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高三数学基础知识专题训练(含答案)


高三数学基础知识专题训练 01
一、考试要求 内 集合及其表示 子集 集合 二 .考点回顾
1、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: (3)常用数集的符号表示:自然数集 (4)集合的表示法: 、 、 、 ;有理数集 、实数集 。 (2)集合与元素的关系用符号 ∈ , ? 表示。 ;正整数集;整数集 、



等级要求 A √ √ √ B C

交集、并集、补集

注 意 : 区 分 集 合 中 元 素 的 形 式 : 如 : A = {x | y = x 2 + 2 x + 1} ; B = { y | y = x 2 + 2 x + 1} ;

C = {( x, y ) | y = x 2 + 2 x + 1} ; D = {x | x = x 2 + 2 x + 1} ;
(5)空集是指不含任何元素的集合。 ( {0} 、 φ 和 {φ } 的区别;0 与三者间的关系) 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。(注意:

A ? B ,讨论时不要遗忘了 A = φ 的情况。)

2、集合间的关系及其运算 (1)符号“ ∈,? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ; 符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

(2)

A ? B = {____________________} ; A ? B = {_______________________} ;
CU A = {____________________}

(3)对于任意集合 ①

A, B ,则:

A ? B ___ B ? A ; A ? B ___ B ? A ; A ? B ___ A ? B ;
A? B = A ? CU A ? B = U ?




A? B = A ?
; CU

; ;

A? B =φ ?

3、集合中元素的个数的计算: 若集合

A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有


非空真子集的个数是

三.基础训练 1. A= { x ( x ? 1) < 3 x ? 7} ,则 A ? Z 的元素的个数
2



1

2. 满足 {a} ? M ? {a, b, c, d } 的集合 M 有



3、集合 A = {x | ax + (a ? 6) x + 2 = 0} 是单元素集合,则实数 a=
2

4. 集合 A {3, = = 2 }, B {a, b}, = 若则 A ? B {2}, = A? B {
a

}.

5. 已知集合 A = {x | y = 1 ? x , x ∈ Z } , B = { y | y = 2 x ? 1, x ∈ A} ,则 A ? B =
2

6. 已知集合 A = {x | y = 2 x + 1} , B = { y | y = x 2 + x + 1} ,则 A ? B 等于 A. {(0,1), (1,3)} B.R C. (0,+∞)
x





3 D. [ ,+∞) 4

,则 M ? N = 7. 已知集合 M= {x = | y lg(1 ? x)} ,集合 N = { y | y = e , x ∈ R}(e 为自然对数的底数)

8. 已知集合 M = {0,1,2}, N = {x | x = 2a, a ∈ M }, 则集合M ? N 等于

9. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另外 500 名未用血清的人 一年中的感冒记录作比较,提出假设 H 0 :“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用 2 × 2 列联表计算
得 K 2 ≈ 3.918 ,经查对临界值表知 P ( K 2 ≥ 3.841) ≈ 0.05 . 对此,四名同学做出了以下的判断: 1:有 95% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

2:若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95% 的可能性得感冒 3:这种血清预防感冒的有效率为 95%
4:这种血清预防感冒的有效率为 5% 则正确结论的序号是 10 设函数 f ( x) = A.(-∞,1)

x?a ,集合 M= {x | f ( x) < 0} ,P= {x | f ' ( x) > 0} ,若 M P,则实数 a 的取值范围是 ( x ?1
C.(1,+∞) D. [1,+∞)

)

B.(0,1)

2

高三数学基础知识专题训练 02
一、 考试要求 内 容 A √ √ √ √ 等级要求 B C

常用 逻辑 用语

命题的四种形式 全称量词与存在量词 简单的逻辑联结词 必要条件、充分条件、充分必要条件

二 考点回顾
1、

A = {x | x 满足条件 p} , B = {x | x 满足条件 q} ,
若 若 ;则 ;则

p 是 q 的充分非必要条件 ? A _____ B ; p 是 q 的必要非充分条件 ? A _____ B ;


2、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 注意: “若 ?p 如 :“ sin α

? ?q ,则 p ? q ”在解题中的运用,
”是“ α

≠ sin β

≠ β ”的

条件。

3.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的” 、 “任意一个”等,用 ? 表示; 全称命题 p: ?x ∈ M , p ( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ∈ M , ?p ( x) 。 ⑵存在量词--------“存在一个” 、 “至少有一个”等,用 ? 表示; 特称命题 p: ?x ∈ M , p ( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ∈ M , ?p ( x) ; 4. (1)要理解“充分条件” “必要条件”的概念:当“若 p 则 q”形式的命题为真时,就记作 p ? q,称 p 是 q 的充分条件,同时称 q 是 p 的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. “等价于” , “当且仅当” , (2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“ ? ”要熟悉它的各种同义词语: “必须并且只需” , “……,反之也真”等. (3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据,又 是概念所具有的性质. (4)从集合观点看,若 A ? B,则 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A、B 互为充要 条件. (5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条 件的必要性). 三.基础训练 1. 已知命题 p : ?x ∈ R , 2 > 0 ,则 ?p :
x

2. 命题“ ?x ∈ R, x + 2 x + 2 ≤ 0 ”的否定是
2

3. 命题“ ?x < 0 ,有 x 2 > 0 ”的否定是


3

4. 若命题“ ? x∈R,使 x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为

.

5. 若命题“ ?x ∈ R ,使得 x 2 + (a ? 1) x + 1 < 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是

.

6. 命题 p : a ∈ = M {x | x ? x < 0} ;命题 q : a ∈ N = {x || x |< 2}, p 是 q 的
2

条件.

7. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数, 且满足 f (1 + x) = f (1 ? x) , 则 “ f ( x) 为偶函数” 是 “2 为函数 f ( x) 的一个周期”的 条件

8. 已知非零向量 a, b, c, 则 a ? b = a ? c 是 b = c 的

条件

0 和直线 3 x + my + 3 = 9. m=-1 是直线 mx + (2m ? 1) y + 1 =
10 设 f ( x) , g ( x) 是定义在 R 上的函数, h = ( x) 为偶函数”的 条件

0 垂直的

条件

f ( x) + g ( x) ,则“ f ( x) , g ( x) 均为偶函数”是“ h( x)

附加题: 1 已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件。现 有下列命题:① s 是 q 的充要条件;② p 是 q 的充分条件而不是必要条件;③ r 是 q 的必要条件而不是充 分条件;④ ?p是?s 的必要条件而不是充分条件;⑤ r 是 s 的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号 是

2.设 p:f(x)=ex+In x+2x2+mx+l 在(0,+∞)内单调递增,q:m≥-5,则 p 是 q 的 条件

4

高三数学基础知识专题训练 03
一、考试要求

函数 内 容 概念 与 基 函数的有关概念 本初 等 函 函数的基本性质 数
二 .考点回顾
1、函数的概念 2、函数的三要素: (1)函数解析式的求法: , , 。

等级要求 A B √ √ C



①定义法(拼凑) :②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ①

y=

f ( x) ; g ( x)



y = 2 n f ( x) (n ∈ N * ) ;③ y = [ f ( x)]0 ;



y = log f ( x ) g ( x) ;

(3)函数值域的求法; ①配方法:②分离常数法(或求导)如:

y=

ax + b , x ∈ (m, n) ;④换元法;⑤三角有界法; cx + d

⑥基本不等式法;⑦单调性法; ⑧数形结合等; 3、函数的性质: (1)单调性:定义() ;注意定义是相对与某个具体区间而言。判定方法:定义;导数;复合函数和图像。 (2)奇偶性:定义( );注意区间是否关于原点对称,比较 f(x) 与 f(-x)的关系。 f(x) -f(-x)=0 ? f(x) =f(-x) f(x)+f(-x)=0 ? f(x) =-f(-x) 4、函数图像变换: (1)平移变换

? f(x)为偶函数 ? 图像 ? f(x)为奇函数 ? 图像

关于()对称; 关于()对称。

(3)周期性:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期(T 为非零常数) ; (2)对称变换 ; (3)伸缩变换

三.基础训练
1、函数

y = ? ( x) 的图象与直线 x = a 交点的个数为

个。

2.函数 f(x)=(x-1)

1+ x 的奇偶性___; 1? x

a 2x + a ? 2 · 为奇函数,则实数 a =____ f ( x) = 2x + 1
3.已知函数 f ( x) = log a ( x + 2ax + 1) 的定义域为 R,则 a 的取值范围是
2

5

4.已知函数 f ( x) = log a ( x + 2ax + 1) 的值域为 R,则 a 的取值范围是
2



5、当 x ∈ (0,2] 时,函数 f ( x) = ax + 4( a + 1) x ? 3 在 x = 2 时取得最大值,则 a 的取值范围是___;
2

( 1) y = 2 x + 1 + 6、

x ? 1 的值域为_____;

(2)求 y =

x2 + x + 1 的值域; x +1

7、 (1)已知 f (1 ? cos x) = sin x, 求 f x
2

( ) 的解析式
2

(2)若 f ( x ?

1 1 ) = x 2 + 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____ x x

(4)已知 f ( x) + 2 f (? x) = 3 x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式

(5)已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) =

1 ,则 f ( x ) = x ?1

__

6

高三数学基础知识专题训练 04
一、考试要求

函数 内 容 概念 与 基 指数与对数 本初 等 函 指数函数的图象和性质 数
对数函数的图象和性质 二 .考点回顾
1.指数函数:

等级要求 A B √ √ √ C

y = a x (a > 0, a ≠ 1)

x

指数运算法则: 指数函数:y= a





(a>o,a≠1),图象恒过点(0,1) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种

情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 2.对数函数:

y = log a x(a > 0, a ≠ 1)
; ; ;

指数运算法则: 对数函数:y= log a

x

(a>o,a≠1) 图象恒过点(1,0) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两

种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 注意: (1)

y = a x 与 y = log a x 的图象关系是



(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时转化为同底数的指数或对数, 还要注意与 1 比较或与 0 比较。

三.基础训练 1.已知函数f (x)=log2(x+1),若-1<a<b<c,且abc≠0,则
f (b) f (a) f (c ) 、 、 的大小关系是 b a c



2.若方程 4 x + (4 + a) ? 2 x + 4 = 0 有解,则实数 a 的取值范围是



3 . 已 知 奇 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 (?∞,0) ? (0,+∞) , 且 对 任 意 正 实 数 x1、x 2 ( x1 ≠ x 2 ) , 恒 有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0 ,则一定有( x1 ? x 2
A. f (cos 600?) ? f (log 1 3 2)
2

) B. f (cos 600?) ? f (? log 1 3 2)
2

C. f (? cos 600?) ? f (log 1 3 2)
2

D. f (? cos 600?) ? f (? log 1 3 2)
2

7

4.函数 y=2

x +1

-4 的最大值是

x

5.已知 f ( x) =

1 +m 是奇函数,则 f (?1) = 3 +1
x

6.已知 1<x<10,试比较(lgx) ,lgx

2

2

,lg(lgx)的大小关系是

7.函数 y=(log 1 x) + log 1 x 的单调递减区间是
3 3

2

8.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f ( x) =log 3 (1+x),则 f (?2) =

9.已知 y=4 -3*2 +3 的值域为[1,7],则 x 的取值范围为

x

x

10.函数 y = log a ( x ? 1) + 1 (a > 0,且a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在一次函数 y = mx + n 的图象 上,其中 mn > 0 ,则

1 2 + 的最小值为 m n



8

高三数学基础知识专题训练 05
一、考试要求

函数概念 内 容 与基本初 等函数 幂函数
函数与方程

等级要求 A √ √ B C

二 .考点回顾
1 常用的初等函数: (1)一元一次函数:

y = ax + b(a ≠ 0) ,当 a > 0 时,是增函数;当 a < 0 时,是减函数;
y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ;对称轴方程是
;与 x 轴的交点为 ;顶点为 ; ;顶点为 ; ;

(2)一元二次函数:一般式: 两点式:

y = a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ;对称轴方程是

顶点式:

y = a( x ? k ) 2 + h ;对称轴方程是
> 0 时:
为增函数;

①一元二次函数的单调性: 当a 为减函数;当 a

< 0 时:

为增函数;

为减函数;

②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则

y = a( x ? k ) 2 + h 的形式,

a > 0 时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a < 0 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则

a > 0 时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a < 0 时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
有三个类型题型:(1)顶点固定,区间也固定。如:

y = x 2 + x + 1, x ∈ [?1,1]

(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数. ③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 根的情 况 等价命 题 充要条 件 注意:若在闭区间 [ m, n] 讨论方程 结果,在令 x

y = x 2 + x + 1, x ∈ [a, a + 1]

f ( x) = ax 2 + bx + c = 0 的两根为 x1 , x 2 ;则: x1 < k < x 2
在区间 ( k ,+∞) 或 ( ?∞, k ) 有一根

x1 ≥ x 2 > k
在区间 ( k ,+∞) 上有两根

x1 ≤ x 2 < k
在区间 ( ?∞, k ) 有两根

f ( x) = 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根分布的情况,得出

= n 和 x = m 检查端点的情况。
9

三.基础训练

1.用“<”或“>”连结下列各式:0.32

0.6

0.34

0.5

,0.8

?

2 5

0.6

?

2 5



2.已知 0<a<b<1,则 a ,a ,b ,b 中的最大值是 M=

a

b

a

b

最小值是 m=

3.函数 y =x

?

3 4

在区间上

是减函数。

4.下列命题:①幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数; ②图象不经过点(-1,1)的幂函数一定不是偶函数; ③如果两个幂函数的图象具有三个公共点,那么这两个幂函数相同; ④幂函数 y=x 的图象不可能在第四象限内。其中正确的题号是 5.若关于 x 的一元二次方程 x -11x+a+30=0 的两个根均大于 5,则实数 a 的取值范围是
2

α

6.若关于 x 的方程 4 +a*2 +4=0 有实数解,则实数 a 的取值范围是

x

x

7.已知 0<a<1,则方程 a

x

= log a 的实根个数是

x

8.设 x 1 ,x 2 分别是 log 2 x=4-x,和 2 +x=4 的实根,则 x 1 + x 2 =

x

9.函数 y=x 定义域 ,单调减区间

4 5

,值域 。

,奇偶性

,单调增区间

10.设方程 x+lgx=10 的根为 a,则 a∈

(两个连续整数之间)

10

高三数学基础知识专题训练 06
一、考试要求

不等 式 基本不等式
二 .考点回顾
一、不等式的基本性质: ①若 ab>0,则





等级要求 A B C √

1 1 > 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象) ,直接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 a, b 基本变形:① a + b

> 0 ,则



a+b ≥ ab (当且仅当 a = b 时取等号) 2 a+b 2 ;( ; ) ≥ 2
2

②若 a, b ∈ R ,则 a 基本应用:①放缩,变形;

+ b 2 ≥ 2ab ,

a2 + b2 a+b 2 ≥( ) 2 2

②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 当 ab

= p (常数) ,当且仅当
,当且仅当 = S (常数)

时, 时,

; ;

当a +b 三、常用的基本不等式: (1)设 a, b ∈ R ,则 a (2) | a |≥ (3) a
2

常用的方法为:拆、凑、平方;

≥ 0, (a ? b) 2 ≥ 0 (当且仅当
时取等号) ; | a |≥

时取等号) 时取等号)

a (当且仅当

?a (当且仅当


> b, ab > 0 ?

