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浙江省台州中学2016届高三上学期第三次统练文科数学


台州中学 2015 学年第一学期第三次统练试题 高三 数学(文科)

命题人:洪武定 审题人:李超英 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.21 世纪教育网版权所有 1.已知集合 A ? {1 , 2} , B ? {2a ? 1a ? A} ,则 A ? B ? A. ?1? B.

?1, 2? ( ) D. ? )

C. ?1, 2,3?

2.设 Sn 为等差数列 {an } 的前n 项和,若 a3 ? 3, S9 ? S6 ? 27 ,则该数列的首项 a1 等于(

6 3 B. ? 5 5 3.已知 0 ? a ? 1, loga m ? loga n ? 0 ,则( A. 1 ? n ? m B. 1 ? m ? n
A. ? 4.对于不重合的两平面 ? , ? ,给定下列条件: ①存在平面 ? ,使得 ? , ? 都垂直于 ? ; ③存在直线 l ? ? , m ? ? , 使得l // m ;

C. )

6 5

D.

3 5

C. m ? n ? 1

D. n ? m ? 1

②存在平面 ? ,使得 ? , ? 都平行于 ? ;

④存在异面直线 l , m, 使得l // ? , l // ? , m // ? , m // ? 其中可以判定 ? , ? 平行的条件有( A. 1 个 B. 2 个 ) C.3 个 D.4 个

5.在 Rt ?ABC 中,已知 AC ? 4, BC ? 1 , P 是斜边 AB 上的动点(除端点外),设 P 到两直角边的距离 分别为 d 1 , d 2 ,则

1 1 的最小值为( ? d1 d 2
B.

)www.21-cn-jy.com

A.

5 4
a1 a2 a3 a 4

3 2

C.

9 4
sin 2 x cos 2 x 3 1

D.

5 2

2· 1· c· n· j· y

6.定义行列式运算

= a1a4 ? a2 a3 .将函数 f ( x) ?

的图象向左平移

? 个单位,以下是所 6

得函数图象的一个对称中心是 ( A. (

)【来源:21·世纪·教育·网】

?
4

, 0)

B. (

?
2

, 0)

C. (

?
3

, 0)

D. (

? , 0) 12

1

y 7. 已知 P( x, y) 是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,

PA、PB 是圆 C:x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,A、B
是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为 ( )21·世纪*教育网 A.3 A O

C B x P Kx+y+4=0

21 B. 2
D.2

C. 2 2

? ?? ? ? ? 8. 已知平面向量 a, b, c 满足 c ? xa ? yb( x, y ? R ) ,
且 a?c ? 0 ,b?c ? 0 . A. 若 a ? b ? 0 ,则 x ? 0 , y ? 0 C. 若 a ? b ? 0 ,则 x ? 0 , y ? 0

第 7 题图

? ?

? ?

? ?

B. 若 a ? b ? 0 ,则 x ? 0 , y ? 0 D. 若 a ? b ? 0 ,则 x ? 0 , y ? 0

? ?

? ?

? ?

二、填空题:本大题 7 小题,9-12 题每空 3 分,13-15 每空 4 分,共 36 分,把答案填在题中的横线上. 9 . 已 知 直 线 l1 : y ? ax ? 2a 与 直 线 l2 : ay ? (2a ?1) x ? a , 若 l1 / / l2 , 则 a =_________; 若 l1 ? l2 则

a =___________________.2-1-c-n-j-y ? 10 .设函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ) ,则该函数的最小正周期为 6
为 .
21*cnjy*com

, f ( x) 在 [0,

?
2

] 的最小值

11.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b ? a b ? a ? b, a、 b ? R ? .若 1? k ? 3 ,则函数 f ? x ? ? k ? x 的定 义域是_______________,值域是_________________.【来源:21cnj*y.co*m】 12.设 a , b , e 为平面向量,若 e ? 1 , a ? e ? 1, b ? e ? 2 , a ? b ? 2 ,则 a ? b 的最小值为 ,

a ? b 的最小值为

.【出处:21 教育名师】

C 的两个焦点, 13. 已知 F 过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A、B 两点,且 AB ? 3, 1 (?1,0), F 2 (1,0) 是椭圆
则 C 的方程为_______________________.【版权所有:21 教育】 14.已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 作双曲线 C 的一条 a 2 b2

渐近线的垂线,垂足为 H,交双曲线于点 M 且 F2 M ? 2MH ,则双曲线 C 的离心率为 15.对一切实数 x ,所有的二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? b) 的值均为非负实数,则
2

?????

???? ?

.

b?a 的最大值 a?b?c

是____________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
2

?ABC 中, 16. (本小题满分 14 分) 内角 A,B, C 的对边分别是 a, b, c , 已知 a, b, c 成等比数列, 且 cos B ?
c 的值; a ??? ? ??? ? 3 (2)设 BA ? BC ? ,求 a ? c 的值. 2
(1)求

3 . 4

2 ? 17. (本小题满分 15 分)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 且

a1 ? 1 .
(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转 6 得到 Rt△ AOC ,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角,动点 D 在斜边 AB 上。21 教育网 A (1)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; 1 (2)当 AD ? DB 时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值; 2 (3)求 CD 与平面 AOB 所成最大角的正切值. D
18、(本小题满分 15 分)在 Rt△ AOB 中, ?OAB ?

