ? bk b b (1 ? ak ) b b ? k 2 ? k ? k ? k ? 1. 2 2 1 ? ak bk 1 ? ak 1 ? ak 1 ? ak

综合①、②知, an ? bn ? 1对 n ? N 恒成立.……………………7 分 (Ⅱ)解:∵ an?1 ? an ? bn?1 ? an ?

bn
2 1 ? an

?

an ? (1 ? an )
2 1 ? an

?

an , 1 ? an



1 ? an 1 1 1 1 ? ? ? 1,即 ? ? 1 .…………………………11 分 an?1 an an an?1 an
1 1 1 } 是公差为 1 的等差数列,其首项是 ? . an a1 a

∴数列 {



1 1 a .………………………………14 分 ? ? (n ? 1) ? 1, 从而a n ? a1 a 1 ? (n ? 1)a

[注: (Ⅰ) 、 (Ⅱ)两问独立给分]


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