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2013届广东省珠海市高三上学期期末质检数学文试题


珠海市 2012--2013 学年度第一学期期末学生学业质量监测 高三文科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 M ? (?1,??) ,集合 N ? ?x | x( x ? 2) ? 0? ,则 M ? N = A. [0,2] B. (0,??) C. (?1,0] D. (?1,0)
开 始 n=12, i=1

?a ? 2 2.已知 a,b 是实数,则“ ? ”是“ a ? b ? 5 ”的 ?b ? 3
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
是 n=3n+1

n 是奇数? 否 n n= 2 i=i+1 n=5? 否

3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A.4 B.5 C.6 D.7 4. 已知直线 l,m 和平面 α, 则下列命题正确的是 A.若 l∥m,m ? α,则 l∥α B.若 l∥α,m ? α,则 l∥m C.若 l⊥m,l⊥α,则 m∥α D.若 l⊥α,m ? α,则 l⊥m 5.已知是虚数单位,复数 A.

是 输出 i 结 束 (第 3 题图)

1 3 ? i 10 10

i = 3?i 1 3 B. ? ? i 10 10

C. ?

1 3 ? i 8 8

D. ?

1 3 ? i 8 8

6. 函数 y=sin (2x+ A.向左平移

π )的图象可由函数 y=sin 2x 的图象 4 π 个单位长度而得到 8 π D.向右平移 个单位长度而得到 4
B.向右平移

π 个单位长度而得到 8 π C.向左平移 个单位长度而得到 4

7.已知 、 均为单位向量, (2a ? b) ? (a ? 2b) = ?

3 3 , 与 的夹角为 2
D.150°

A.30°

B.45°

C.135°

8.在递增等比数列{an}中, a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则公比 q = A.-1 B.1 C.2 D.

1 2

第 1 页 共 9 页

?x ? y ? 5 ? 0 ? 9.若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
A.6 B.4

则 2x+4y 的最小值是 C. ? 2 D. ? 6

10.对于直角坐标平面内的任意两点 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,定义它们之间的一种“距离” : ‖AB‖= x1 ? x2 ? y1 ? y2 ,给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC 中,若∠C=90°,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2

D.3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题, 两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. (一)必做题(11-13 题) 11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) : 合唱社 高一 高二 45 15 粤曲社 30 10 20 人,结果合唱社 武术社

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 被抽出 人,则这三个社团人数共有_______________.

12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C=

?
3

,b ? 3 , y B A F
1

若△ABC 的面积为

3 3 ,则 c = 2



13.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,过 a 2 b2 F1 的直线与 C 的左、 右两支分别交于 A, B 两点. 若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双曲线的离心率为 .

O

F
2

x

(第 13 题 图)

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14 . (坐标 系与参数方程选做题 )在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 :

?x ? t ? 2 ? x ? 3 cos ? , (为参数)与曲线 C2 : ? ,( ? 为参数)相交 ? ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3 sin ?
于两个点 A 、 B ,则线段 AB 的长为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图,PAB、PCD 为⊙ O 的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于 .
第 2 页 共 9 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设向量 a= (2, sin ? ) ,b= (1, cos ? ) ,θ 为锐角. 13 (1)若 a·b= 6 ,求 sinθ+cosθ 的值; π (2)若 a∥b,求 sin(2θ+3)的值.

17. (本小题满分 12 分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等 级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率

2

3 0.15

4

5

0.05

m

0.35

n

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m, n ; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零 件等级恰好相同的概率.

18. (本小题满分 14 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图 为直角梯形, (1)求证: BC // 平面C1 B1 N ; (2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (3)求此几何体的体积. 4 8 主视图 8 4 4 俯视图 8

侧视图

第 3 页 共 9 页

19.(本题满分 14 分) 已知椭圆 : ,左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 ,上顶点 A(0, b) , ?AF1 F2

为正三角形且周长为 6. (1)求椭圆 的标准方程及离心率;

(2) O 为坐标原点,直线 F1 A 上有一动点 P ,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值.

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a?x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x 1 x ? 1 垂直,求 a 的值; 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ? (2)若函数 f ( x) 在区间[1,2]上的最小值为

1 ,求 a 的值. 2

21.(本题满分 14 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a n ?1 ?

an an ? 1

(n ? N *) .

(1)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; ? an ?

(2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; 2 ? an
n 2013

(3)设 P ?