1 1 1 1 < ; < ? a b a b

四、证明不等式常用方法: (1)比较法;2)综合法;3)分析法; (4)反证法; (5 构造法:通过构造函数、方程、数列、 向量或不等式来证明不等式;

三.基础训练 1.有三个条件: (1)ac2>bc2;(2) A.0 B.1
2

C.2

a b > ;(3)a2>b2,其中能分别成为 a>b 的充分条件的个数有( c c
D.3



2.-4<k<o 是函数 y=kx -kx-1 恒为负值的___________条件 3.已知 a,b ∈ R ,且满足 a+3b=1,则 ab 的最大值为___________________. 4.不等式 (k ? 1) x + 2( k + 1) x + 1 > 0 对于 x ∈ R 恒成立,则实数 k 的取值范围是
2 2

11

5.函数 f ( x) =

x 2 + 2x + 2 ( x > ?1) 的图象的最低点的坐标是 x +1



6.已知正实数 x, y 满足

1 2 + = 1 ,则 x + 2 y 的最小值为_________________。 x y

7.设实数 a, b, x, y 满足 a 2 + b 2 = 1, x 2 + y 2 = 3 , 则 ax + by 的取值范围为____________。

8.关于 x 的不等式 | x ? log 1 x |< x + | log 1 x | 的解集为
2 2



9.若 a > 1 , 0 < b < 1 ,且 a log

b

( 2 x ?1)

> 1 ,则实数 x 的范围是



10.若不等式 (?1) n a < 2 +

(?1) n +1 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 n

附加题

:1.设 x > 0, y < 0, x ?= y

1 1 1, 则 ? 的最小值为 x y

2. 设 x≥0, y≥0,

x2+

y2 2 =1,则 x 1 + y 的最大值为__ 2

3、若 x > ?3 ,则 x +

2 的最小值为 x+3

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高三数学基础知识专题训练 07
一、考试要求 内 容 等级要求 A B C √ √

不等 一元二次不等式 式
线性规划 二 .考点回顾
1)一元一次不等式: Ⅰ、 ax Ⅱ、 ax

> b(a ≠ 0) :⑴若 a > 0 ,则

;⑵若 a ;⑵若 a

< 0 ,则




< b(a ≠ 0) :⑴若 a > 0 ,则

< 0 ,则

(2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零; 注:要对 ? 进行讨论: (7)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的解集,在求交集中, 通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。 (8)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时, 需要考虑相应的二次函数的开口方向, 对应的一元二次方程根的状况 (有时要分析△) , 比较两个根的大小,设根为 x1 , x 2 (或更多)但含参数,要分 x1

> x 2 、 x1 = x 2 、 x1 < x 2 讨论。

三.基础训练 1.实系数一元二次方程 x 2 ? ax + 2b = 0 的两根分别在区间 (0,1) 和 (1,2 ) 上,则 2a + 3b 的取值范围是

2.不等式 x -3 x -10>0 的解集为

2

3.若不等式 ax +bx+c>0 的解集是{x∣x<1 或 x>3},则 a:b:c=

2

13

4.已知集合 A={x∣x -2x-3>0},B={x∣x +ax+b≤0},若 A∪B=R,A∩B={x∣3<x≤4},则 a= ,b=

2

2

5.已知不等式 ax -bx+c>0 的解集为(-

2

1 ,2) ,对 a,b,c 有以下结论: 2

①a>0②b>0③c>0④a+b+c>0⑤a-b+c>0 其中正确的结论的序号是

6.若不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 成立,则 a 的取值范围是

2

7.若关于 x 的方程 x +ax+ a -1=0 有一正根和一负根,则 a 的取值范围为

2

2

8.附加题:已知函数 f(x)=x -4x+3,集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合 N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则 集合 M∩N 的面积是

2

9.已知四个点 A(0,2) ,B(-2,0) ,C(0,-2) ,D(2,0) ,其中位于 ? 内的点是

?x + y ? 1 < 0 ,表示的平面区域 ?x ? y + 1 > 0

?x + y ≥ 2 ? 10.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ≤ 2 ,则 z=2x-y 的取值范围是 ?0 ≤ y ≤ 3 ?

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高三数学数学基础训练 08
内 容 等级要求 A B √ √ √ C

三角函数的有关概念 1.三角函数 删减内容 同角三角函数的基本关系式 正弦、余弦的诱导公式 任意角的余切、正割、余割;反三角函数

考点回顾 1、 角的概念的推广: 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫 角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个 角。射线的 角,按顺时针方向旋转所形成的角叫 起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念: 在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限, 任何象限。 就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角 3. 终边相同的角的表示: (1) α 终边与 θ 终边相同( α 的终边在 θ 终边所在射线上) ? , 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. (2) α 终边与 θ 终边共线( α 的终边在 θ 终边所在直线上) ? . (3) α 终边与 θ 终边关于 x 轴对称 ? (5) α 终边与 θ 终边关于原点对称 ? (7) α 终边在 y 轴上的角可表示为: 4、 α 与 α 的终边关系: (4) α 终边与 θ 终边关于 y 轴对称 ? . (6) α 终边在 x 轴上的角可表示为: (8) α 终边在坐标轴上的角可表示为:

2

由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 α 是第二象限角,则 5.弧长公式: l = ,扇形面积公式: s = 6、任意角的三角函数的定义:

α
2

是第_____象限角 ,

设 α 是 任 意 一 个 角 , P ( x, y ) 是 α 的 终 边 上 的 任 意 一 点 ( 异 于 原 点 ) ,它与原点的距离是

r=

x 2 + y 2 > 0 ,那么 sin α =

, cos α =

, tan α = 躺

, ( y ≠ 0) 。

注:三角函数值与角的大小 关,与终边上点 P 的位置 关。 7.三角函数线的特征是:正弦线 “站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、余弦线 在 x 轴上(起点是原点)” 、正切线

y B P S T

“站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.三角函数线的重

α 要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 O M A 8. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: (2)倒数关系: (3)商数关系: 同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其 它三角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值, 尽可能地压缩角的范围, 以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确 定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

x

9.三角函数诱导公式(

号 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k π + α , 0 ≤ α < 2π ; (2)转化为锐角三角函数。 填空题(本大题共 10 小题,每题 4 分,共 50 分) 1.已知 tan α =

k π + α )的本质是:奇 偶 2 (看原函数,同时可把 α 看成是锐角).

(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) ,符

1 sin α + cos α ,则 = 2 cos α ? sin α
象限 象

2.若 sinθcosθ>0,则θ在第

3.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在第 限 2.已知 α 是第三象限角,则

α
3

是第

象限角

3.已知角 α 的终边过点 (a, 2a )(a ≠ 0) ,则 cos α = 4.已知角 α 的终边上一点 P (? 3, m) ,且 5. (2001 全国文,1)tan300°+

sin α =

2m 4 ,则 tan α =



cos 405 0 的值是 sin 405 0 4 ,则 tan α 的值为 5

6. 已知点 P (?3, y ) 在角 α 的终边上,且满足 sin α =

7. 扇形的圆心角是 72° ,半径为 20cm, 则扇形的面积为

8.已知 sin α =

5 12 , cos α = ? ,则角 α 所在的象限是 13 13

1 3 9.若 cos(π+α)=- , π<α<2π,则 sin(2π-α)等于 2 2

10.函数 y = sin x + 2 | sin x | , x ∈ [0,2π ] 的图象与直线 y = k 有两个交点,则 k 的取值范围为

高三数学数学基础训练 09
内 1.三角函数 不要求内容 淡化内容 考点回顾 15、正弦函数 = y sin x( x ∈ R) 、余弦函数 = y cos x( x ∈ R ) 的性质: 函数 性质 定义域 值域 周期 最小正周期 增区间 单调区间 减区间 对称中心 对称性 对称轴 16、形如 = y A sin(ω x + ? ) 的函数: (1)几个物理量:A― ;f = 的例题、习题) 容 等级要求 A √ 确定函数 y=Asin(ωx+ j )中的 j 值 B √ C

正弦函数、 余弦函数、 正切函数的图象和性质 函数 y = A sin(ωx + ? ) 的图象和性质

已知三角函数值求角; 由 y=sinx 的性质讨论 y=Asin(ωx+ j )的性质(仅要求掌握教材中

y = sin α

y = cos α

y = tan α

1 ― T

(周期的倒数) ;ωx +? ― 定; ω 由

;? ―



(2)函数 = y A sin(ω x + ? ) 表达式的确定:A 由最

确定; ? 由图象上的特殊点确定, 求

(3= ) 函数 y A sin(ω x + ? ) 图象的画法: ① “五点法” ――设 = X

分别令 X = ωx +? ,

出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 和 f ( x) A cos(ω x + ? ) 的最小正周期都是 T = = f ( x) A sin(ω x + ? )= 。

( 4 )函数 = y A sin(ω x + ? ) + k 的图象与 y = sin x 图象间的关系:特别注意,若由 y = sin (ω x ) 得到

= y sin (ω x + ? ) 的图象,则向左或向右平移应平移

个单位。

(5)研究函数 = y A sin(ω x + ? ) 性质的方法:类比于研究 y = sin x 的性质,只需将 = y A sin(ω x + ? ) 中 的 看成 y = sin x 中的 x ,但在求 = y A sin(ω x + ? ) 的单调区间时,要特别注意 A 和 ω 的符号,通

过诱导公式先将 ω 化正。

填空题(本大题共 10 小题,每题 4 分,共 50 分) 1.函数 f(x)=5sinxcosx-5 3 cos2x+
5 3 (x∈R)图象的对称中心为 2

2.已知 cos(

π
4

2 + x) = 3 ,则 sin 2 x ? 2sin x 的值为

5

1 ? tan x

3.函数 f(x)=

sin x cos x 的值域为 1 + sin x + cos x
k 2 大于 2,则整数k的最小值是_______ x + )-5 的最小正周期不 . 4 3
2

4.已知函数f (x) =2cos(

5.如果 x ≤

π
4

,那么函数 f ( x) = cos x + sin x 的最小值是

6.函数 y = sin( ?2 x +

π
4

) 的单调增区间是

7.函数 f ( x) = sin

2 2 π x + cos( x ? ) 的图象相邻的两条对称轴间的距离是 3 3 6

8.在△ABC 中,BC=1,∠B=

π
3

,当△ABC 的面积为 3 时, tan ∠C =

?π ? 9.已知函数 f ( x) = sin x , g ( x) sin ? ? x ? ,直线 x = m 与 f ( x) 、 g ( x) 的图像分别交于 M 、 N 两点, = ?2 ? . 则 | MN | 的最大值是
10.已知 a =(1,2sinx) b =( 3 cos2x,—cosx)设函数 f(x)= a · b . (2)求 f(x)在区间 [?π ,0] 的递减区间(注意解题格式) (1)若 x ∈ [? π ,0] ,求 f(x)的最大值、最小值并求出对应的 x 值;

高三数学数学基础训练 10
内 基本初等函数Ⅱ (三角函数) 、三 角恒等变换 不要求内容 容 等级要求 A B √ √ C

两角和(差)的正弦、余弦和正切 二倍角的正弦、余弦和正切 几个三角恒等式



积化和差、和差化积公式及半角公式的应用;在解决同一个问题的过程 中,三角函数变形的次数超过 3 次,三角函数公式的使用超过 5 个

考点回顾 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:

填空题(本大题共 10 小题,每题 4 分,共 50 分) 1.化简

1 ? 2 sin 10° cos10° cos10° ? 1 ? cos 2 170°

=



2.已知 sin( x +

π
6

)=

5 1 2 π ,则 sin( π ? x) + sin ( ? x) = 6 3 4

3.如果点 P (sin θ cos θ ,2 cos θ ) 位于第三象限,那么角 θ 所在象限是.

4.已知 α 是三角形的一个内角,且 sin α + cos α =

2 ,则这个三角形 3

5. 已知

, 是第二象限角,又

,则



6.若

,则



7.



8. 化简



9若



,则

=



10 若





,则

=

高三数学数学基础训练 11
内 基本初等函数Ⅱ (三角函数) 、三 角恒等变换 不要求内容 容 等级要求 A B √ √ C

两角和(差)的正弦、余弦和正切 二倍角的正弦、余弦和正切 几个三角恒等式



积化和差、和差化积公式及半角公式的应用;在解决同一个问题的过程 中,三角函数变形的次数超过 3 次,三角函数公式的使用超过 5 个

考点回顾 1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之 间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常 “切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和 差角的变换. 如, α = , 2α = ,

α +β
2

=

等)

(2)三角函数名互化(切割化弦) (3)公式变形使用( tan α ± tan β )= (4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos
2

。如

α=

, sin

2

α=

与升幂公式:

, 1 ? cos 2α = 。 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 (6)常值变换主要指“1”的变换(1= = =

1 + cos 2α =

等) ,

(7)正余弦“三兄妹— sin x ± cos x、sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” , 2。几个公式:⑴三角形面积公式:

S ?ABC =

1 1 ah = ab sin C = 2 2
a+b+c

p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) , ( p =

1 (a + b + c)) ; 2

⑵内切圆半径 r= 2 S ?ABC ;外接圆直径 2R=

a b c = = ; sin A sin B sin C

填空题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.

3 ? sin 700 = 2 ? cos 2 100
4 7π π )+sinα= 3 , 则 sin(α ? )的值是 5 6 6

2.已知 cos(α-

3.

( tan x + cot x ) cos 2 x =

4.若 cos a + 2 sin a = ? 5 , 则 tan a =

5.已知 tan α =

1 (sin α + cos α ) 2 ,则 = 2 cos 2α

6.若 sin(

π

3 ,则 cos 2θ = +θ ) = 2 5

7. 化简: cos ?

?π ? ?π ? + α ? + sin ? + α ? = ?3 ? ?6 ?

.

8. 化简

? 1 1 1 1 ?? ? 3π ? + cos 2α ? α ∈? , 2π ? ? ? ? = 2 2 2 2 ?? ? 2 ?

9. 化简

cos 2 α ? sin 2 α = ? ? ?π 2?π 2 cot? + α ? cos ? ? α ? ? ?4 ? ?4

10. 化简 sin220°+cos250°+sin20°cos50°=

高三数学数学基础训练 12
内 解三角形 淡化内容 考点回顾 (1)正弦定理: 注意: = 容 等级要求 A B √ C

正弦定理、余弦定理及其应用

正弦定理和余弦定理在恒等变形中繁难的训练 = : ,, sin C = = : (R 为 ).

①正弦定理的一些变式:(i) a : b : c = (ii) a = ,b = ,, c = (iii) sin A = , sin B =

②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. (2)余弦定理: a 2 = ,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.

(3)面积公式:S= 特别提醒:

=

=

(其中 r 为三角形内切圆半径)

(1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A + B + C = π 这个特殊性:

A + B = π ? C ,sin( A + B) = sin C ,sin

A+ B C = cos ; 2 2

(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

1. 在△ABC 中,若 c = 10 2 , C = 60° , a =

20 3 ,则 A = 3



2. 在△ABC 中,B=1350,C=150,a=5,则此三角形的最大边长为 3. 在锐角△ABC 中,已知 A = 2 B ,则的

. .

a 取值范围是 b
7 ,那么 BC= 2 .

4. 在△ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 边的中线 AD =

5. 已知锐角三角形的三边长分别为 2、3、 x ,则 x 的取值范围是



6. 在△ABC 中,已知 tan A =

1 1 , tan B = ,则其最长边与最短边的比为 2 3



7、△ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为.

8、海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°

的视角,则 B、C 间的距离是

海里

9、有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长

高三数学数学基础训练 13
内 容 等级要求 A B √ √ √ C

平面向量的有关概念 平面向量 淡化内容 删减内容 不要求内容 平面向量的线性运算 平面向量的坐标表示 向量的非正交分解;向量投影 平移公式

线段定比分点公式的应用;用向量解决较为复杂的平面几何问题

考点回顾 1、向量有关概念: (1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注 为什么?。 (2) 零向量: , 记作: , 注 意 零向量的方向是 的; 意不能说向量就是有向线段, (3)单位向量: (4)相等向量: (5)平行向量(也叫 ) : 叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 的两个向量叫相等向量,相等向量有 性;

??? ?

);

向量 a 、 b 叫做平行向量,记作: a ∥ b ,

规定零向量 。 提醒: ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条 直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性! (因为有 0 ); (6)相反向量: 2、向量的表示方法: (1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; (3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基 底,则平面内的任一向量 a 可表示为 a =xi + y j =( x, y ) ,称 ( x, y ) 为向量 a 的坐标, a = ( x, y ) 叫做向 量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理: 如 果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对该平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数 λ1 、 λ2 ,使 a= 4、实数与向量的积:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,它的长度和方向规定如下:

?

④三点 A、B、C 共线 ? AB、 AC 共线; 。

??? ? ????

的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是

?

?

?

(1) λ a

?

? = λ a , ( 2 ) 当 λ >0 时, λ a 的方向与 a 的方向

,当 λ <0 时, λ a 的方向与 a 的方向



当 λ =0 时, λ a =

,注意: λ a ≠0。

填空题(本大题共 10 小题,每题 4 分,共 50 分) 1、若 AB = (2, 4) , AC = (1,3) ,

??? ?

????

则 BC = _______ ;2 b · a =

??? ?

, b =(0,-1) ,则 2 b - a = 2、若向量 a =(3,2) 3、已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a =
?

b = 4 ,那么 a.b 值为________.

