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向量与三角交汇的全面解析


向量与三角交汇的全面解析
广东 谭渊 当今数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性.向量是高中新增内容, 具有代数与几何形式的双重身份.它是新旧知识的一个重要的交汇点,是联系这些知识的桥梁.因此,向量与三角 的交汇是当今数学命题的必然趋势,下面举例说明. 一、向量与三角函数性质的交汇 3x 3x ? x x? ? ? ? π? sin ? , b ? ? co

s , ? sin ? ,且 x ? ? 0, ? ,求: 例 1 已知向量 a ? ? cos , 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2?
·b及 a?b ; (1) a

3 (2)若 f ( x) ? a · b ? 2? a ? b 的最小值是 ? ,求 ? 的值. 2 3x x 3x x · b ? cos · cos ? sin · sin ? cos 2 x ; 解析: (1) a 2 2 2 2
3x x ? ? 3x x? ? a ? b ? ? cos ? cos ? ? ? sin ? sin ? ? 2 ? 2cos 2 x ? 2 cos2 x . 2 2? ? 2 2? ?
? π? ? x ? ? 0, ? ,? cos x ? 0 ,? a ? b ? 2 cos x . ? 2?
2 2

(2) f ( x) ? cos 2 x ? 4? cos x ,即 f ( x) ? 2(cos x ? ? )2 ? 1 ? 2? 2 ,
? π? ? x ? ? 0, ? ,? 0 ≤ cos x ≤ 1 . ? 2? ① 当 ? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f ( x) 取得最小值 ?1 ,这与已知矛盾.

② 当 0 ≤ ? ≤1 时,当且仅当 cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ?1 ? 2? 2 ,

3 1 由已知 ?1 ? 2? 2 ? ? ,解得 ? ? . 2 2 ③ 当 ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1 时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? , 3 5 由已知得 1 ? 4? ? ? ,解得 ? ? ,这与 ? ? 1 相矛盾. 2 8

1 即为所求. 2 点评:本题是以平面向量的知识为平台,考查了三角函数的有关运算,运用了分类讨论的思想方法. 二、向量与三角函数求值、运算的交汇 2π) , a 与 c 的夹角为 ? 1 , b 与 例 2 设 a ? (1 ? cos ? ,sin ? ) ,b ? (1 ? cos ? ,sin ? ) , c ? (1,0) ,? ? (0,π),? ? (π,
综上所述, ? ?

c 的夹角为 ? 2 ,且 ?1 ? ?2 ?

π ? ?? ,求 sin 的值. 6 4

解析:? a ? (1 ? cos ? )2 ? sin 2 ? ? 2cos

?
2



b ? (1 ? cos ? )2 ? sin 2 ? ? 2sin
又a · c ? 1 ? cos ? ? 2cos2
? cos ?1 ? ?

?
2

, c ? 1,

?
2

,b · c ? 1 ? cos ? ? 2sin 2

?
2



a ·c ? b ·c ? ? cos , cos ? 2 ? ? sin . a c 2 b c 2

? ? π? ? ? 0, ? ,??1 ? . 2 2 ? ? ? ?π ? π π ? 2π) ,? ? ? ,π ? ,即 0 ? ? ? , 又 ? ? (π, 2 ?2 2 2 2 ?
2

?

由 cos ? 2 ? sin

?

? π ?? π? ? cos ? ? ? ,得 ?2 ? ? ; 2 2 2 ? 2 2?

由 ?1 ? ?2 ?

? ?? π? π π ,得 ? ? ? ? ? , 2 ? 2 2? 6 6

?

π ? ?? π ?? , ?? . 2 3 4 6 ? ?? 1 ? π? ? sin ? sin ? ? ? ? ? . 4 2 ? 6?

? ??

点评:本题以向量的夹角概念为背景,考查了三角函数求值的有关知识. 三、向量与三角变换的交汇 例 3 已知 A,B 是三角形 ABC 的两个内角,a ? cos 若a ?
3 2 · tan B 的值. ,求 tan A 4
2

5 A? B A? B i ? sin j, 其中 i , j 为相互垂直的单位向量, 2 2 2

5 A? B A? B A? B 5 2 A? B i ? sin j ) 2 ? cos2 ? sin 2 2 2 2 4 2 1 ? cos( A ? B) 5 1 ? cos( A ? B) 9 ? ? ? ? , 2 4 2 8 整理得 4cos( A ? B) ? 5cos( A ? B) .

解析: a ? ( cos

? 4 cos A cos B ? 4sin A sin B ? 5cos A cos B ? 5sin A sin B , · sin B ? cos A cos B ? 0 . 即 9sin A

1 tan A · tan B ? . 9


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