?
i ?1

1 ? ai2 ? ai2?1 ,求不超过 P 的最大整数的值.

第 4 页 共 9 页

珠海市 2012~2013 学年第一学期普通高中学生学业质量监测

高三文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:CABDA 二、填空题: 11、150 12、 AACDB

7

13、 13

14、 4

15、 6

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 16. (本小题满分 14 分) 13 1 解: (1) 因为 a·b=2+sinθcosθ= 6 ,所以 sinθcosθ=6. 4 所以 (sinθ+cosθ)2=1+2 sinθcosθ=3. 2 3 又因为 θ 为锐角,所以 sinθ+cosθ= 3 . (2) 解法一 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 所以 sin2θ=2 sinθcosθ=
2 2

?????? 3 分

?????? 6 分 ?????? 8 分

2 sinθcosθ 2 tanθ 4 = = , sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 cos2θ=cos θ-sin θ= = =-5.?????? 10 分 sin2θ+cos2θ tan2θ+1 π 1 3 所以 sin(2θ+3 )=2sin2θ+ 2 cos2θ 4-3 3 1 4 3 3 =2×5+ 2 ×(-5 )= 10 . 解法二 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 2 5 5 所以 sinθ= 5 ,cosθ= 5 . 4 3 因此 sin2θ=2 sinθcosθ=5, cos2θ=cos2θ-sin2θ=-5. π 1 3 所以 sin(2θ+3 )=2sin2θ+ 2 cos2θ 4-3 3 1 4 3 3 =2×5+ 2 ×(-5 )= 10 . 17. (本小题满分 12 分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等 级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 ?????? 12 分 ?????? 10 分 ?????? 12 分 ?????? 8 分

2

3
0.15

4

5

0.05

m

0.35

n

(Ⅰ)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m, n ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零 件等级恰好相同的概率.
第 5 页 共 9 页

参考答案: (Ⅰ)解:由频率分布表得 即 m ? n ? 0.45 . 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个, 得 n?

0.05 ? m ? 0.15 ? 0.35 ? n ? 1,
??????2 分

2 ? 0.1 . 20

??????4 分 ??????5 分

所以 m ? 0.45 ? 0.1 ? 0.35 .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1 , x2 , x3 ;等级为 5 的零件有 2 个, 记作 y1 , y2 . 从 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为:

( x1 , x2 ), ( x1 , x3 ), ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ), ( x2 , x3 ), ( x2 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y1 ), ( x3 , y2 ), ( y1 , y2 )
共计 10 种. 记事件 A 为“从零件 ??????9 分 中任取 2 件,其等级相等”.

则 A 包含的基本事件为 ( x1 , x2 ), ( x1 , x3 ), ( x2 , x3 ), ( y1 , y2 ) 共 4 个. ??????11 分 故所求概率为 P ( A) ?

4 ? 0.4 . 10

??????12 分 三

18.解: (1)证明:? 该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角 角形,俯视图为直角梯形,? BA, BC , BB1 两两互相垂直。 ∵ BC // B1C1 , B1C1 ? 平面C1 B1 N , BC ? 平面C1 B1 N , ∴ BC // 平面C1 B1 N ?? 4 分 (2)连 BN,过 N 作 NM ? BB1 ,垂足为 M, ∵ B1C1 ? 平面ABB1 N , BN ? 平面ABB1 N , ∴ B1C1 ? BN ,? 5 分 由三视图知,BC=4,AB=4,BM=AN=4, BA ? AN , ∴ BN ?
2
2 2 2 2 4 2 ? 4 2 ? 4 2 , B1 N ? NM ? B1M ? 4 ? 4 = 4 2 ,? 6 分

∵ BB1 ? 8 ? 64, B1 N ? BN ? 32 ? 32 ? 64 ,
2 2

? BN ? B1 N ,?? 7 分
第 6 页 共 9 页

∵ B1C1 ? 平面B1C1 N,, 1 N ? 平面B1C1 N , B1 N ? B1C1 ? B1

? BN ? 平面C1 B1 N
(3)连接 CN,

?????? 9 分

1 1 1 32 ? 11 分 VC ? BCN ? ? BC ? S ?ABN ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 3 2 3
∴ 平面B1C1CB ? ANB1 B ? BB1 , NM ? BB1 , NM ? 平面B1C1CB , ∴ NM ? 平面B1C1CB ,

1 1 128 ? 13 分 ? NM ? S 矩形B1C1CB ? ? 4 ? 4 ? 8 ? 3 3 3 32 64 32 128 160 此几何体的体积 V ? VC ? BCN ? VN ? B1C1CB ? ?14 ? ? 32 V ? VC ? BCN ? V N ? B1C1CB ? ? ? 3 3 3 3 3 V N ? B1C1CB ?
分 19、(本题满分 14 分)

? a ? 2c ? 解: (Ⅰ)解:由题设得 ?a ? a ? 2c ? 6 ? a2 ? b2 ? c2 ?
解得: 故 的方程为 ,c ?1 ? 4分 离心率 e ?