4、设 ABCD 是平行四边形,O 是对角线 AC 与 BD 的交点,且 AB = a , AD = b ,则下列命题中正确的 有 (填序号) ① DC + BC = a + b ; ③ ② 当| a |=| b |=| a - b |=1 时,| a + b |= 3 ;

当 a + b 与 a - b 垂直时,则∣ a ∣=∣ b ∣; ④ 当| a + b |=| a - b |时,则 a ⊥ b

, b =(1,-1) , c =(-1,2) , 若 c = λ a + ? b ,则 λ + ? = 5、已知向量 a =(1,1) 6、已知向量 e1、 e2 满足 e1 = 2, e2 的夹角为 60 ,设 a = 2t e1 + 7e2 , b = e1 + t e2 , e2 = 1,e1、
0

(1)若 a ∥ b ,则实数 t = (2)若 a ⊥ b ,则实数 t =

; ; 。

(3)若 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 t 的取值范围是

7、已知 a , b 是非零向量且满足( a -2 b )⊥ a , ( b -2 a )⊥ b ,则 a 与 b 的夹角是 8、已知向量 a , b 满足︱ a ︱=1,︱ b ︱=2,︱ a - b ︱=2,则︱ a + b ︱= 9、已知点 A(1,5) 、B(7,1) 、M(1,2) ,O 是坐标原点,点 P 是直线 OM 上的动点。当 PA ? PB 取最 小值时,求 OP 的坐标,并求∠APB 的值。

10、若向量 b 与向量 a =(1,-2)的夹角是 180°,且︱ b ︱=3 5 ,则 b =

高三数学数学基础训练 14
内 容 等级要求 A B √ √ √ C

平面向量的有关概念 平面向量 淡化内容 删减内容 不要求内容 考点回顾 坐标运算:设 = a (= x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ,则: ①向量的加减法运算: a ± b = 。 平面向量的线性运算 平面向量的坐标表示 向量的非正交分解;向量投影 平移公式

线段定比分点公式的应用;用向量解决较为复杂的平面几何问题

?

?

??? ? ??? ? ???? 如(1)已知点 A(2,3), B (5, 4) , C (7,10) ,若 AP = AB + λ AC (λ ∈ R ) ,则当 λ =____时,点 P 在
第一、三象限的角平分线上

? 1 ??? π π (2)已知 A(2,3), B (1, 4), 且 AB = (sin x,cos y ) , x, y ∈ (? , ) ,则 x + y = 2 2 2 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? (3)已知作用在点 A(1,1) 的三个力 F1 = (3, 4), F2 = (2, ?5), F3 = (3,1) ,则合力 F = F1 + F2 + F3 的
终点坐标是 ②实数与向量的积: λ a = = 。

③若 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 AB = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标。 ? ???? 1 ??? ? ???? ??? 如设 A(2,3), B (?1,5) ,且 AC = AB , AD = 3 AB ,则 C、D 的坐标分别是__________ 3 1.若有以下命题: ① 两个相等向量的模相等; ③ 相等的两个向量一定是共线向量; ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量; 其中正确的命题序号是 。 ② 若 a 和 b 都是单位向量,则 a = b ; ④ a // b , c // b ,则 a // c ; ⑥ 两个非零向量的和可以是零。

??? ?

2. 在水流速度为 4 km / h 的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 km / h 的速度航行, 则船自身航行 速度大小为____________ km / h 。

3. 任给两个向量 a 和 b ,则下列式子恒成立的有________________。 ① | a + b |≥| a | + | b | ③ | a ? b |≤| a | + | b | ② | a ? b |≥| a | ? | b | ④ | a ? b |≤| a | ? | b |

4. 若 AB = 3a , CD = ?5a 且 | AD |=| BC | ,则四边形 ABCD 的形状为________。

5.梯形 ABCD 的顶点坐标为 A(?1,2) , B (3,4) , D (2,1) 且 AB // DC , AB = 2CD ,则点 C 的坐标为 ___________。

6. ?ABC 的三个顶点坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 y 2 ) , C ( x3 y 3 ) ,若 G 是 ?ABC 的重心,则 G 点的坐 标为__________, GA + GB + GC = __________________。

7. 若向量 a = (1,1) , b = (1,?1) , c = (?1,2) ,则 c = ___________(用 a 和 b 表示)。

8. 与向量 a = (3,4) 平行的单位向量的坐标为 ________________。

9. 在 ?ABC 中,已知 AB = 7 , BC = 5 , AC = 6 ,则 AB ? BC = ________________。

10.设 a = ( x,3) , b = (2,?1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 __

____。

高三数学数学基础训练 15
内 容 等级要求 A B √ √ C √

平面向量的的数量积 平面向量 淡化内容 删减内容 不要求内容 考点回顾 1、平面向量的数量积: (1) 两个向量的夹角 θ : 当 θ =0 时,a ,b 平面向量的平行与垂直 平面向量的应用 向量的非正交分解;向量投影 平移公式 线段定比分点公式的应用;用向量解决较为复杂的平面几何问题

, 当 θ = π 时,a ,b



π
当 θ = 2 时, a , b 。 叫做 a 与 b 的 ,

(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 θ ,我们把数量 数量积(或内积或点积) ,记作: a ? b ,即 a ? b = 注意数量积是一个 数,不再是一个向量。 。规定:

? ? a ?b = x1 x2 + y1 y2 。 ④平面向量数量积:
⑥两点间的距离:若

A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )

,则

| AB |=
?

( x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 )
2

2



60 ,平面上任一点P关于斜坐标系的 如如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ∠xOy =
??? ? ?? ?? ? ?? ?? ? OP = xe + ye e , e 1 2 1 2 分别为与x轴、y轴同方向的 ,其中 斜坐标是这样定义的:若
(1)若点P的斜坐标为(2,-2),求P到O的 单位向量,则P点斜坐标为 ( x, y ) 。 距离|PO| ;(2)求以O为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程。 2、向量平行(共线)的充要条件: 3、向量垂直的充要条件:. 填空题

? ? ?

1.已知三个向量 a=(cos θ 1 ,sin θ 1 ),b=(cos θ 2 ,sin θ 2 ),c= (cos θ 3 ,sin θ 3 ),满足 a + b + c = 0 ,则 a 与 b 的夹角为 2.若 o 为平行四边形 ABCD 的中心, AB =4 e 1, BC = 6e2 , 则3e2 ? 2e1 等于 3.若 a = (5,?7), b = (?1,2) ,且( a + λb ) ⊥ b ,则实数 λ 的值为____________.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4.已知 | a |=| b |= 2 , a 与 b 的夹角为

π
3

,则 a + b 在 a 上的投影为



5.在直角坐标平面上,向量 OA = (4,1) ,向量 OB = (2,?3) ,两向量在直线 l 上的正射影长度相等,则直线 l 的斜率为

6.设平面向量 a =(-2,1), b =(1, λ ),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是



7.已知向量 OB = (2,0), OC = (2,2), CA = ( 2 cos α , 2 sin α ) ,则向量 OA, OB 的夹角范围是



8.将函数 y = 2 x 的图象按向量 a 平移后得到 y = 2 x + 6 的图象,给出以下四个命题: ① a 的坐标可以是 (?3,0) ; ③ a 的坐标可以是 (0,6) ; 上述说法正确的是





② a 的坐标可以是 (?3,0) 和 (0,6) ; ④ a 的坐标可以有无数种情况。 。




9.已知 ?ABC 中, CB = a, CA = b, a ? b < 0, S ?ABC =

15 , | a |= 3, | b |= 5 ,则 a 与 b 的夹角为 4



10.若△ABC 三边长 AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 等于



高三数学数学基础训练 16
内 平面向量 淡化内容 容 等级要求 A √ √ B C

数列的有关概念 等差数列 递推数列;繁难计算

考点回顾 1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n} )的特殊函数,数 也就是相应函数的解析式。 列的 2.等差数列的有关概念: (1)等差数列的判断方法:定义法 an +1 ? an = 或 an +1 ? an = an ? an ?1 (n ≥ 2) 。 d (d 为常数) (2)等差数列的通项: a n = (3)等差数列的前 n 和: S n = = = 。 ,

(4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A= 提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素:

其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧, 如奇数个数成等差,可设为…, 偶数个数成等差,可设为…, 3.等差数列的性质: …(公差为 d ) ,…(公差为 2 d )

(1)当公差 d ≠ 0 时,等差数列的通项公式 an = a1 + (n ? 1)d = dn + a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜 率为公差 d ;前 n 和 S n = na1 + 数列。 (3)当 m + n = p + q 时,则有 ,特别地,当 m + n = 2 p 时,则有
*

n(n ? 1) d d d = n 2 + (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 (2)若公差 d > 0 ,则为递增等差数列,若公差 d < 0 ,则为递减等差数列,若公差 d = 0 ,则为常

(4) 若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、 {kan + pbn } ( k 、 p 是非零常数)、 {a p + nq }( p, q ∈ N ) 、 … S n , S 2 n ? S n , S3 n ? S 2 n , 数列, 而 {a n } 成
a

数列; 若 {an } 是等比数列, 且 an > 0 , 则 {lg an }

是 数列. (5)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有 项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有 项之和。法一:由不等式组 确定出前多少项为非负(或非正) ;法 二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 上述两种方法是运用了哪种数学思想? (函数思想) , 由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? n∈ N* 。 (8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的 公共项仅是公共的项, 其项数不一定相同, 即研究 an = bm . 公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:

填空题

1.已知数列 {an } 满足条件 ( n ? 1 )an+ 1 = ( n + 1 )( an ? 1 ) ,且 a2 = 6 ,设 bn = an + n ,那么数列 {an } 的通 项公式是

2.x= ab 是 a、x、b 成等比数列的

条件

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a -1(a ∈ R, a ≠ 0 ),则数列{an}
n

4. 弹子跳棋共有 60 颗大小的球形弹子, 现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛, 使剩下的弹子尽可能的少, 那么剩余的弹子有 ( )

5.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于 2003 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元,为还清这笔贷款, 该家长从 2004 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还确定的金额,计划恰好在贷款的 m 年后还清,若银行 按年利息为 p 的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息) ,则该学生家长每 年的偿还金额是 ( )

6.已知 {a n } 为等比数列, a1 = 2, q = 3 ,又第 m 项至第 n 项的和为 720 ( m < n) ,则

m=

, n=

7.数列 {a n } 对任意 n ∈ N 都满足 a n + 2 = a n ? a n + 4 ,且 a 3 = 2, a 7 = 4, a n > 0 ,
*
2

则 a11 =

8.已知函数 f ( x) =

1 1 1 x2 ,那么 f (1) + f (2) + f ( ) + f (3) + f ( ) + f (4) + f ( ) = 2 2 3 4 1+ x

9.一个项数为偶数的等比数列,首项是 1,且所有奇数项之和是 85,所有偶数项之和是 170,则此数列共 有____项

10.在各项为正数的等比数列 {a n } 中,已知 a3 + a 4 = 11a 2 ?a 4 ,且前 2n 项的和等于它的前 2n 项中偶数 项之和的 11 倍,则数列 {a n } 的通项公式 a n =

高三数学数学基础训练 17
内 平面向量 淡化内容 等比数列 递推数列;繁难计算 容 等级要求 A B C √

考点回顾 (1)等比数列的判断方法:定义法 (2)等比数列的通项: (3)等比数列的前 n 和: S n =

或 特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种

形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式, 当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q = 1 和 q ≠ 1 两种情形讨论求解。 (4)等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。提醒:不是任何两数都有等比中 项,只有 两数才存在等比中项,且有 个 。如已知两个正数 a, b(a ≠ b) 的等差中项为 A,等比

中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______ 提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、

q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2;
(2) 为减少运算量, 要注意设元的技巧, 如奇数个数成等比, 可设为…, 注:但偶数个数成等比时,不能设为… … (公比为 q ) ;

a a , , aq, aq 3 ,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可 3 q q

如此设,且公比为 q 。 5.等比数列的性质: (1)当 m + n = p + q 时,则有
*

2

,特别地,当 m + n = 2 p 时,则有 数列;若 {an }、 {bn } 成等比数列,

(2) 若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 {a p + nq }( p, q ∈ N ) 、 {kan } 成 则 {an bn } 、 { 也是

an }成 bn

数列; 若 {an } 是等比数列,且公比 q ≠ ?1 ,则数列 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n ,… 数列,它不是 数列.

数列 。当 q = ?1 ,且 n 为偶数时,数列 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n ,…是 数列; 若 a1 < 0, q > 1 , 则 {an } 为

(3)若 a1 > 0, q > 1 , 则 {an } 为 为 为

数列 ;若 a1 > 0, 0 < q < 1 , 则 {an } 数列;若 q = 1 ,则 {an }

数列 ;若 a1 < 0, 0 < q < 1 , 则 {an } 为 数列. (4) 当 q ≠ 1 时, S n =

数列;若 q < 0 ,则 {an } 为

,这里 a + b = 0 ,但 a ≠ 0, b ≠ 0 ,这是等比数列前 n 项和公式

的一个特征,据此很容易根据 S n ,判断数列 {an } 是否为等比数列。

(5) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶奇 = qS ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇偶 = a1 + qS . (6)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数数列 {an } 仅是此 数列既成等差数列又成等比数列的 条件。

填空题
1.在等比数列{an}中,已知a1=

3 ,a4=12,则q= __,an=__ 2

___. .? .

2.在等比数列{an}中,an>0,且 an+2=an+an+1,则该数列的公比 q=

3.在等比数列{an}中,已知 a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求 a10=

4.已知 x > 0 , y > 0 , x,,, a b y 成等差数列, x,,, c d y 成等比数列,则 最小值是

( a + b) 2 的 cd

5.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数列,则 {an } 的公比为



1 1 (? ) n-1,数列{a n }的前n项之和为S n,则满足│S n ? 4 · │< 的最小正整数n是 6 . 设a n = 6 2 100

7. {a n } 是等差数列,S10>0,S11<0,则使 a n <0 的最小的 n 值是

8.数列 {a n } 的前 n 项和 S n 与通项 a n 满足关系式 S n = na n + 2n 2 ? 2n( n ∈ N *) ,则 a100 ? a10 的值为

9.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn, ,且 a 4 ? a 2 = 8, a 3 + a 5 = 26.记Tn = 一切正整数 n, Tn ≤ M 都成立,则 M 的最小值是 。

Sn n2

, 如果存在正整数 M,使得对

{bn } 的前 n 项和 An 和Bn 满足 10. 若两个等差数列 {an }、

An 7n + 1 (n∈N), = Bn 4n + 27



a11 的值等于 b11

高三数学数学基础训练 19
一、考试要求 内容 复数的有关概念 复数 复数的四则运算 复数的几何意义 二、基础知识 1、数系的扩充:N Z Q √ R C 等级要求 A B √ √ C

2、形式: z = a + bi ( a, b ∈ R ) ,其中, a,b 分别为复数 z 的实部和虚部 复数 z 是实数 ? 复数 z 是纯虚数 ? 3、 a + bi = c + di ? 4、运算:(a + bi ) + (c + di ) = ; (a + bi ) ? (c + di ) = ; ;i
4 n +1

;复数 z 是虚数 ? 。



; .

(a + bi )(c + di ) =
若 n ∈ N ,则 i
4n

a + bi = c + di =
;i
4 n +3

=

=

;i

4n+2

=

.

共轭复数:①复数 z = x + yi 的共轭复数 z = ②性质: z = z ; z = z ? z ∈ R ; z + z = 2 x, z ? z = 2 yi ;

z1 + z 2 = z1 + z 2 ; z1 ? z 2 = z1 ? z 2 ; z1 z 2 = z1 ? z 2 ; ( z1 z ) = 1 ; z n = (z)n . z2 z2

5、复数 z = a + bi 的模 | z | = 性质: | z 1 z 2 |=| z1 || z 2 | ; |

z1 |z | ; |= 1 ; zz =| z | 2 =| z | 2 ; | z n |=| z | n(n ∈ N +) z2 | z2 |

|| z1 | ? | z 2 ||≤| z1 ± z 2 |≤| z1 || z 2 |
设 z ∈ C ,则满足 | z |= 2 的点 Z 的集合表示的图形 三、小题训练 1、复数

2i 的虚部是 1? i

2、若复数 z = a ? 1 + (a + 1)i ( a ∈ R )是纯虚数,则 z =
2

.

3、 “ a = 0 ”是“复数 a + bi (a, b ∈ R ) 是纯虚数”的

条件

? 1+ i ? 4、 ? ? ? 1? i ?

2008



5、若

a?i = b + 2i, 其中a, b ∈ R,i是虚数单位,则 a ? b 的值为 i

6、如果复数 z = a + a ? 2 + ( a ? 3a + 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为
2 2

7、复数 z = (a ? 2a) + (a ? a ? 2)i 对应的点在虚轴上,则 a =
2 2

8、已知复数 z 满足 ( 2 ? i ) z = 5 i是虚数单位 , 则 z =

(

)

9、在复平面内, 复数 1 + i 与 1 + 3 i 分别对应向量 OA 和 OB , 其中 O 为坐标原点,则 AB =

?

