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河北衡水中学2015-2016学年高一上学期数学试题


2013—2014 学年度第一学期高一年级考试 数学试卷
考试时间:120 分钟 总分:150 分

第Ⅰ卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 M= {x | y ? ln(1 ? x)} ,集合 N ? {? x, y? | y

? e , x? R}( e为自然对数的底数) ,则
x

M ?N= (
A. {x | x ? 1}

) B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. ?

2. 已知集合 A ? {2,0,1} ,集合 B ? {x || x |? a ,且 x ? Z } ,则满足 A ? B 的实数 a 可以取的一 个值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 )

3..设 a ? log2 3 , b ? log4 3 , c ? 0.5 ,则它们的大小关系是( A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b

4、已知 y ? f ( x) 是 R 上的增函数,令 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (3 ? x) ,则 F ( x ) 是 R 上的( A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增



5. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A.2 B.1 C.

2 3

D.

1 3

6.若函数 f ( x) ? (k ? 1)a x ? a ? x (a ? 0, a ? 1) 在 R 上既是 奇函数,又是减函数,则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是( )

7.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,

则 f (8.5) 等于( A. ?0.5 8.函数 y ? B. 0.5

) C. ?1.5 D. 1.5 )

lg | x | 的图象大致是( x

9. 已知函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? ln x ,则 f ( f ( A.
1 ln 2

1 )) 的值为( e2



B. ?

1 ln 2

C. ? ln 2

D. ln 2

10.下列说法中正确 的说法个数 为①由 1, .. ..

3 ,1.5, ?0.5 ,0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; 2

②定义在 R 上的函数 f ( x) , 若满足 f (0) ? 0 , 则函数 f ( x) 为奇函数; ③定义在 R 上的函数 f ( x) 满 足 f (1)? f ( 2) , 则 函 数 f ( x) 在 R 上 不 是 增 函 数 ; ④ 函 数 f ( x) 在 区 间 ( a ,b ) 上 满 足

f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 (a, b) 上有零点; (
A. 1 B. 2
x

) D. 4

C. 3

11.若 a>l,设函数 f(x)=a +x -4 的零点为 m,函数 g(x)= logax+x-4 的零点为 n,则 的最小值为( ) A.1 B.2

1 1 ? m n

C.4

D.8

12.已知 a , b 是方程 log 3 x 3 ? log 27 (3 x) ? ? A.

10 27

B.

4 81

4 的两个根,则 a ? b ? 3 10 28 C. D. 81 81





第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 . 14. 某三角形的直观图是斜边为 2 的等腰直角三角形,如图所示,则原三角形的面积是____ .

15. 里氏震级是由两位来自美国加州理工学院的地震学家里克特( C.F. Richter )和古登堡( B. Gutenberg) 于 1935 年提出的一种震级标度.里氏震级 M 的计算公式是 M ? lg A ? lg A0 .其中 A 是 被测地震的最大振幅, A0 是“标准地震”的振幅. 2011 年 3 月 11 日,日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震并引发海啸, 造成重大人员伤亡和财产损失. 一般里氏 6 级地震给人的震撼已十分强烈. 按照里氏震级 M 的计算公式,此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏 6 级地震最大振幅的 ________倍.

? 1 ,x ? 1 , ? 16.设定义在 R 上的函数 f ( x) = ? | x ? 1| 若关于 x 的方程 f 2 ( x ) + bf ( x ) +c=0 有 3 个不 ?1 x ? 1. ?,
同的实数解 x1 , x 2 , x3 ,则 x1 + x 2 + x3 = .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 设集合 A ? {x | 0 ? x ? m ? 2} , B ? x ? x ? 3x ? 0? ,分别求满足下列条件的实数 m 的取值范
2

?

围: (1) A ? B ? ? ; (2) A ? B ? B .

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 y ? (1)求 M ; (2)当 x ? M 时,求函数 f ( x) ? 2 log2 x ? a log2 x 的最大值。
2

2-x ? 2 x ? 2 的定义域为 M , 2? x

19.(本小题满分 12 分) 已知一个几何体的三视图如图所示。 (1)求此几何体的表面积; (2)如果点 P, Q 在正视图中所示 位置: P 为所在线段中点, Q 为顶点,求在几何体表面上,从 P 点到 Q 点的最短路径的长。

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 定义域为 ? ?1,1? ,若对于任意的 x, y ?? ?1,1? ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且

x ? 0 时,有 f ( x) ? 0 .
(1)证明函数 f ( x) 的奇偶性; (2)证明函数 f ( x) 的单调性;
2 (3)设 f (1) ?1 ,若 f ( x) < m ? 2am ? 1 ,对所有 x ?[?1,1], a ?[?1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范

围.