?????? 2 分

. ??? 5 分

1 2

?? 7 分

(2)直线 F1 A 的方程为 y ?

3 ( x ? 1) ,?? 8 分

设点 O 关于直线 F1 A 对称的点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则

3 ? y0 ? ? 3 ? ?1 x0 ? ? ? ? 2 ? x0 ? (联立方程组正确,可得至 10 分) ?? ? ? y 0 ? 3 ( x0 ? 1) ? y ? 3 0 ? ? 2 ? 2 ?2
所以点 M 的坐标为

3 3 (? , ) 2 2

???????????? 11 分

∵ PO ? PM , PF2 ? PO ? PF2 ? PM ? MF2 ,? 12 分

3 3 | PF2 | ? | PO | 的最小值为 | MF2 |? (? ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 7 2 2

????? 14 分

第 7 页 共 9 页

20.解: f '( x) ?

1 ? x ? (a ? x) 1 a x ? a ? ? ? 2 ? 2 (x ?0) x x2 x x x

??????? 2 分

(1)因为曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ?

1 , x ? 1 垂直, 2

所以 f '(1) ? -2 ,即 1 ? a ? ?2, 解得a ? 3. ??????????????4 分 (2)当 0 ? a ? 1 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立, 这时 f ( x) 在[1,2]上为增函数

? f ( x) min ? f (1) ? a ? 1

???????????????6 分

当 1 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0 得, x ? a ? (1, 2) 对于 x ? (1, a ) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[1,a]上为减函数, 对于 x ? (a, 2) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[a,2]上为增函数,

? f ( x) min ? f (a ) ? ln a

?????????????8 分

当 a ? 2 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立, 这时 f ( x) 在[1,2]上为减函数,

? f ( x) min ? f (2) ? ln 2 ?

a ? 1 .?????????????10 分 2

于是,①当 0 ? a ? 1 时, f ( x) min ? a ? 1 ? 0 ②当 1 ? a ? 2 时, f ( x) min ? ln a ,令 ln a ? ③当 2 ? a 时, f ( x) min 综上, a ?

1 ,得 a ? e ?11 分 2 a 1 ? ln 2 ? ? 1 ? ln 2 ? ?12 分 2 2

e

???????????14 分

21、 【解】 : (1)由知得:

1 a n ?1

?

1 1 1 ? 1 ,即 ? ?1 an a n ?1 a n

所以数列 {

1 } 为首项为 1,公差为 1 的等差数列,??2 分 an

?

1 ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n an

第 8 页 共 9 页

从而 a n ? (2) bn ?

1 n
n

?????????????4 分

1 n ? n ??5 分 2 ? an 2

所 以

1 2 3 n + 2+ 3+ + n ? ? ? ? ? ①, 2 2 2 2 1 1 2 3 n Tn ? 2 + 3 + 4 + + n +1 ,?????② 2 2 2 2 2 Tn ?

由① ? ②,

1 1 1 1 得 Tn ? + 2 + 3 + 2 2 2 2
所以 Tn ? 2 ? (3)

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 n 2 ? n ? 1 ? ( 1 )n ? n ? 1 ? 2 + n . + n ? n +1 ? 2 1 2 2 2n +1 2 2n +1 2n +1 1? 2
?????????????????9 分

2+n . 2n

1? a2 ? a2 ? 1? n n ?1
?
2013

1 1 n 2 (n ? 1) 2 ? ( n ? 1) 2 ? n 2 ? ? n 2 (n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2

n(n ? 1) ? 1 1 1 1 ?1? ?1? ? , ??11 分 n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1

P?

?
i ?1

1 ? ai2 ? ai2?1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) 1 2 2 3 3 4 2013 2014 1 ? 2014 ? 2014
所以,不超过 P 的最大整数为 2013. ????????????14 分

第 9 页 共 9 页


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