?

?

10、复数 z1= 3 + i , z2 = 1 ? i ,则复数

z1 在复平面内对应的点位于 z2

象限

11、复数 (3 + i )m ? (2 + i ) 对应的点在第三象限内,则实数 m 的取值范围是

12、给出下列四个命题: ①若 z ∈ C, z = z ,则 z ∈ R;
2 2

②若 z ∈ C, z = ? z ,则 z 是纯虚数; ④若 z1 , z2 ∈ C , z1 + z2 = z1 ? z2 则 z1 z2 = 0 .

③若 z ∈ C, z = zi ,则 z=0 或 z=i; 其中真命题的个数为 .

2

高三数学数学基础训练 20
一、考试要求 内容 导数的概念 导数及其应用 二、基础知识 1、 函数 f ( x) 在区间 [ x1 , x 2 ] 上的平均变化率为 率、瞬时速度、边际成本) 2、 定义:设函数 y = f ( x) 在区间 (a, b ) 上有定义, x 0 ∈ ( a, b), 当 ?x 无限趋近于 0 时比值 ; (导数的背景:切线的斜 导数的几何意义 导数的运算 等级要求 A √ √ √ B C

?y f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于一个常数 A,则称 f ( x) 在点 x = x 0 处可导,并称该 = ?x ?x
常数 A 为函数 f ( x) 在点 x = x 0 处的导数,记作 f ′( x 0 ) 。 注: (1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某 点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲 (2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上, 线上也不一定只有一条; 还是不在曲线上,只有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是 f ′( x0 ) ; ( 3 )导数 处的切线的斜率。 f ′( x0 ) 的几何意义就是曲线 y = f ( x) 在点 (x0 , f ( x0 )) 3、 若 f ( x) 对于区间 (a, b ) 内的任一点都可导,则 f ( x) 在各点的导数也随着自变量 x 的函 数,该函数称为 f ( x) 的导函数,记作 f ′( x) 。 ① v(t ) = s ′(t ) 表示瞬时速度;a (t ) = v ′(t ) 表示瞬时加速度;②在经济学中,生产 x 件产 ;出售 x 件产品的收益称为收益函数,记为 R(x) ; 品的成本称为成本函数,记为 C(x) — C(x) 称为利润函数, 记为 P(x) ;相应地 C ′(x) , R ′(x) , P( x) 分别称为边际成 R(x) 本函数、边际收益函数和边际利润函数。C(x) 在 x = a 处的与导数 C ′(a ) 称为生产规模为

a 时的边际成本值;③ f ′( x) 与 f ′( x0 ) 是不同的概念: f ′( x0 ) 是一个常数, f ′( x) 是一个
函数; f ′( x 0 ) 是 f ′( x) 在 x = x 0 处的函数值 4、 基本初等函数求导公式

′= 幂函数: (x )

α

( α 为常数)

指数函数: (a )′ =
x

( a >0,且 a ≠ 1 )

特例: (e )′ =
x

对数函数: (log a x)′ = 正弦函数: (sin x)′ = 三、小题训练

′= ( a >0,且 a ≠ 1 ) 特例: (ln x)
余弦函数: (cos x)′ =

1、函数 f= ( x) sin x + ln x 的导函数 f ′( x) = 2、一物体的运动方程是 s = 1 ? t + t ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 t = 3
2

时的瞬时速度为_____ 3、曲线 y=x3-

3 2 x - 3 x+1 在 x=1 处的切线的倾斜角为 2

4、 如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中 A,B,C的坐标 ;函数f 分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) ,则f(f(0) )= . (x)在x=3 处的导数f′(3)=

5、已知曲线 y =

1 2 x ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 2 ,则切点的横坐标为 2



6、曲线 f ( x) = x ln x 在点 x = 1 处的切线方程为

7、设曲线 y =

x +1 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax + y + 1 = 0 垂直,则 a = x ?1
2

8、设曲线 y = ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 = 0 平行,则 a =

9、曲线 y =

1 3 4 x + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 3

10 、 已 知 函 数 y = f ( x) 的 图 像 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 x ? 2 y + 1 = 0 , 则

f (1) + 2 f ′(1) 的值是

11、在曲线 y = x + 3 x + 6 x ? 10 的切线中,斜率最小的切线方程为
3 2

高三数学数学基础训练 21
一、考试要求 内容 导数及其 应用 导数的运算 利用导数研究函数的单 调性和极大(小)值 等级要求 A B √ √ C

二、基础知识 (1)导数与函数的单调性:若 f ′( x) > 0 ,则 f ( x) 为增函数;若 f ′( x) < 0 ,则 f ( x) 为减函 数 ;若 f ′( x) = 0 恒成立,则 f ( x) 为常数函数; 若 f ′( x) 的符号不确定,则 f ( x) 不是单调函数。 ( 2 )利用导数求函数单调区间的步骤: ① 求 f ′( x) ; ② 求方程 f ′( x) = 0 的根,设为 ③ x1 , x2 ,? xn 将给定区间分成 n+1 个子区间, 再在每一个子区间内判断 f ′( x) x1 , x2 ,? xn ; 的符号,由此确定每一子区间的单调性。 (3) 求函数 y = f ( x) 在某个区间上的极值的步骤: (i) 求导数 f ′( x) ; (ii) 求方程 f ′( x) = 0 的根 x0 ; (iii) 检查 f ′( x) 在方程 f ′( x) = 0 的根 x0 的左右的符号: “左正右负”? f ( x) 在 x0 处取极大值; “左负右正” ? f ( x) 在 x0 处取极小值。 特别提醒:① x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号,而不仅是 f ′ ( x0 ) =0, f ′ ( x0 ) = 0 是 x0 为极值点的必要而不充分条件。②给出函数极大 ( 小 ) 值的条件,一定要既考虑

f ′( x0 ) = 0 ,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一
点一定要切记! (4)求函数 y = f ( x) 在[ a, b ]上的最大值与最小值的步骤:①求函数 y = f ( x) 在( a, b ) 内的极值;②将 y = f ( x) 的各极值与 f (a ) , f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小 的一个为最小值。 特别注意:①利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时,要注意列表!②要善于应用函 数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决方程不等式等相 关问题。 三、小题训练

1 3 x ? f ′(?1) ? x 2 + x + 5, 则 f ′(1) = 3 π? , y = x 2 + 2 x + 3 上的点, 2、 设 P 为曲线 C: 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0,
1、若函数 f ( x ) =
? ? 4? ?

则点 P 横坐标的取值范围为

3、若点 P 是曲线 y = x ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y = x ? 2 的最小距离为
2

4、函数 f ( x) = x ? 3 x + 2 在区间 [?1,1] 上的最大值是
3 2

5、函数 f ( x) = x ln x( x > 0) 的单调增区间

6、已知 f ( x) = 2 x ? 6 x + m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,
3 2

2]上有最小值为

7、函数 f ( x) = 2 x 3 ? 3x 2 + 10 的单调递减区间为



8、设 f ′( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y = f ′( x) 的图象如图所示,则 y = f ( x) 的图象最有可能的 是( )

' 则其导函数 f( 的图象可能是 ( 9、 若函数 f ( x) = x 2 + bx + c 的图象的顶点在第四象限, x)



高三数学数学基础训练 22
一、考试要求 内容 导数 及其 应用 利用导数研究函数的单调 性和极大(小)值 导数在实际问题中的应用 等级要求 A B √ √ C

二、基础知识: 导数的三大应用: ①求斜率:在曲线的某点有切线,则求导后把横坐标代进去,则为其切线的斜率; ②有关极值:就是某处有极值,则把它代入其导数,则为 0 ; ③单调性的判断: f ′( x) > 0 , f ( x) 单调递增; f ′( x) < 0 , f ( x) 单调递减,和一些常 见的导数的求法. 要熟练一些函数的单调性的判断方法有,作差法,作商法,导数法;对于 含参范围问题, 解决方法有, 当参数为一次时, 可直接解出通过均值不等式求最值把其求出; 当为二次时,可用判别式法或导数法等求.而此种题型函数与方程仍是高考的必考,以函数 为背景、导数为工具,以分析、探求、转化函数的有关性质为设问方式,重点考查函数的基 本性质,导数的应用,以及函数与方程、分类与整合等数学思想.其中试题灵活多变, 三、小题训练 1、设 f ( x) = x ln x ,若 f '( x0 ) = 2 ,则 x0 =

2、函数 y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=
3、函数 f ( x) = x ? e
?x

的单调递增区间是

4、函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ′( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数

f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点



?
?

′? ?= ? ? ?

?

?

?

?
? ?

?

5、已知函数 f ( x= ) x + ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是
3

6、垂直于直线 2x+6y+1=0 且与曲线 y = x +3x-5 相切的直线方程是 3 2 2 7、函数 y = f ( x ) = x +ax +bx+a ,在 x = 1 时,有极值 10,则 a =

3

。 ,b =



8、设 f ( x ) = x - 值范围为

3

1 2 x -2x+5,当 x ∈ [?1,2] 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数 m 的取 2
.

9、已知函数 f ( x) = x + mx ? m x + 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9.
3 2 2

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为 ?5 的直线是曲线 y = f ( x) 的切线,求此直线方程.

高三数学数学基础训练 23
一、考试要求 内容 算法的有关概念 算法初步 流程图 基本算法语句 等级要求 A √ √ √ B C

二、基础知识 1、对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法。 2、算法的特征:确定性、逻辑性、有穷性。 3、算法的描述:自然语言、流程图、伪代码。 4、程序框图的构成:起止框用 表示;输入输出框用 表示;处理框用 表示;流程线用 5、几种重要的结构

表示;判断框用 表示。

A B

Y A

p

N B

A

A P
成立 ;输入输出语句 循环语句:

P
不成立

成立

不成立

6、伪代码的表示形式:赋值语句 条件语句:

三、小题训练 1、下面的问题中必须用条件结构才能实现的是___________. (1)已知三角形三边长,求三角形的面积; (2)求方程 ax+b=0(a,b 为常数)的根; (3)求三个实数 a,b,c 中的最大者; 2、用秦九韶算法计算函数 f ( x) = 2 x + 3 x + 5 x ? 4 当 x = 2 时的函数值时,乘法运算
4 3

进行

次。

3、计算机执行以下程序: 4、根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 c 为 .

S1 初始值 = x1 3, = S1 0 S2 xn + = xn + 2 ; 1 S3 S n + = S n + xn ; 1 S4 如果 S n ≥ 100 ,则进行⑤,否则从 S2 继续运行; S5 打印 xn ; 那么由语句 S5 打印出的数值为 5、如果执行右面的程序框图,那么 输出的 S = . 。 6、某算法的伪代码如图所示,如果输出的 y 值 是 4, 那么输入的 x 的所有可能的值是 . a←1 c←0 For a Form 1 To 11 Step 2 c←2c+3 If c>20 Then c←c ? 20 End For Print c

Read x If x<0 Then

y ← x ?2
Else y←x2-3x

7、为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密), 接收方由密文→明文(解密),已知加密规则如图所示, 例如,明文 1, 2,3, 4 对应密文 5, 7,18,16 . 当接收方收到密文 9,10,22,24 时, 则解密得到的明文为 .

开始

输入 a,b,c,d

m ← a + 2b n ← 2b + c p ← 2c + 3d q ← 4d

输出 m,n,p,q

结束

第 10 题图

高三数学数学基础训练 24
一、考试要求 内容 合情推理与演绎推理 推理与证明 分析法和综合法 反证法 √ √ 等级要求 A B √ C

二、基础知识 1、合情推理:归纳推理——从 推演出 的推理。 类比推理—— 的推理 常用类比对应关系:弦 ? 截面圆,直径 ? 大圆,周长 ? 表面积,圆面积 ? 球体积 2、演绎推理:大前提提供一个一般性的原理;小前提指出了一个特殊对象,这两个判断结 合起来,揭示了;一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到结论。 3、直接证明:综合法的推证过程: 分析法的推证过程: 4、间接证明:反证法三个步骤: 三、小题训练 1、 “金导电、银导电、铜导电、铁导电;所以一切金属都导电”.此推理方法是 2、函数 y =

1 的最小值为 2 + sin x + cos x

3、平面几何中“周长一定的所有矩形与圆中,圆的面积最大。 ”类比到空间可得结论 。 4、设 f ( x ) =

1+ x ,又记 = f1 ( x ) f ( = x ) , f k +1 ( x ) f= ( f k ( x ) ) , k 1, 2,? , 1? x 则 f 2008 ( x ) =

5、图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥 ,则 物“福娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎”

f (5) =

; f (n) ? f (n ? 1) =

. (答案用数字或 n 的解析式表示)

6= 、设 f 0 ( x) co = s, x f1 ( x)

f0= '( x), f 2 ( x) f1 '( x),? = , f n +1 ( x) f n '( x) , n ∈ N ? ,

则 f 2008 ( x) =( A. ? sin x

) B. ? cos x C. sin x D. cos x

7、三角形面积 S=

p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) (a,b,c 为三边长,p 为半周长),又三角形可以

看作是四边形的极端情形(即四边形的一边长退化为零).受其启发,请你写出圆内接四边形 的面积公式:

8、已知数列 {an } 的第 1 项 a1 = 1 ,且 an +1 = 项公式

an (n = 1, 2,?) ,试归纳出这个数列的通 1 + 2an

, 则 9、已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c ,内切圆半径为 r (用 S ?ABC 表示?ABC的面积 )

S ?ABC =
锥体积

1 r (a + b + c) ;类比这一结论有:若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R ,则三棱 2

V A? BCD =

10、 n 个连续自然数按规律排成下表 0 3→4 7 → 8 11…

↓ ↑
1→2



↑ ↓



5→6

9 → 10

根据规律,从 2002 到 2004,箭头的方向依次为

高三数学数学基础训练 25
一、考试要求 内容 抽样方法 统计 总体分布的估计 总体特征数的估计 等级要求 A √ √ √ B C

二、基础知识 1、 抽样方法:简单随机抽样(抽签法、随机数表法) ;系统抽样;分层抽样。 注:每个个体被抽到的概率都相等

n N

补:总体——要考察的对象的全体;个体——每一个考察对象; 样本——总体中被抽取的考察对象的集体; 样本容量——样本中个体的数目 2、 总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,即用样本 平均数估计总体平均数(即总体期望值――描述一个总体的平均水平) ;用样本方差估 计总体方差(方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数,方差或标准 差越小,表示这个样本或总体的波动越小,即越稳定) 。一般地,样本容量越大,这种 (2) “图”(频率分布直方图)。 估计就越精确。总体估计要掌握:(1)“表”(频率分布表); 频率分布表——全距、组距、频数、频率的求法 频率直方图的画法及横纵轴的表示 茎叶图——茎、叶的表示 提醒:直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率),横轴一般是 数据的大小,小矩形的面积表示频率。 3、总体特征数的估计:① x1 , x2 , …… xn 的平均数 x = ②设一组数据 x1 , x2 , …… xn ,其平均数为 x , 则其方差 S =
2



(=

1 n ; 标准差 S = ∑ ( xi ) 2 ? ( x ) 2 ) n i =1
;方差为 ;方差为 (用 x 、S 表示) 。
2

③ kx1 , kx2 , …… kxn 的平均数为 ④ kx1 + b, kx2 + b, …… kxn + b 的平均数为

三、小题训练 1、某校高中共有 900 个人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人, ,高三年级 400 人,现 采用分层抽样法抽取容量为 45 的样本,那么高一,高二,高三年级抽取的人数分别为_ ____________. 2、甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如表所示: 甲 乙 丙 丁 8.5 8.8 8.8 8

x

S

3.5

3.5

2.1

8.7

则参加奥运会的最佳人选为

3、 已知数据 x1 , x2 ,? xn 的平均数为 x = 5 , 方差为 S 2 = 4 , 则数据 3 x1 + 7,3 x2 + 7,? 3 xn + 7 的 平均数和方差分别为 4、 某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查, 选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样 本.已知女生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是 人.

5、 某校为了了解学生的体育锻炼情况,随机 调查了 70 名学生,得到他们在某一天各自的体育锻炼时间的数 据,结果用如图 3 所示的条形图表示. 根据条形图可得这 70 名 学生这一天平均每人的体育锻炼时间为 小时.