21.(本小题满分 12 分) 某地政府招商引资,为吸引外商,决定第一年产品免税 .某外资厂该年 A 型产品出厂价为每件 60 元,年销售量为 11.8 万件,第二年,当地政府开始对该商品征收税率为 p 0 0 (0 ? p ? 100 ,即销 售 100 元要征收 p 元)的税收,于是该产品的出厂价上升为每件

8000 元,预计年销售量将减 100 ? p

少 p 万件. (1) 将第二年政府对该商品征收的税收 y (万元)表示成 p 的函数,并指出这个函数的定义域; (2) 要使第二年该厂的税收不少于16 万元,则 p 的范围是多少? (3) 在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则 p 应为多少?

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x) ? e x ,其中 e 是自然数的底数, a ? R , (1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ;
x (2)当 a ? 0 时,试判断:是否存在整数 k,使得方程 f ( x) ? ( x ? 1) ? e ? x ? 2 在 [k , k ? 1]

上有解?若存在,请写出所有可能的 k 的值;若不存在,说明理由; (3)若当 x ? [?1,1] 时,不等式 f ( x) ? (2ax ? 1) ? e x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

高一理科二调数学测试题参考答案
1. D 2.D 3.A 4.B 13. 5.C 6.A 7.B 8. D 9.C 10.A 11.A 12.C

3 ? 3

14. 2 2 15. 1000

16.易知 f ( x) 的图象关于直线 x=1 对称. f 2 ( x ) + bf ( x ) +c

=0 必有一根使 f ( x) =1,不妨设为 x1 ,而 x 2 , x3 关于直线 x=1 对称,于是 x1 + x 2 + x3 =3. 17. 解:∵

B ? ? x x ? 0 或 x ? 3 ? , A ? {x | m ? x ? m ? 2} ?? 2 分

(1)当 A ? B ? ? 时,有 ? 解得 0 ? m ? 1 ∴

?m ? 0 , ?? 4 分 ?m ? 2 ? 3

m ? [0,1] ?? 6 分
解得 m ? 3 或 m ? ?2 ?? 10 分

(2)当 A ? B ? B 时,有 A ? B , 应满足 m ? 2 ? 0 或 m ? 3

18. 解: (1)函数 y ?

2-x ? 2 x ? 2 有意义,故: 2? x

?( x ? 2)(x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ?2?0 ? x ? ?2 解得: x ? [1,2] ??6 分 ?

(2)

f ( x) ? 2 log2 x ? a log2 x ,令 t ? log2 x , t ? [0,1]
2

可得: g (t ) ? 2t 2 ? at, t ?[0,1] ,对称轴 t ? ? 当?

a 4

a 1 ? , 即a ? ?2 时, g (t ) ? g (1) ? 2 ? a , g (t ) ? g (0) ? 0 4 2 a 1 当 ? ? , 即a ? ?2 时, ,??10 分 4 2
综上可得: f ( x) max ? ? 19. 解: (1)由三视图知:此几何体是一个圆锥加一个圆柱,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面 积和圆柱的一个底面积之和。

?2 ? a, a ? ?2 ??12 分 ? 0, a ? ?2

S圆锥侧 ?

1 ? 2? a ? ? 2

?

2a ? 2? a 2 , S圆柱侧 ? ? 2? a ? ? ? 2a ? ? 4? a2 , S圆柱底 ? ? a2 ,

?

所以 S表面 ?

2? a 2 ? 4? a 2 ? ? a 2 ?

?

2 ? 5 ? a 2 。??6 分

?

(2)沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面,如图。

B P A
则, PQ ?