O C
19. (本小题满分 15 分) 已知抛物线 C : x2 ? 4 y ,过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点( A 在第一象限). (1)当 S?OFA ? 2S?OFB 时,求直线 l 的方程; (2)过点 A(2t , t ) 作抛物线 C 的切线 l1 与圆
2

B

Y

x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 交于不同的两点 M , N ,
设 F 到 l1 的距离为 d ,求

MN 的取值范围. d

B

F
O

A
X

21cnjy.com

3

20、 (本小题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b, a, b ? R . (1)当 a ? 2 时,记函数 | f ( x) | 在[0,4]上的最大值为 g (b) ,求 g (b) 的最小值; (2)存在实数 a ,使得当 x ? [0, b] 时, 2 ? f ( x) ? 6 恒成立,求 b 的最大值及此时 a 的值.

台州中学 2015 学年第一学期第三次统练参考答案 高三 数学(文科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.D 8.Awww-2-1-cnjy-com 二、填空题:本大题 7 小题,9-12 题每空 3 分,13-15 每空 4 分,共 36 分,把答案填在题中的横线上.

a ? 0, 9. a ? 1 ,

1 ? 10. ? , 2
15.

11. [0, ??) ; ?1, ? ??

5 12. 3 , 4

x2 y 2 ? ?1 13. 4 3

14.

5

1 3 21 教育名师原创作品

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
4

16.(1)因为 a , b , c 成等比数列,所以 b2 ? ac 由余弦定理可知: cos ? ?

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 1 ? c a ? ? ? ? ? ? 1? 2ac 2ac 2?a c ?

又 cos ? ?

3 c 1 1? c a ? 3 ,且 ? ? ? 1? ? ,解得 ? 2 或 4 a 2 2?a c ? 4 ???? ??? ? 3 3 c 1 ,所以 ca cos ? ? ,所以 ca ? 2 ,又 ? 2 或 ,于是 c ? a ? 3 2 2 a 2
2 ? 由 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 得 a2 ? 3

(2)因为 ?? ? ? C ?

17.(1)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,

2 2 2 当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列. ?

?an ? 是首项 a1 ? 1,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(2)

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
18. (1)由题意, CO ? AO , BO ? AO , ??BOC 是直二面角 B ? AO ? C 的平面角,………2 分 ? CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,

? CO ? 平面 AOB , 又 CO ? 平面 COD . ………5 分 ? 平面 COD ? 平面 AOB . (2)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图),则 DE ∥ AO , ??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. ………6 分 1 2 在 Rt△COB 中,易得 CO ? BO ? 2 , OE ? BO ? , 3 3

A

D

? CE ? CO 2 ? OE 2 ?

2 10 2 4 3 .又 DE ? AO ? . 3 3 3 CE 30 ? . DE 6
O C
5

E

B

? 在 Rt△CDE 中, tan?CDE ?

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值为
(3)由(I)知, CO ? 平面 AOB ,

30 . 6

………10 分

??CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角,且 tan ?CDO ?
当 OD 最小时, ?CDO 最大, 这时, OD ? AB ,垂足为 D , OD ?

OC 2 ? . OD OD
………12 分 21· cn· jy· com

OA ? OB 2 3 ? 3 , tan ?CDO ? , AB 3

? CD 与平面 AOB 所成最大角的正切值为

2 3 .………15 分 3

19.(1)因为 S?OFA ? 2S?OFB ,故 AF ? 2 FB

? x1 ? ?2 x2 x12 x2 2 ? ) , A( x2 , ) ,则 ? x 2 设 A( x1 , 故 x2 2 ? 2 则 A(2 2, 2) x2 2 1 4 4 ? 1) ? ? 1 ? 2( ? 4 4
因此直线 l 的方程为 y ? (2)由于 y ?

2 x ?1 4

x x2 2 2 ,因此 y ' ? 故切线 l1 的方程为 y ? t ? t ( x ? 2t ) ,化简得 tx ? y ? t ? 0 2 4

则圆心(0,-1)到 l1 的距离为 d1 ?

|1 ? t 2 | t ?1
2

,且 d1 ? 1,故 0 ? t ? 3
2

则 | MN |? 2 1 ? d1 ? 2 | t |
2

3 ? t2 ,则点 F 到 l1 距离 d ? t 2 ?1 2 t ?1



MN d

?2

3t 2 ? t 4 t 4 ? 2t 2 ? 1
m ? 5t 2 ? 1? (1,16)
Y

3t 2 ? t 4 5t 2 ? 1 25m ? ?1 ? 4 ? ?1 ? 2 今z? 4 2 2 t ? 2t ? 1 t ? 2t ? 1 m ? 8m ? 16

25 9 则 z ? ?1 ? ? (0, ] , 16 16 m? ?8 m


MN 3 ? (0, ] d 2

B

F
O

A
X

6

20. (1)当 a ? 2 , f ( x) ? x2 ? 2x ? b ,对称轴为 x0 ? 1 . 所以 f ( x)的最大值g(b)= max{| f (1) |,|f (4) |} ? ? 所以 g (b) 的最小值为

?| b? 1|,| b ? 1|?| b ? 8 | . ?| b ? 8 |,| b ?1|?| b ? 8 |

9 . 2

7

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