6、某市高三数学抽样考试中,对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布图如 . 图所示, 若 130—140 分数段的人数为 90 人 ,则 90—100 分数段的人数为

7、某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 300 人,现通过分层抽样抽取 一个容量为 n 的样本,已知每个学生被抽到的概率为 0.2,则 n= _______

8、 下图是 2007 年在广州举行的全国少数民族运动会上, 七位评委为某民族舞蹈打出的分数 的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为 。

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3

9、已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总 . 体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是 10、在样本的频率分布直方图中,共有 4 个长方形,这 4 个小长方形的面积由小到大构成等 差数列 {a n } ,已知 a 2 = 2a1 ,且样本容量为 400 ,则小长方形面积最大的一组的频数为 ______________ .

高三数学数学基础训练 26
一、考试要求 内容 随机事件与概率 概率、统计 古典概型 几何概型 √ 等级要求 A √ √ B C

二、基础知识 1、随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 (1)随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; (2)必然事件:在一定条件下必然要发生的事件; (3)不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件。 2、随机事件的概率 事件 A 的概率:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 m 总接近于某个常数, n

在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) 。 由定义可知 0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0。 3、古典概型 (1)古典概型的两大特点:① ;② (2)古典概型的概率计算公式:P(A)= 4、几何概型的概率计算公式:P(A)= 三、小题训练 1、在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同。现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是

2、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,骰子朝上的点数分别为 x 、 y ,则 log x +1 y = 1 的概率为 _________.

3、从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中,不放回地任取两数,两数都是奇数的概率是

4、向圆 x + y = 0上 4 所围成的区域内随机地丢一粒豆子,则豆子落在直线 3 x ? y + 2 =
2 2

方的概率是_____________.

5、一个靶子上有 10 个同心圆,半径依次为 1、2、……、10,击中由内至外的区域的成绩 依次为 10、9、……、1 环,则不考虑技术因素,射击一次,在有成绩的情况下成绩为 10 环 的概率为 .

6、甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) ,设甲、 乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为 x 、 y ,则满足复数 x + y i 的实部大于虚部的概率是

7、在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积 大于

S 的概率是 4

8、袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的 ____ 概率是____

9、右图的矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影 部分的面积约

10、将一个体积为 27cm3 的正方体木块表面涂上蓝色,然后锯成体积为 1 cm3 的小正方体, 从中任取一块,则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是____________.

高三数学数学基础训练 27
一、考试要求 内容 概率、 统计 互斥事件及其发生的概率 统计案例 等级要求 A √ √ B C

二、基础知识 1、时间 A 与 B 的两个事件称为互斥事件。 2、如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率 P(A+B)= 3、对立事件( A ) : 的两个事件。P( A )=1-P(A)

4、A,B 为对立事件,则 A,B 为互斥事件;A.B 为互斥事件,则 A,B 不一定为对立事件。 5、卡方统计量: χ =
2 2

,其中, n =
2

①若 χ >10.828,则有 99.9 ﹪的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系” ;②若 χ >6.635,则有 99﹪的 把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系” ;③若 χ >2.706,则有 90﹪的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系” ;④若
2

,但也不能作出结论“ H 0 成立 ” , χ 2 ≤ 2.706,则认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系” 即不能认为Ⅰ与Ⅱ没有关系” 。 6、回归分析:①线性回归模型

y = a + bx + ε
, a = y ? b x (公式不要求记忆)
Λ Λ

b=

Λ

∑ (x
i =1 n

n

i

? x )( yi ? y )
i

∑ (x
i =1
i

? x)2

②相关系数:

r=

∑(x
i =1

n

? x )( yi ? y )
n

∑(x
i =1

n

=

∑x y
i =1 i n 2 i =1

n

i

? nx y
n

(公式不要求记忆)

i

? x ) 2 ∑ ( yi ? y ) 2
i =1

(∑ xi ? n( x ) 2 )(∑ ( yi ) 2 ? n( y ) 2 )
i =1

r 具有性质:| r | ≤ 1;| r |越接近于 1, x, y 的线性相关程度越强;| r |越接近于 0, x, y 的线
性相关程度越弱 7、检验方法步骤:①提出统计假设 H 0 :变量 x, y 不具有线性相关关系;②如果以 95﹪的 把握作出判断, 那么可以根据 1-0.95=0.05 与 n ? 2 在附录 1 中查出一个 r 的临界值 r0.05(其 中 1-0.95=0.05 称为检验水平)③计算样本相关系数 r ;④作出统推断:若| r |> r0.05 ,则否 定

H 0 ,表明有 95﹪的把握认为 x与y 之间具有线性相关关系;若| r | ≤ r0.05 ,则没有理由拒绝
原来的假设 H 0 ,即没有充分理由认为 y与x 之间有线性相关关系

三、小题训练 1、在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M,则 AM>AC 的概率是 2、甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜甲刚才所想的数字, 把乙猜的数字记为 b ,其中 a, b ∈ {1, 2,3, 4,5, 6} ,若 a ? b ≤ 1 ,就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 .

3、每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以 1,2,3,4,5,6).连续抛掷 2 次,则 2 次向上 的数之和不小于 10 的概率为 .

4、若从集合 {1, 2,3, 4,5} 的所有子集中任取一个子集,则取出的集合含有至少两个元素的概 率是_______________.

5、设 a ∈ {1, 2,3} , b ∈ {2, 4, 6} , 则函数 y = log b
a

1 是增函数的概率为 x

6、 设有一个回归方程为 y = 2 ? 1.5 x 则变量 x 每增加一个单位时,y 平均减少



7、若变量 y与x 之间的相关系数 r = ?0.9362 ,查表得到相关系数临界值 r0.05 = 0.8013 , 则变量 y与x 之间( )

A、不具有线性相关关系 B、具有线性相关关系 C、它们的线性关系还要进一步确定 D、不确定 8、下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去一个常数后,方差恒不变;②设有 一个回归方程 y = 3 ? 5 x ,变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 5 个单位;③线性回归方程
Λ Λ

;④曲线上的点与改点的坐标之间具有相关关系;⑤在一个 2 × 2 y = bx + a 必过点( x , y )
2

列联表中,由计算得 χ =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90﹪,其中错误的序 号是 9、对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行了 3 年的跟踪 研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示: 又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196 合计 68 324 392 试根据上述数据计算 χ = 响有没有差别.
2

比较这两种手术对病人又发作心脏病的影

高三数学数学基础训练 28
一、考试要求 内容 柱、锥、台、球及其简单组合体 空间几何体 三视图与直视图 柱、锥、台、球的表面积和体积 等级要求 A √ √ √ B C

二、基础知识 1.柱、锥、台、球的结构特征 棱柱: 一般的, 有两个面______, 其余各面都是_______, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相______, 由这些面所围成的几何体; 圆柱:以______的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体; 棱锥:一般的有一个面是_____,其余各面都是有一个公共顶点的_______,由这些面所围成的几何体; 圆锥:以_________的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体; 棱台:用一个平行于______的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台; 圆台:以_________的高所在的直线为旋转轴,旋转形成的曲面所围成的几何体; 球:以半圆的______所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 2.空间几何体的三视图基本特征:长_____,宽_____,高______. 3.空间几何体的直观图:斜二测画法 ’ ’ ’ ’ ①在原图形中建立直角坐标系, ②画出斜坐标系, 在画直观图的纸上 (平面上) 画出对应的 O X ,O Y , 使 ∠X 'O 'Y ' =____________,它们确定的平面表示水平平面; ③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于__,且长度___;在已知图形平 行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于___,且长度___________; 2.多面体的面积和体积公式 名称 棱柱 棱锥 棱台 直棱柱 正棱锥 正棱台 侧面积(S 侧) 全面积(S 全) 体 积(V)

(S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长。) 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球

S侧 S全
V (l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台上、下底面半径,R 表示 半径。)

三、小题训练

y 1、 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图, ?2 则这个平面图形的面积是 .



O

x



2.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

______________

①正方形

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

3、如图(右面) ,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是________.
主视图 左视图

4. 若一个底面为正三角形、 侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示, 则这个棱柱的体积为______________
俯视图 第 4 题图

5 、如图是利用斜二测画法画出的 ?ABO 的直观图 , 已知 O ' B ' =4, 且 . ?ABO 的面积为 16,过 A' 作 A' C ' ⊥ x' 轴,则 A' C ' 的长为

6.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示) ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是__________

7.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是______ 8.一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为 6cm 的正方形,则此三棱柱的体积为______cm . 9. 如图, 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 主视图 左视图 . __________ 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积 为 ...
3

10.一个几何的三视图如图所示:其中,主视图中△ABC 的边长是 2 角形,俯视图为正六边形,那么该几何体几的体积为 ____________

的正三

第3题 俯视图

俯视图

主视图

左视图

高三数学数学基础训练 29
一、考试要求 内 点、线、面之 间的位置关系 容 等级要求 A √ √ B C

平面及其基本性质 直线与平面平行、垂直的判定与性质

二、基础知识 1.平面概述 (1)平面的特征:①无限延展 ②没有厚度 (2)平面的画法:通常画__________来表示平面; (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母 α 、 β 、 γ 等表示,如平面 α 、平面 β ;用表示平行四边形 的两个相对顶点的字母表示,如平面 AC。 2.三公理三推论:(用符号语言表示) 公理 1:______________________________________________________ 公理 2:______________________________________________________ 公理 3:______________________________________________________ 推论一:______________________________________________________ 推论二:______________________________________________________ 推论三:______________________________________________________ 3.空间直线: (1)空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点; 平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——_____________________________。相交直线和平行直线也称为____直线。 (2)公理 4:____________________________________ (3)异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。 符号语言: A ? α , B ∈ α , a ? α , B ? a ? AB 与 a 是异面直线。 4.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点) ,符号:_______; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ,符号:________; (3)直线和平面平行(没有公共点) ,符号:__________。 5.线面平行的判定定理:___________________________________________________, 符号语言:_________________________________________. 线面平行的性质定理:________________________________________________________, 符号语言:________________________________________. 6.线面垂直定义:__________________________________________________________ 符号语言:_________________________________________ 直线与平面垂直的判定定理:_______________________________________________, 符号语言:_________________________________________. 直线和平面垂直的性质定理:_______________________________________________, 符号语言:_________________________________________. 三、小题训练

1.已知 α , β 是平面, m, n 是直线,则下列命题中不正确的是

A.若 m ∥ n, m ⊥ α ,则 n ⊥ α B.若 m ∥ α , α ∩ β = n ,则 m ∥ n C.若 m ⊥ α , m ⊥ β ,则 α ∥ β D.若 m ⊥ α , m ? β ,则 α ⊥ β 2. 设 α 表示平面, a, b 表示直线,给定下列四个命题: ① a // α , a ⊥ b ? b ⊥ α ;② a // b, a ⊥ α ? b ⊥ α ; ③ a ⊥ α , a ⊥ b ? b // α ;④ a ⊥ α , b ⊥ α ? a // b .其中正确命题的个数有 2 个
3.下列四个命题中,真命题的个数为1 (1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M ∈ α , M ∈ β , α ∩ β = l ,则 M ∈ l ; (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. 4.已知 m, n 是不重合的直线, α , β 是不重合的平面,有下列命题:①若 m ? α , n // α ,则 m // n ;②若

m // n , m ⊥ α ,则 n ⊥ α ;③若 m ⊥ α , m ? β ,则 α ⊥ β ;④若 m ⊥ α , m ⊥ β ,则 α // β .其中真
命题有 . (写出所有真命题的序号) 5.在底面为正方形的长方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这些几何 (写出所有正确结论的编号) . 形体是 ①矩形;②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体; ④每个面都是等腰三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. 6.在正三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 的中点,有下列三个结论: ① AC⊥PB; ② AC∥平面 PDE;③ AB⊥平面 PDE。则所有正确结论的序号是 。 7.设 x, y, z 是空间中不同的直线或不同的平面,且直线不在平面内,则下列结论中能保证“若 x ⊥ z ,且 ;①x 为直线,y、z 为平面,②x、 y ⊥ z ,则 x // y ”为真命题的是 (把你认为正确的结论的代号都填上) y、z 为平面,③x、y 为直线,z 为平面,④x、y 为平面,z 为直线,⑤x、y、z 为直线。 8.已知两条直线 m, n ,两个平面 α , β ,给出下面四个命题其中正确命题的序号是___: ① m // n, m ⊥ α ? n ⊥ α ③ m // n, m // α ? n // α ② α // β , m ? α , n ? β ? m // n ④ α // β , m // n, m ⊥ α ? n ⊥ β

9.下列四个命题,正确命题序号为____________(请把所有正确命题的序号都填上) . : ⑴ 过平面外一点,作与该平面成 θ (0 < θ ≤ 90 )角的直线一定有无穷多条; ⑵ 一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行; ⑶ 对确定的两条异面直线,过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线 都平行; ⑷ 对两条异面的直线 a, b ,都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等
0 0

10.如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, EF ⊥ AC , EF ⊥ A1 D 则 EF 和 BD1 的关系是

高三数学数学基础训练 30
一、考试要求 内 点、 线、 面之 间的位置关 系 容 等级要求 A √ √ √ B C

平面及其基本性质 直线与平面平行、 垂直的判定与性质 两平面平行、垂直的判定与性质

二、基础知识 1.两个平面的位置关系有两种:两平面相交(有一条公共直线) 、两平面平行(没有公共点) (1)两个平面平行的判定定理:________________________________________________ 符号语言:_________________________________________________ (2) 两个平面平行的性质 (1) 如果两个平面平行, 那么其中一个平面内的直线___于另一个平面; (2) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线_________。 2.面面垂直 两个平面垂直的定义:_____________________________________________________。 两平面垂直的判定定理:_______________________________________________________。 两平面垂直的性质定理:_______________________________________________________.。 三、小题训练 1、 下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M 、、 能得出 AB // N P 分别为其所在棱的中点, 平面 MNP 的图形的序号是__________

2、如图,直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面, ?ABC 内接于圆 O,且 AB 为圆 O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有以下命题:① BC ⊥ PC ;② OM // 平面APC ;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的 长.其中真命题的个数为_____ 3、设 α 、 β 、 γ 是三个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出下列 4 个命题: ①若 a∥ α ,b∥ α ,则 a∥b; ②若 a∥ α ,b∥ β ,a∥b,则 α ∥ β ;

③若 a⊥ α ,b⊥ β ,a⊥b,则 α ⊥ β ;④若 a、b 在平面 α 内的射影互相垂直, 则 a⊥b. 其中正确命题是__________

4、已知直线 m、l,平面 α、β,且 m⊥α, l

? β,给出下列命题:

①若 α∥β,则 m⊥l;②若α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则α∥β;④若 m∥l,则α⊥β. 其中正确命题的个数是_________ 5、若 α、β 是两个不重合的平面,以下条件中可以判断 α ∥ β 的是:_______: ① α、β 都垂直于平面 γ ;② α 内有不共线的三点到 β 的距离相等; ③ l、m 是 α 内的两条直线,且 l ∥ β , m ∥ β ; ④ l、m 是两条异面直线,且 l ∥ α , l ∥ β , m ∥ α , m ∥ β . 6.已知 α , β 是平面,m,n 是直线,下列命题中正确命题的个数是__________: ①若 m ⊥ α , m ? β,则α ⊥ β ;②若 m ? α , n ? α , m // β,n // β , 则α // β ; ③如果 m ? α , n ? α , m、n是异面直线,那么n与α 相交; ④若 α ∩ β = m, n // m,且n ? α , n ? β,则n // α且n // β . 7.已知三条不重合的直线 m、n、l,两个不重合的平面 α , β ,有下列命题 ①若 m // n, n ? α , 则m // α ; 其中正确的命题个数是_______ 8.关于直线 m , n 与平面 α , β ,有以下四个命题,其中真命题的序号是_________: ①若 m // α , n // β 且 α // β ,则 m // n ; ②若 m ⊥ α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m ⊥ n ; ③若 m ⊥ α , n // β 且 α // β ,则 m ⊥ n ;④若 m // α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m // n . 9、已知 m, n 是不重合的直线, α , β 是不重合的平面,下列命题中真命题的个数是 ________ ②若 l ⊥ α , m ⊥ β且l // m, 则α // β ; ③若 m ? α , n ? α , m // β , n // β , 则α // β ; ④若 α ⊥ β , α ? β = m, n ? β , n ⊥ m, 则n ⊥ α ;

α 则 m∥n ①若 m ? α , n∥,
n 则 m∥α 且 m∥β ③若 α ? β = n, m∥,

α,m ②若 m∥∥,

β 则 α∥β

④若 m ⊥ α , m ⊥ β , 则 α∥β 。

10、设 m 、 n 是两条不同的直线, α 、 β 是两个不同的平面,给出下列命题:① n ∥ α , α ⊥ β ,则 n ⊥

β ;②若 m ⊥ n , n ⊥ α , m ⊥ β ,则 α ⊥ β ;③若 n ⊥ α , α ⊥ β , m ? β ,则 m ∥ n ;④ n ⊥ β , α ⊥ β ,则 n ∥ α ,或 n ? α . 其中真命题是________

高三数学数学基础训练 31
一、考试要求 内 容 等级要求 A B √ C

直线的斜率和倾斜角 平面解析几何初步 二、基础知识 直线方程 直线的平行关系与垂直关系




1.倾斜角:一条直线 L 向上的方向与 X 轴的________所成的_______,叫做直线的倾斜角,范围为 ________。 2.斜率:(1)当直线的倾斜角不是___时,则称其正切值为该直线的斜率,即 k=______;当直线的倾斜 角等于 900 时,直线的斜率_______。 (2)过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=___________ 。 (若 x1=x2,则直线 p1p2 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 900) 3.直线方程的五种形式 名称 斜截式 点斜式 两点式 截距式 方程 说明 k——斜率 b——纵截距 (x0,y0)——直线上 已知点,k——斜率 (x1,y1),(x2,y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 与两坐标轴平行的直线 不能用此式 过(0,0)及与两坐标轴 平行的直线不能用此式 A、B 不能同时为零

一般式

?