C

Q

AP2 ? AQ2 ? a 2 ? ?? a ? ? a 1 ? ? 2
2

所以从 P 点到 Q 点在侧面上的最短路径的长为 a 1 ? ? 。??12 分
2

20. 解:(1)因为有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,所以 f (0) ? 0 , 令 y ? ?x 可得: f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 0, 所以 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为奇函数. (2)? f ( x) 是定义在 ? -1,1? 上的奇函数,由题意 ??4 分 ??1 分

设-1 ? x1 ? x2 ? 1, 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (?x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ,
由题意 x ? 0 时,有 f ( x) ? 0 .? f ( x2 ) ? f ( x1 )

? f ( x) 是在 ?-1,1? 上为单调递增函数;
(3)因为 f ( x) 在 ? ?1,1? 上为单调递增函数, 所以 f ( x) 在 ? ?1,1? 上的最大值为 f (1) ? 0 , 所以要使 f ( x) < m2 ? 2am ? 1 ,对所有 x, y ???1,1? , a ???1,1? 恒成立, 只要 m2 ? 2am ? 1 >1,即 m2 ? 2am >0, 令
2 ? g (?1) ? 0 ? ?2 m ? m ? 0 得? ,? m ? 2或m ? ?2 ??12 分 ? 2 ? ? g (1) ? 0 ?? 2 m ? m ? 0

??8 分

??9 分

??10 分

21. 解: (1)依题意,第二年该商品年销量为( 11.8 ? p )万件,年销售收入为 ( 11.8 ? p )

8000 100 ? p

万元, 政府对该商品征收的税收 y ?

8000 ( 11.8 ? p ) p 0 0 (万元). 100 ? p

故所求函数为 y ?

80 ( 11.8 ? p ) p . ?? 2 分 100 ? p
??4 分

由 11.8 ? p ? 0及 p ? 0 得,定义域为 ?p | 0 ? p ? 11.8? (2)解:由 y ? 16 得

80 ( 11.8 ? p ) p ? 16 ,化简得 p 2 ? 12 p ? 20 ? 0 , ?? 6 分 100 ? p

即 ( p ? 2)( p ? 10) ? 0 ,解得 2 ? p ? 10 , 故当 2 ? p ? 10 ,税收不少于16万元.?? 8 分 (3) 解:第二年,当税收不少于16万元时,厂家的销售收入为 g ( p ) ?

8000 ( 11.8 ? p ) 100 ? p

( 2 ? p ? 10 ) . ? g ( p) ?

8000 882 (11.8 ? p) ? 800(10 ? ) 在区间 [ 2,10] 上是减函数, 100 ? p p ? 100

? g ( p) max ? g (2) ? 800(万元) 故当 p ? 2 时,厂家销售金额最大. ?? 12 分
2 22. 解: (1) (ax ? x) ? e ? 0, 即 ax ? x ? 0 ,由于 a ? 0 ,所以 ax ( x ? ) ? 0

2

x

1 a

所以解集为 {x 0 ? x ? ? } ;?????????????2 分 (2)方程即为 e ? x ? 2 ? 0 ,设 h( x) ? e ? x ? 2 ,
x

1 a

x

由于 y ? e 和 y ? x ? 2 均为增函数,则 h( x) 也是增函数,
x

又因为 h(0) ? e ? 0 ? 2 ? ?1 ? 0 , h(1) ? e ? 1 ? 2 ? e ? 1 ? 0 ,
0 1

所以该函数的零点在区间 (0,1) 上,又由于函数为增函数,所以该函数有且仅有一个零点,所以
x 方程 e ? x ? 2 ? 0 有且仅有一个根,且在 (0,1) 内,所以存在唯一的整数 k ? 0 。????6 分

(3)当 x ?[?1,1] 时,即不等式 ax ? (2a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立,
2

①若 a ? 0 ,则 x ? 1 ? 0 ,该不等式满足在 x ?[?1,1] 时恒成立;??? 7 分 ②由于 ? ? (2a ? 1) ? 4a ? 4a ? 1 ? 0 ,
2 2

所以 g ( x) ? ax ? (2a ?1) x ?1 有两个零点,
2

? ? a ? 0, ? 若 a ? 0 ,则需满足 ? g ( ?1) ? 0, ? 2a ? 1 ?? ? ?1 ? 2a

?a ? 0 ? 即 ?a ? 0 ,此时 a 无解;????9 分 ? 2a ? 1 ? 2a ?

? ?a ? 0 ? a ? 0, ? 2 ? ③若 a ? 0 ,则需满足 ? g ( ?1) ? 0, ,即 ?a ? 0 ,所以 ? ? a ? 0 ?????11 分 3 ? g (1) ? 0 ? 2 ? ?a ? ? 3 ?
综上所述,a 的取值范围是 ?

2 ? a ? 0 。????????????12 分 3


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