A C C ,? ,? 分别为 B A B

斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于 x 轴)的直线;两点式不能表示平行或重合两坐 标轴的直线;截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 4.两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l1 : y = k1 x + b1 l 2 : y = k 2 x + b2
l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0
l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0
三、小题训练

l1 , l 2 有斜率

不可写成分式

1.已知点 A(1, 3 ), B ( ?1,3 3 ) ,则直线 AB 的倾斜角是_________

2:若三点 A(2,2), B (a,0), C (0, b)(ab ≠ 0) 共线,则

1 1 + 的值等于 a b

.

3.过点 P (2, 3) ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是

.

4.直线 l 经过点 P (2, 3) ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,直线 l 的方程_________

5.过点(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程是

.

6.已知直线 l 过点 P (2, 1) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,则△OAB 面 积的最小值为 .

7. 已知 A(7,?4) 关于直线 l 的对称点为 B (?5,6) ,则直线 l 的方程是__________________

8. 已知三条直线 2 x + 3 y + 5 = 0, 4 x ? 3 y + 1 = 0, mx ? y = 0 不能构成三角形,求实数 m 的取值范围为 ____________.

9.若直线 l1 : ax + 2 y + 6 = 0 与直线 l 2 : x + ( a ? 1) y + ( a ? 1) = 0 平行但不重合,则 a 等于___________
2

10. 已知点 A(?3, 5), B (2, 15) ,在直线 l : 3 x ? 4 y + 4 = 0 上求一点 P,使 PA + PB 最小.

高三数学数学基础训练 32
一、考试要求 内 容 等级要求 A B √ √ √ C

直线的平行关系与垂直关系 平面解析几何初步 二、基础知识 1.两点间距离:若 A ( x 1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,则 AB = 两条直线的交点 两点间的距离、点到直线的距离

( x2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2

特别地: AB // x 轴,则 AB = | x1 ? x 2 | 、 AB // y 轴,则 AB = | y1 ? y 2 | 。 2.平行线间距离:若 l1 : Ax + By + C1 = 0, l 2 : Ax + By + C 2 = 0 , 则: d =

C1 ? C 2 A 2 + B2

。注意点:x,y 对应项系数应相等。

3.点到直线的距离: P( x ? , y ? ), l : Ax + By + C = 0 ,则 P 到 l 的距离为: d = 三、小题训练 sin θ ? 1 1.函数f(θ)= 的最大值为_____,最小值为 cos θ ? 2

Ax ? + By ? + C A 2 + B2



2.若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2, 3),B(3,2),则实数 m 的取值范围是 _____________.

3.与直线 2 x + 3 y + 5 = 0 平行,且距离等于 13 的直线方程是

.

4.一条光线从点 P (2, 3) 射出,经 x 轴反射,与圆 ( x + 3) + ( y ? 2) = 1 相切,则反射光线所在直线的方
2 2

程是

.

5.过坐标原点且与圆 x + y ? 4 x + 2 y +
2 2

5 = 0 相切的直线的方程为_______________ 2

6.已知直线 5 x + 12 y + a = 0 与圆 x ? 2 x + y = 0 相切,则 a 的值为
2 2

.

l1 // l2 ,则 a = __ y ? 3 0, l2 : 4 x + 6= y ?1 0 若. 7.已知两条直线 l1 : ax + 3=

.

8.函数 f ( x) = x 3 + 4 x + 5 的图像在 x = 1 处的切线在 x 轴上的截距为_________________.

9. 直线 2x-y-4=0 上有一点 P, 它与两定点 A(4, -1), B(3, 4)的距离之差最大, 则 P 点坐标是_____________.

0 相 交 于 点 A 、 B , 则 弦 AB 的 垂 直 平 分 线 方 程 是 10 . 设 直 线 2 x + 3 y + 1 = 0 和 圆 x2 + y 2 ? 2 x ? 3 =
_________________.

高三数学数学基础训练 32
一、考试要求 内 容 等级要求 A B √ √ C

圆的标准方程和一般方程 平面解析几何初步 二、基础知识 1.圆的方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 空间直角坐标系



(1)圆的标准方程:_______________________。圆心为_________,半径为________ (2)圆的一般方程________________________,圆心为点_______,半径_________________。 注:二元二次方程 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 ,表示圆的方程的充要条件是:
2 2

_________________________。 注:求圆的方程常用的方法:待定系数法(标准方程或一般方程) ;数形结合求圆心、半径 2.圆的重要性质:
C A d O r B

3.直线 Ax + By + C = 0 与圆 ( x ? a ) + ( y ? b) = r 的位置关系有三种( d =
2 2 2

Aa + Bb + C A2 + B 2

) :

(1)若 d > r ? 相离 ; (2) d = r ? 相切 ; (3) d < r ? 相交 。 注:还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ?

? Ax + By + C = 0
2 2 ? x + y + Dx + Ey + F = 0

求解,通过解的个数来判断.

4.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 = d 。

d > r1 + r2 ? 外离 ; r1 ? r2 < d < r1 + r2 ? 相交 ; 0 < d < r1 ? r2 ? 内含 ;

d = r1 + r2 ? 外切 ; d = r1 ? r2 ? 内切 ;

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。

三、小题训练

1 . 已 知 圆 ( x ? 7) + ( y + 4) = 16 与 圆 ( x + 5) + ( y ? 6) = 16 关 于 直 线 l 对 称 , 则 直 线 l 的 方 程
2 2 2 2



.
2 2

2.过坐标原点且与圆 x + y ? 4 x + 2 y +

5 = 0 相切的直线的方程为_________________ 2

3.已知直线 5 x + 12 y + a = 0 与圆 x ? 2 x + y = 0 相切,则 a 的值为
2 2

.

4.直线 3 x + y ? 2 3 = 0 截圆 x + y = 4 得的劣弧所对的圆心角为_______________
2 2

5. 设 直 线 ax ? y + 3 = 0 与 圆 ( x ? 1) + ( y ? 2) = 4 相 交 于 A 、 B 两 点 , 且 弦 AB 的 长 为 2 3 , 则
2 2

a=

.

6.直线 x + y = 1 与圆 x + y ? 2ay = 0 (a > 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是__________
2 2

7.若直线 y = kx + 2 与圆 ( x ? 2) + ( y ? 3) = 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是
2 2

.

8.若直线 y = x + m 与曲线 y =

4 ? x 2 有且只有一个公共点,实数 m 的取值范围为_____.

9.圆 x + y ? 2 x = 0 和圆 x + y + 4 y = 0 的位置关系是______________________
2 2 2 2

10.圆 x + y ? 4 x ? 4 y ? 10 = 0 上的点到直线 x + y ? 14 = 0 的最大距离与最小距离的差是___________
2 2

高三数学数学基础训练 34
一、考试要求 等级要求 A B √ √ C





圆的标准方程和一般方程 平面解析几何初步 直线与圆、圆与圆的位置关系 空间直角坐标系



二、基础知识 1.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。 点 P(x 0,y 0) ,圆的方程: (x ? a ) + (y - b ) = r
2 2 2

如果 (x ? a ) + (y - b )
2

2

2 _____ r ? 点 P(x 0,y 0) 在圆外;

2 2 2 如果 (x ? a ) + (y - b ) ______ r ? 点 P(x 0,y 0) 在圆内; 2 2 2 如果 (x ? a ) + (y - b ) ______ r ? 点 P(x 0,y 0) 在圆上。

2 .圆上一点的切线方程:点 P(x 0,y 0) 在圆 (x ? a ) + (y - b ) = r 上,那么过点 P 的切线方程为:
2 2 2

___________________. 3.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线(注意 分类讨论切线斜率是否存在)

4.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长 问题。d>r ? 相离 d=r ? 相切 d<r ? 相交

5.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为 d,两圆的 半径分别为 r,R d>r+R ? 两圆相离 |R-r|<d<r+R ? 两圆相交 d<|R-r| ? 两圆内含 d=r+R ? 两圆相外切 d=|R-r| ? 两圆相内切 d=0,两圆同心。

6.两圆相交弦所在直线方程的求法: 圆 C1 的方程为:x2+y2+D1x+E1y+C1=0. 圆 C2 的方程为:x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 7.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法:数形结合。 三、小题训练

1. 过点A(0,3) ,被圆(x-1)2+y2=4 截得的弦长为 2 3的直线方程是

2. 设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、B 两点,且弦长为 2 3 ,则 a=

.

0 与圆 x ? 2 x + y = 3. 已知直线 5 x + 12 y + a = 0 相切,则 a 的值
2 2



4. 如图 A、B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交

点,A 点的坐标为 ? , 则(Ⅰ) sin ∠COA =

?3 4? ? ,△AOB 为正三角形, ?5 5?
; (Ⅱ) cos ∠COB 。

y
B O

3 4 A( , ) 5 5 C

x

0 ,则 x + y 的最小值为______________ 5.已知实数 x 、 y 满足 x + y + 2 x =
2 2

6. 方程 x + y + 4mx ? 2 y + 5m = 0 表示圆的充要条件是________________.
2 2

7. 若直线 2ax ? by + 2 = 0 ( a > 0 , b > 0 )被圆 x + y + 2 x ? 4 y + 1 = 0 截得的弦长
2 2

为 4,则

1 1 + 的最小值为__________ a b
2 2

8.圆 C 与圆 ( x ? 1) + y = 1 关于直线 y = ? x 对称,则圆 C 的方程为____________

9.圆心在直线 2 x ? y = 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________

10.点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y2=1 的内部,则 a 的取值范围是______



高三数学数学基础训练 35
一、考试要求
内 容 等级要求 A B √ √ √

C

椭圆的标准方程和几何性质 圆锥曲线与方程 双曲线的标准方程和几何性质 抛物线的标准方程和几何性质

二、基础知识 1.圆锥曲线的两个定义: (1)椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 双曲线中,与 两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |。 (2)第二定义给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系。 2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆:焦点在 x 轴上时

x2 y2 y2 x2 ,焦点在 轴上时 =1( a > b > 0 ) 。 + + = 1 y a2 b2 a2 b2 y2 x2 x2 y2 =1 ,焦点在 轴上: =1( a > 0, b > 0 ) 。 ? ? y a2 b2 a2 b2
2 2

(2)双曲线:焦点在 x 轴上:
2

= y 2 px( p > 0) , ?2 px( p > 0) , = x 2 py ( p > 0) , (3) 抛物线: 开口向右时 开口向左时 y = 开口向上时 ?2 py ( p > 0) 开口向下时 x =
2

4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以

x2 y2 :①范围: ? a ≤ x ≤ a, ?b ≤ y ≤ b ;②焦点③对称性④ + = 1 ( a > b > 0 )为例) a2 b2

c ,椭圆 ? 0 < e < 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。 a x2 y 2 (2)双曲线(以 :①范围: x ≤ ? a 或 x ≥ a, y ∈ R ;②焦点③对称性 ? = 1 ( a > 0, b > 0 )为例) a 2 b2
准线⑤离心率: e =

a2 c ④准线:两条准线 x = ± ; ⑤离心率: e = ,双曲线 ? e > 1 ,等轴双曲线 ? e = 2 , e 越小,开 c a
口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y = ±
2

b x。 a p ; 2

(3) 抛物线 (y : ①范围:x ≥ 0, y ∈ R ; ②焦点: ③对称性: ④准线: 一条准线 x = ? = 2 px( p > 0) ) ⑤离心率:e =

2 2 c b , 抛物线 ? e = 1 。 结论: (1) 以 y = ± x 为渐近线 (即与双曲线 x ? y = 1 共渐近线) a a a2 b2

2 2 的双曲线方程为 x ? y = λ (λ 为参数 λ ≠0) (2)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设 a2 b2

1; (4)椭圆、双曲线的通径为 为 mx + ny =
2 2 2

2b 2 b2 ,焦准距为 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; a c

(6)若抛物线 = y 2 px( p > 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 ① | AB |= x1 + x2 + p ;② x1 x2 = 三、小题训练 1.已知方程

p2 , y1 y2 = ? p 2 4

x2 y2 + = 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为____ 3+ k 2?k

2.双曲线的离心率等于

x2 y2 5 ,且与椭圆 + = 1 有公共焦点,则该双曲线的方程_______ 9 4 2

3.双曲线的渐近线方程是 3x ± 2 y = 0 ,则该双曲线的离心率等于______

4.已知椭圆

x2 y2 + = 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为____ 25 16

5.若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____

6.如果椭圆

x2 y 2 + = 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9

7 与双曲线

x2 y2 ? = 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3 ) 的双曲线方程为_______ 9 16

8.方程 ( x ? 6) 2 + y 2 ? ( x + 6) 2 + y 2 = 8 表示的曲线是_____ 9.点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x + 5 = 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是_______ 10. 一动圆与两圆⊙M: x + y = 1 和⊙N: x + y ? 8 x + 12 = 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为
2 2 2 2

数学基础知识专题训练 01 答案
1. 0 2} 2. 7 3、 0,2 或 18 4. {1,2,3}. 5. {?1,1} 6. D 7. {x | 0 < x < 1} 8. {0,

9. 1

集合 M {x | f ( x) < 0} , 若a>1 时, M={x| 1<x<a}; x?a, = x ?1 a=1 时, M= ∴ f '( x) = ( x ? 1) ? ( x ? a ) >0, 若a<1 时M={x| a<x<1}, ?; = P {x | f ′( x) > 0} , 10 解: 设函数

f ( x) =

( x ? 1) 2
∴ a>1 时,P=R,a<1 时,P= ? ; 已知 M ? P ,所以选C.

数学基础知识专题训练 02 答案
1. ?x ∈ R , 2 ≤ 0 2. ?x ∈ R, x + 2 x + 2 > 0. 3. ?x < 0,有x 2 ≤ 0 4. ? 1 ≤ a ≤ 3
x
2

5. (?∞, ?1) ∪ (3, +∞) 6.充分不必要 7.充要条件

8.必要不充分条件 9.充分而不必要条件

10 充分而不必要的条件附加题:1①②④

2.必要不充分条件

数学基础知识专题训练 03 答案
1、1 个或 0 个 2、非奇非偶 、1 3、 (-1,1) ;4、 a ∈ (1, +∞)
2 4 2

;5、 a ≥ ?

1 ; 6、 2

(2) (?∞, ?3] ? [1, +∞) ;7、 (1) f ( x ) =? x + 2 x , x ∈ [? 2, 2] ; (2) (1) (3, +∞) ; ( 4) f ( x ) = x2 ? 2x + 3 ; ?3 x ? ( 5)

2 ; 3

x ; x ?1
2

数学基础知识专题训练 04 答案
1、 f (a) > f (b) > f (c)
a b c

2、 (?∞,?8]

3、D

4、1

5、

1 4

6、lg(lgx)< (lgx) < lgx

2

2

7、(0,3]

8、 -1

9、 (-∞,0]∪[1,2]

10、8

数学基础知识专题训练 05 答案
1、 < 8、4 < 2、 b
a

a

b

3、 (0,+∞) 4、②④ 5、(0, 偶函数 [0,+∞) (-∞,0)

1 ] 6、a≤-4 7、1 4
10、(9,10)

9、R

(0,+∞)

数学基础知识专题训练 06 答案

1、B

2、充分非必要

3、

1 12

4、 k ≤ ?1

5、(0,2)

6、9 附 加 题

7、 [ ? 3 , 3 ]

8 、 (0,1)

1 9 、 ( ,1) 2

10 、 [?2, )

3 2

: 1. 解 析 :

1 1 1 1 y x y x ? = ( x ? y )( ? ) = 2 ? ? ,注意到 x > 0, y < 0,∴? > 0, ? > 0 ,满足“一 x y x y x y x y
正 ”,

∴?

1 1 y x y x y x 1 1 所以, ? = 2 ? ? ≥ 4 , 当且仅当 = , ? ≥ 2, x? y = 1即 x = , y = ? x y x y x y x y 2 2
时取等号。

所以,

1 1 ? 最小值为 4。 x y

2.

3 2 _3、 2 2 ? 3 4

数学基础知识专题训练 07 答案
1、 (2,9) 2、 (-∞,-5)∪(5,+∞) 6、 (-2,2] 7、 (-1,1) 8、π 9、C 10、[-5,7] 3、1: (-4) :3 4、-3 -4 5、②③⑤

数学数学基础训练 08
1.⑴角度制与弧度制的互化: π 弧度 = 180 ? , 1? =

π

180 1 1 ⑵弧长公式: l = θR ;扇形面积公式: S = θR 2 = Rl 。 2 2

弧度, 1 弧度 = (

180

π

) ? ≈ 57 ?18 '

2. 三角函数定义:角 α 中边上任意一点 P 为 ( x, y ) ,设 | OP |= r 则:

sin α =

y x y , cos α = , tan α = r r x

3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律: “函数名不(改)变,符号看象限” ; 5.同角三角函数的基本关系: sin 2 x + cos 2 x = 1;

sin x = tan x ; cos x

1.已知

tan α =

1 cos α + sin α = 2 ,则 cos α ? sin α

3

象限 2.若sinθcosθ>0,则θ在第 一、三 3. 若A、 B是锐角△ABC的两个内角, 则点P (cosB-sinA, sinB-cosA) 在 第 二 象限

α
2.已知“ α 是第三象限角,则 3 是第一、三、四象限角 3.已知角 α 的终边过点 (a, 2a )(a ≠ 0) ,则cos α = 4.已知角 α 的终边上一点 P(? 3, m) ,且
sin α = 5 5 a ? a 5 或 5 2m 15 0或 ± 4 ,则 tan α = 3 。

cos 405 0 0 5. (2001 全国文,1)tan300°+ sin 405 的值是1- 3
4 5 ,则 tan α 的值为 6. 已知点 P (?3, y ) 在角 α 的终边上,且满足 80πcm 2 7. 扇形的圆心角是 72° ,半径为 20cm, 则扇形的面积为 sin α = ? 4 3

8.已知

sin α =

12 5 cos α = ? 13 ,则角 α 所在的象限是 13 ,

第二象限
3 2

.

1 3 , 9.若 cos(π+α)=- 2 2 π<α<2π,则 sin(2π-α)等于

10.函数 y = sin x + 2 | sin x | , x ∈ [0,2π ] 的图象与直线 y = k 有两个交点,则 k 的取值范围为 (1,3)

数学基础训练 10
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; ② cos(α ± β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; ③ tan(α ± β ) = 2.二倍角公式:① sin 2α = 2 sin α cos α ; ② cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α ;③ tan 2α = 3。 S ?ABC =

tan α ± tan β 。 1 ? tan α tan β
2 tan α 。 1 ? tan 2 α

1 1 ah = ab sin C = 2 2
a+b+c

p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) , ( p =

1 (a + b + c)) ; 2

⑵内切圆半径 r= 2 S ?ABC ;外接圆直径 2R=

a b c = = ; sin A sin B sin C

1.化简

1 ? 2 sin 10° cos10° cos10° ? 1 ? cos 2 170°

=

1



2.已知 sin( x +

π
6

)=

π 5 19 1 ,则 sin( π ? x) + sin 2 ( ? x) = 6 3 16 4

3.如果点 P (sin θ cos θ ,2 cos θ ) 位于第三象限,那么角 θ 所在象限是.第二象限 4.已知 α 是三角形的一个内角,且 sin α + cos α =

2 ,则这个三角形钝角三角形 3
,则 。 。 , ,求

5. 已知 6. 8. 化简

, ,则

是第二象限角,又 。7. 。9 已知







解: 10 已知 值。解: ①-②: , ① ∴ , , 求 ② ∴ 的

数学基础训练 09 填空题(本大题共 10 小题,每题 4 分,共 50 分)
1.函数f(x)=5sinxcosx-5 3 cos2x+ 2.已知 cos(
5 3 (x∈R)图象的对称中心为( 2

kπ π + ,0) ,(k∈Z) 2 6

π
4

2 7 + x) = 3 ,则 sin 2 x ? 2sin x 的值为

5

1 ? tan x

25

3.函数 f(x)=

? 2 +1 ? ? 2 ? 1? sin x cos x ? ? 1, 的值域为 ?? ,?1? ? ?。 ? ? 2 2 1 + sin x + cos x ? ? ? ?
k 2 大于 2,则正整数k的最小值是___13____ x + )-5 的最小正周期不 . 4 3
2

4. f (x) =2cos(

5.如果 x ≤

1? 2 2 4 3π 7π ? π ? 6.函数 y = sin( ?2 x + ) 的单调增区间是 ? kπ + , kπ + (k ? Z ) 8 8 ? 4 ? ? 3π π 2 2 7.函数 f ( x) = sin x + cos( x ? ) 的图象相邻的两条对称轴间的距离是 2 3 3 6
,那么函数 f ( x) = cos x + sin x 的最小值是 8.在△ABC 中,BC=1,∠B=

π

π
3

,当△ABC 的面积为 3 时, tan ∠C = ?2 3

?π ? ? x ? ,直线 x = m 与 f ( x) 、 g ( x) 的图像分别交 ?2 ? 于 M 、 N 两点,则 | MN | 的最大值是 | MN |max = 2 . g ( x) sin ? = 9.已知函数 f ( x) = sin x ,
10.已知 a =(1,2sinx) b =( 3 cos2x,—cosx)设函数 f(x)= a · b . (1)若 x ∈ [? π ,0] ,求 f(x)的最大值、最小值并求出对应的 x 值; (1)f(x)= 3 cosx—2sinx·cosx= (2)求 f(x)在区间 [ ?π ,0] 的递减区间.解:

3 cosx—sin2x=2cos(2x+
? ?π ≤ x ≤ 0 ∴ ?

π

π
6

6 6 6 π 7π (x) = ?2 当2 x + = ?π时,即x = ? 时f min 6 12
(2) 2kπ ≤ 2 x +

≤ 2x +

π

6

) .



π

∴当2 x +

π

= 0时,即x = ?

π
12

时f max ( x) = 2

π

π 5π 5π 13π 7π (k ∈ z)k = 0, ? ≤x≤ k = 1, ? ≤x≤? 12 12 12 12 12 12 π 7π ∴ f(x)在区间[?π, ? 0]的递减区间是[? , 0]和[?π, ] 12 12
kπ ? ≤ x ≤ kπ +
说明: 近两年江苏试题没有向量与三角的解答题, 而其它省市多以这样的题目作为解答题的 第 1 题,而三角公式、函数的图象及性质也是命题重点,因这样的目的出此题.

π

6

, ≤ 2kπ + π(k ∈ z)

数学基础训练 12
1. 正、 余 弦 定 理⑴正弦定理

a b c = = = 2 R( 2 R 是 ?ABC 外接圆直径) sin A sin B sin C

注:① a : b : c = sin A : sin B : sin C ;② a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C ;③

a b c a+b+c 。 = = = sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C
2.余弦定理: a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A 等三个;注: cos A =

b2 + c2 ? a2 等三个。 2bc

1. 在△ABC 中,若 c = 10 2 , C = 60° , a =

20 3 ,则 A = 45? . 3

2. 在△ABC 中,B=1350,C=150,a=5,则此三角形的最大边长为 5 2 . 3. 在锐角△ABC 中,已知 A = 2 B ,则的

a 取值范围是 b

(

2, 3 .

)

4. 在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线 AD =

7 ,那么BC= 2

9

.

5. 已知锐角三角形的三边长分别为 2、3、 x ,则 x 的取值范围是 ( 5, 6. 在△ABC 中,已知 tan A =

13) .

1 1 , tan B = ,则其最长边与最短边的比为 5 : 3 . 2 3

7、△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为.直角三角形 8、海上有A、B两个小岛相距 10 海里,从A岛望C岛和B岛成 60°的视角,从B岛望C岛和 A岛成 75°的视角,则B、C间的距离是5 6 海里 9、 有一长为 1 公里的斜坡, 它的倾斜角为 20°, 现要将倾斜角改为 10°, 则坡底要伸长2cos10°

公里

数学基础训练 11
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; ② cos(α ± β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; ③ tan(α ± β ) = 2.二倍角公式:① sin 2α = 2 sin α cos α ; ② cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α ;③ tan 2α = 3。几个公式:⑴三角形面积公式:

tan α ± tan β 。 1 ? tan α tan β
2 tan α 。 1 ? tan 2 α

S ?ABC =

1 1 ah = ab sin C = 2 2
a+b+c

p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) , ( p =

1 (a + b + c)) ; 2

⑵内切圆半径 r= 2 S ?ABC ;外接圆直径 2R=

a b c = = ; sin A sin B sin C

1.

3 ? sin 700 = 2 2 ? cos 2 100
4 7π π 4 )+sinα= 3 , 则 sin(α ? )的值是 ? 6 5 6 5

2.已知 cos(α-

3.

4.若 cos a + 2 sin a = ? cot x ( tan x + cot x ) cos 2 x =

5 , 则 tan a =

2

5.已知 tan α =

(sin α + cos α ) 2 1 ,则 = cos 2α 2

3

6.若 sin(

π

3 7 ,则 cos 2θ = ? 。 +θ ) = 2 5 25

7. 化简: cos ?

?π ? ?π ? cos α . + α ? + sin ? + α ? = ?3 ? ?6 ?

8. 化简

? 1 1 1 1 α ?? ? 3π = sin ? + cos 2α ? α ∈? , 2π ? ? ? ? 2 2 2 2 2 ?? ? 2 ?
cos 2 α ? sin 2 α =1 ? ? ?π 2?π 2 cot? + α ? cos ? ? α ? ? ? ?4 ?4

9. 化简

10. 化简 sin220°+cos250°+sin20°cos50°=

3 4

数学基础训练 13
1、若 AB = (2, 4) , AC = (1,3) ,

??? ?

????

则 BC = ___(-1,-1)____ (6,5) ;2 b · a = -4

??? ?

2、若向量 a =(3,2) , b =(0,-1) ,则 2 b - a =

= 3、已知向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且 a

b = 4 ,那么 a ?b 的值为____ ?8 ____.

4、设ABCD是平行四边形,O是对角线AC与BD的交点,且 AB = a , AD = b ,则下列命题中 正确的有 ①②③④ (填序号) ② 当| a |=| b |=| a - b |=1 时,| a + b |= 3 ;

① DC + BC = a + b ; ③

当 a + b 与 a - b 垂直时,则∣ a ∣=∣ b ∣; ④ 当| a + b |=| a - b |时,则 a ⊥ b 若 c = λ a + ? b ,则 λ + ? = -1
0

5、已知向量 a =(1,1) , b =(1,-1) , c =(-1,2) ,

e2 = 1,e1、 e2 满足 e1 = 2, e2 的夹角为 60 , 6、已知向量 e1、
设 a = 2t e1 + 7e2 , b = e1 + t e2 , (1)若 a ∥ b ,则实数 t = -7 ;

±

14 2



(2)若 a ⊥ b ,则实数 t =

?

1 或 2

(3) 若 a 与 b 的夹角为钝角, 则实数 t 的取值范围是

[?7,?

14 14 1 ) ? (? ,? ] 2 2 2



7、已知 a , b 是非零向量且满足( a -2 b )⊥ a , ( b -2 a )⊥ b , 则 a 与 b 的夹角是 60°

8、已知向量 a , b 满足︱ a ︱=1,︱ b ︱=2,︱ a - b ︱=2,则︱ a + b ︱= 6 9、 已知点A (1, 5) 、 B (7, 1) 、 M (1, 2) , O是坐标原点, 点P是直线OM上的动点。 当 PA ? PB 取最小值时,求 OP 的坐标(2,4),并求∠APB的值 ?

4 17 。 17

10、若向量 b 与向量 a =(1,-2)的夹角是 180°,且︱ b ︱=3 5 ,则 b = (-3,6)

数学基础训练 14
1.若有以下命题: ① 两个相等向量的模相等; ③ 相等的两个向量一定是共线向量; ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量; 其中正确的命题序号是 ①④ ② 若 a 和 b 都是单位向量,则 a = b ; ④ a // b , c // b ,则 a // c ; ⑥ 两个非零向量的和可以是零。 。

2. 在水流速度为 4 km / h 的河流中, 有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 km / h 的速度航行, 则船自身航行速度大小为______ 4 5 ______ km / h 。 3. 任给两个向量 a 和 b ,则下列式子恒成立的有_____②③___________。 ① | a + b |≥| a | + | b | ③ | a ? b |≤| a | + | b | ② | a ? b |≥| a | ? | b | ④ | a ? b |≤| a | ? | b |

4. 若 AB = 3a , 则四边形 ABCD 的形状为___等腰梯形_____。 CD = ?5a 且 | AD |=| BC | , 5.梯形 ABCD 的顶点坐标为 A(?1,2) , B (3,4) , D (2,1) 且 AB // DC , AB = 2CD ,则 点 C 的坐标为______(4,2)_____。

B( x2 y 2 ) , 6. ?ABC 的三个顶点坐标分别为 A( x1 , y1 ) , 若 G 是 ?ABC 的重心, C ( x3 y 3 ) ,
则 G 点 的 坐 标 为 ____ ( ____________。 7. 若向量 a = (1,1) , b = (1,?1) , c = (?1,2) ,则 c =

x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 , ) ______ , GA + GB + GC = ______ 0 3 3

1 3 a ? b (用 a 和 b 表示)。 2 2 3 5 4 5

8. 与向量 a = (3,4) 平行的单位向量的坐标为 ( , ) 或 (? ,? ) 。 9. 在 ?ABC 中,已知 AB = 7 , BC = 5 , AC = 6 ,则 AB ? BC = ? 19 。 10. 设 a = ( x,3) , b = (2,?1) , 若 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 , 则 x 的 取 值 范 围 是

3 4 5 5

3 (?∞,?6) ? (?6, ) 。 2

数学基础训练 15
1. 已知三个向量 a=(cos θ 1 , sin θ 1 ), b=(cos θ 2 , sin θ 2 ), c= (cos θ 3 , sin θ 3 ), 满 足 a+b+c = 0, 则 a 与 b 的夹角为

2 π 3

2.若 o 为平行四边形 ABCD 的中心, AB =4 e 1, BC = 6e2 , 则3e2 ? 2e1 等于 BO 3.若 a = (5,?7), b = (?1,2) ,且( a + λb ) ⊥ b ,则实数 λ 的值为 4.已知 | a |=| b |= 2 , a 与 b 的夹角为

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

19 . 5
3 。

π ,则 a + b 在 a 上的投影为 3

5.在直角坐标平面上,向量 OA = (4,1) ,向量 OB = (2,?3) ,两向量在直线 l 上的正射影长 度相等,则直线 l 的斜率为 3或 -

1 2

6 . 设 平 面 向 量 a =(-2,1) , b =(1, λ ) , 若 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 , 则 λ 的 取 值 范 围 是 1 1 (?∞,? ) ? (? ,2) 。 2 2

7.已知向量 OB = (2,0), OC = (2,2), CA = ( 2 cos α , 2 sin α ) ,则向量 OA, OB 的夹角范围是 π 5π [ , ]。 12 12 8.将函数 y = 2 x 的图象按向量 a 平移后得到 y = 2 x + 6 的图象,给出以下四个命题: ① a 的坐标可以是 (?3,0) ; ③ a 的坐标可以是 (0,6) ; 上述说法正确的是①②③④。






② a 的坐标可以是 (?3,0) 和 (0,6) ; ④ a 的坐标可以有无数种情况。




9. 已 知 ?ABC 中, CB = a, CA = b, a ? b < 0, S ?ABC =

15 则 a 与 b 的夹角为 , | a |= 3, | b |= 5 , 4

150 0 。

10.若△ABC 三边长 AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 等于 ? 5 。

数学基础训练 16
1.已知数列 {an } 满足条件 ( n ? 1 )an+ 1 = ( n + 1 )( an ? 1 ) ,且 a2 = 6 ,设 bn = an + n ,那么 数列 {an } 的通项公式是 a n = 2 n 2 ? n

2.x= ab 是a、x、b成等比数列的既非充分又非必要条件 3.已知数列{an}的前n项和Sn=a -1(a ∈ R, a ≠ 0 ),则数列{an}等差数列或等比数列
n

4.弹子跳棋共有 60 颗大小的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛,使剩下的 弹子尽可能的少,那么剩余的弹子有 4

5.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于 2003 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元,为 还清这笔贷款, 该家长从 2004 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还确定的金额, 计划恰好 在贷款的 m 年后还清,若银行按年利息为 p 的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息

也纳入本金计算新的利息) ,则该学生家长每年的偿还金额是

ap (1 + p ) m (1 + p ) m ? 1

6.已知 {a n } 为等比数列, a1 = 2, q = 3 ,又第 m 项至第 n 项的和为 720 ( m < n) ,则

m= 3

, n=

6
2

7.数列 {a n } 对任意 n ∈ N * 都满足 a n + 2 = a n ? a n + 4 ,且 a 3 = 2, a 7 = 4, a n > 0 , 则 a11 = 8

8.已知函数 f ( x) =

x2 7 1 1 1 ,那么 f (1) + f (2) + f ( ) + f (3) + f ( ) + f (4) + f ( ) = 2 2 2 3 4 1+ x

9. 一个项数为偶数的等比数列, 首项是 1, 且所有奇数项之和是 85, 所有偶数项之和是 170, 则此数列共有__8__项 10.在各项为正数的等比数列 {a n } 中,已知 a3 + a 4 = 11a 2 ?a 4 ,且前 2n 项的和等于它的 前 2n 项中偶数项之和的 11 倍,则数列 {a n } 的通项公式 a n =

1 10n ? 2

数学基础训练 17
1.等比数列定义 一般地,如果一个数列从第二项起 ,每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ,那么这 .... ..

个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示 (q ≠ 0) , (2 ) (3)都是等比数列,它们的公比依次是 2, 即: an +1 := an q (q ≠ 0) 数列对于数列(1)

1 。 (注意: “从第二项起” 、 “常数” q 、等比数列的公比和项都不为零) 2 2.等比数列通项公式为: a n = a1 ? q n ?1 (a1 ? q ≠ 0) 。 说明: (1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比 d = 1 时该数列既是等比数列也是 a 等差数列; (2)等比数列的通项公式知:若 {an } 为等比数列,则 m = q m ? n 。 an 使 a, G , b 成等比数列, 那么 G 叫做 a与b 的 3. 等比中如果在 a与b 中间插入一个数 G ,
5, ? 等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项) 。 4.等比数列前 n 项和公式 一般地,设等比数列 a1 , a2 , a3 ,? , an ,? 的前 n 项和是 S n = a1 + a2 + a3 + ? + an ,当

q ≠ 1 时, S n =

a1 (1 ? q n ) a ? an q 或 Sn = 1 ;当 q=1 时, S n = na1 (错位相减法) 。 1? q 1? q n (2) 注意求和公式中是 q , 说明: (1) a1 , q, n, S n 和 a1 , a n , q, S n 各已知三个可求第四个;
n ?1

通项公式中是 q

不要混淆; (3)应用求和公式时 q ≠ 1 ,必要时应讨论 q = 1 的情况。

1.在等比数列{an}中,已知a1=

3 ,a4=12,则q= 2 __,an=__ 3 ? 2 n ? 2 2

___.

2.在等比数列{an}中,an>0,且 an+2=an+an+1,则该数列的公比 q=

1+ 5 .? 2
512 .

3. 在等比数列 {an} 中 ,已知a4a7=-512, a3+a8=124, 且公比为整数, 求a10=

( a + b) 2 4.已知 x > 0 , y > 0 , x,,, 的 a b y 成等差数列, x,,, c d y 成等比数列,则 cd
最小值是 4 5. 等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已 知 S1 ,2 S 2 , 则 {an } 的公比为 3S3 成等差数列,

1 3

. 9

1 1 (? ) n-1,数列{a n }的前n项之和为S n,则满足│S n ? 4 · │< 的最小正整数n是 6 . 设a n = 6 2 100

7. {a n } 是等差数列,S10>0,S11<0,则使 a n <0 的最小的n值是

6

8 . 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 S n 与 通 项 a n 满 足 关 系 式 S n = na n + 2n 2 ? 2n( n ∈ N *) , 则

a100 ? a10 的 值 为

? 360 ; 9 . 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 Sn
Sn n2



, 且

a 4 ? a 2 = 8, a 3 + a 5 = 26.记Tn =
成立,则M的最小值是 2

, 如果存在正整数M,使得对一切正整数n,Tn ≤ M 都

An a 4 7n + 1 (n∈N),则 11 的值等于 = 3 Bn 4n + 27 b11

{bn } 的前 n 项和 An 和Bn 满足 10.若两个等差数列 {an }、

数学基础训练 18
1.已知等差数列 {a n } 中, a 59 = 70 , a80 = 112 ,则 a101 = 154 . 40 .

2.在等差数列 {a n } 中, a3 + a5 + a 7 + a9 + a11 = 100 ,则 3a9 ? a13 =

3.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = 2n 2 ? 3n ,由 a1 , a 3 , a 5 , a 7 ,…, a 2 n ?1 组成一 组新数列 {c n } ,其通项公式为 8n ? 9 . 4.一个等差数列的前 4 项之和是 40,最后 4 项之和为 80,所有项之和是 210,则项数 n 是 14 . 5.在等差数列 {a n } 中, a 1 = 25 , S 9 = S17 ,则前 14 项和最大.

6.在等差数列 {a n } 中,公差 d ≠ 0 ,且 a1 ,a 3 ,a 9 成等比数列,则

a1 + a3 + a9 13 = . a 2 + a 4 + a10 16

7.在等比数列 {a n } 中, a1 + a 2 = 40 ,a1 + a 2 + a3 + a 4 = 100 ,则 a 7 + a8 = 8.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = 2 n ? 1 ,则数列 {a n } 的前 n 项和 Tn =
2

135

.

4n ? 1 . 3

9. 根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律, 试猜想第 n + 1 个图中有 n 2 + n + 1 个 点.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

10.如果一个数列 {a n } 满足 a n + a n ?1 = h ,其中 h 为常数, n ∈ N * , n ≥ 2 ,则称数列

{a n } 为等和数列, h 为公和, S n 是其前 n 项和,已知等和数列 {a n } 中 a1 = 1 , h = ?3 ,
则 a 2008 = ? 4 , S 2009 = ? 3011 .

数学基础训练 19 答案 1、1 8、
5

2、2 9、2

3、必要不充分 10、第一

4、1 11、 m <
2 3

5、-1

6、-2

7、0 或 2

12、1 个

数学基础训练 20 答案 1、 cos x +
y = x ?1

1 x

2、5 8、 1

米/秒

3、120° 9、
1 9

4、2;1 10、 2

5、3

6、

7、 -2

11、 3 x ? y ? 11 = 0

数学基础训练 21 答案 1、6 8、C
1? 2、 ? ? ? ? ?1, ? 2?

3、 2

4、2

5、[ ,+∞)

1 e

6、-37

7、(0,1)

9、C 数学基础训练 22 答案

1、 e

2、

1 4

3、 [? 1,0]

4、1

5、 (?∞, 0)

6、y=3x-5

7、4

;-11

8、m>7

9、解:(Ⅰ) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= 当 x 变化时,f’(x)与 f(x)的变化情况如下表:

1 m, 3

x f’(x) f (x)

(-∞,-m) +

-m 0 极大值

(-m,

1 m) 3

1 m 3
0 极小值

(

1 m ,+∞) 3
+



从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9, 即 f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1, 依题意知 f ′( x) =3x2+4x-4=-5,∴x=-1 或 x=- 又 f(-1)=6,f(-

1 . 3

1 68 )= , 3 27 68 1 =-5(x+ ), 27 3

所以切线方程为 y-6=-5(x+1),或 y- 即 5x+y-1=0,或 135x+27y-23=0.

数学基础训练 23 答案
1、(2)(3) 2、 4 3、23 4、9 5、30 6、 ?

1 ,4 2

7、1,4,2,6

数学基础训练 24 答案 1、归纳推理 2、
2? 2 2

3、表面积相等的所有长方体和球中,球的体积最大
4、 x

5、 41 ; 4( n ? 1)

6、D

7、 ( s ? a)( s ? b)( s ? c)( s ? d ) (其中 a,b,c,d 为各边长,p 为四边形半周长) 8、 an =
1 2n ? 1

9、 R( S?ABC + S?ABD + S?ACD + S?BCD ) 数学基础训练 25 答案

1 3

10、 ↑ ; →

1、 15,10, 20 6、810

2、丙 7、200

3、22 和 36 8、 85 , 1.6

4、760 9、 10.5,10.5

5、1 10、 160

数学基础训练 26 答案
1、

3 10

2、

5 36
5 12

3、

3 10
3 4

4、 8、

4π ? 3 3 12π
1 9
9、

5、0.01

6、

7、

12 23 10、 27 5

数学基础训练 27
1、

1 4 13 1 2? 2 2、 3、 4、 5、 6、1.5 个单位 2 3 9 16 6 7、B 8、②④⑤ 9、1.78;不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论

数学基础训练 28
1.自己算下吧 2. ② 和 ④ 3.

4 3 3

4. 36 3

5. 2 2 6. 1.5π 7.

1 + 2π 2π

8. 18

9.

π 10.

3 2

数学基础训练 29
1.B 2. 1 10. 平行 3. 1 4. ②③④ 5. ①③④⑤ 6. ① ②7. ①③④ 8. ① ④ 9. (2) (4)

数学基础训练 30
1. ①、④ 2. 3 3. ③ 4. 2 5. ④ 6. 2;7. 2 8. ②③ 9. 1 10. ② ④

数学基础训练 31
1. 2.

2π 3
1 . 2

3. x ? y + 1 = 0 或 3 x ? 2 y = 0 . 4. 解: x ? y + 1 = 0 或 x + y ? 5 = 0 . 5. 解 : 设 所 求 直 线 方 程 为 y + 4 = k ( x + 5) , 依 题 意 有

1 4 ( ? 5)(5k ? 4) = 5 , ∴ 2 k
2 8 或 k = .∴直线的方程 5 5

25k 2 ? 30k + 16 = 0(无解)或 25k 2 ? 50k + 16 = 0 ,解得 k =
是 2 x ? 5 y ? 10 = 0 或 8 x ? 5 y + 20 = 0 6. 解:设直线 AB 的方程为 y ? 1 = k ( x ? 2) (k < 0) ,

则 S ?OAB = 1 (2 ? 1 )(1 ? 2k ) = 1 4 ? 4k ? 1 = 1 [4 + (?4k ) + (? 1 )] ≥ 1 [4 + 2 (?4k ) ? (? 1 ) ] = 4 , 2 2 2 k k 2 k k 当且仅当 ? 4k = ?

1 1 1 即 k = ? 时取等号,∴当 k = ? 时, S ?OAB 有最小值 4. k 2 2

7. 解: 依题意得, 直线 l 是线段 AB 的垂直平分线.∵ k AB = ? 的中点为(1,1) ,∴直线 l 的方程是 y ? 1 =

5 1 6 , ∴ kl = ? ∵ AB = , 6 k AB 5

6 ( x ? 1) 即 6 x ? 5 y ? 1 = 0 ; 5

8. 解:依题意,当三条直线中有两条平行或重合,或三条直线交于一点时,三条直线不能 2 4 ? 构成三角形,故 m = ? 2 或 m = 4 或 m = 1 ,∴实数 m 的取值集合是 ? ?? , ,1? . 3 3 ? 3 3 ?
2 a 1 9. 解:∵ l1 // l 2 ,∴ k1 = k 2 且 b1 ≠ b2 ,∴ ? = ? 且 ? 3 ≠ ? a ? 1 ,解得 a = ?1 2 a ?1 a ?1

10. 解:由题意知,点 A、B 在直线 l 的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点 A 关于直线 l 的对称点 A' ,然后连结 A' B ,则直线 A' B 与 l 的交点 P 为所求.事实上,设点 P' 是 l 上异 于 P 的点,则 P' A + P' B = P' A' + P' B > A' B = PA + PB .设 A' ( x, y ) ,则 ? ?x+3 4
?y ?5 3 ? = ?1 ,解 ? x ? 3 y + 5 ?3 ? ? 4? +4=0 ? 2 2 ?

得?

?x = 3 ?3 x ? 4 y + 4 = 0 ,∴ A' (3,?3) ,∴直线 A' B 的方程为 18 x + y ? 51 = 0 .由 ? , ? y = ?3 ?18 x + y ? 51 = 0

8 ? x = ,∴ P ( 8 ,3) . 解得 ? 3 ? 3 ? ?y = 3

数学基础训练 32;
1.

4 ,0 3

2. (?∞, ? 4 ] ∪ [ 5 , +∞)
3 2

3. 2 x + 3 y + 18 = 0 或 2 x + 3 y ? 8 = 0

4. 4 x + 3 y + 1 = 0 或 3 x + 4 y + 6 = 0 . 5. y = ?3 x 或 y =

1 x 3 6. a = 8 或 a = ?18
8. ?

7. 2

3 7

9. (5,6) 10. 3 x ? 2 y ? 3 = 0 数学基础训练 33 1. 6 x ? 5 y ? 1 = 0 . 2.解:设直线方程为 y = kx ,即 kx ? y = 0 .∵圆方程可化为 ( x ? 2) 2 + ( y + 1) 2 =

5 ,∴圆 2

心为(2,-1) ,半径为

2k + 1 10 10 1 = .依题意有 ,解得 k = ?3 或 k = ,∴直线方 2 2 3 k 2 +1

程为 y = ?3 x 或 y =

1 x 3
5+a 5 + 12
2 2

3. 解:∵圆 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 的圆心为(1,0) ,半径 为 1,∴

= 1 ,解得 a = 8 或

a = ?18 .
4. 解:依题意得,弦心距 d =

3 ,故弦长 AB = 2 r 2 ? d 2 = 2 ,从而△OAB 是等边三

角形,故截得的劣弧所对的圆心角为 ∠AOB =

π
3

.

5. 解: 由弦心距、 半弦长、 半径构成直角三角形, 得(

a +1 a +1
2

) 2 + ( 3) 2 = 2 2 , 解 得 a = 0.

6. 解:依题意有

a ?1 2

> a ,解得 ? 2 ? 1 < a < 2 ? 1 .∵ a > 0 ,∴ 0 < a < 2 ? 1 .

7. 解:依题意有

2k ? 1 k +1
2

< 1 ,解得 0 < k <

4 4 ,∴ k 的取值范围是 (0, ) . 3 3

8. 解:∵曲线 y =

4 ? x 2 表示半圆 x 2 + y 2 = 4( y ≥ 0) ,∴利用数形结合法,可得实

数 m 的取值范围是 ? 2 ≤ m < 2 或 m = 2 2 . 9. 解:∵圆 ( x ? 1) + y = 1 的圆心为 O1 (1,0) ,半径 r1 = 1 ,圆 x + ( y + 2) = 4 的圆心
2 2 2 2



O2 (0,?2) , 半 径 r2 = 2 , ∴

O1O2 = 5 , r1 + r2 = 3, r2 ? r1 = 1 . ∵

r2 ? r1 < O1O2 < r1 + r2 ,∴两圆相交.
10. 解:∵圆 ( x ? 2) + ( y ? 2) = 18 的圆心为(2,2) ,半 径 r = 3 2 ,∴圆心到直线的
2 2

距离 d =

10 2

= 5 2 > r ,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差

是 ( d + r ) ? ( d ? r ) = 2r = 6 2 . 数学基础训练 34 1 1. x=0 或y=- 3x+3 2. 0 3. a = 8或18

4.

4 3?4 3 , ; 10 5

5. ? 2 ? 1 6. m <

1 或m > 1 4
2 2

7.4. 8. x + ( y + 1) = 1 .;

9. ( x ? 3) + ( y ? 3) = 9 或 ( x ? 1) + ( y + 1) = 1
2 2 2 2

10.

| a |<

1 13

数学基础训练 35;
1.

1 1 x2 3. (?3, ? ) ? (? , 2) 2. ? y2 = 1 2 2 4

13 13 或 2 3

4.

35 ; 5. 7, (2, ±4) 6. 3
10. 双曲线的

4 x2 y 2 ? = 1 8. 双曲线的左支 . 9. y 2 = 16 x x + 2y ?8 = 0 7. 9 4
一支


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