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2.2.3 直线与平面平行的性质


2.2.3 直线与平面平行的性质

教室内日光灯管所在直线与地面平行,如何

在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行?

1.了解直线与平面平行的性质定理的证明方法. (重点) 2.会运用性质定理解决有关线线平行的简单问题.

(难点)
3.进一步培养学生转化的思想.

回忆巩固 直线与平面平行的判定定理:

a
b

?

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行.
a ??? ? b ? ? ? ? a / /? 符号语言: a / /b ? ?

直线与平面平行 有哪些性质呢?

课堂探究1
如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线 和这个平面内的直线有怎样的位置关系?

l

平行或异面

?

b

a

课堂探究2

如果直线a与平面α 平行,那么经过直线a 的平面与
平面α 有几种位置关系? a 平行或相交

a

α

α

课堂探究3 如果直线a与平面α 平行,经过直线a的平面与平面 α 相交于直线b,那么直线a,b的位置关系如何?

如图:a / /? , a ? ? , ? ? ? ? b
证明:因为? ? ? ? b, 所以b ? ? . 又因为a / /?, 所以a与b无公共点. 又因为a ? ? , b ? ? , 所 以a / / b.

a / /b
a b
?

α

直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行.
符号语言:

? ?? ?b

a / /? a??

β

a
b

a / / b.
α

【提升总结】
直线与平面平行的性质定理的认识 线面平行 作用:①作平行线的方法; ②判定直线与直线平行的重要依据. 线线平行

β
关键:寻找平面与平面的交线.

a b

α

【变式练习】 直线a ∥平面α ,平面α 内有n条互相平行的直线, 那么这n条直线和直线a( C )

A.全平行
B.全异面

C.全平行或全异面
D.不全平行或不全异面

例1

如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A′C′.

(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开, 应怎样画线? (2)所画的线与平面AC是什么位置关系?

分析:经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料 锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是 找出平面与平面的交线.我们可以由直线与平面平行 的性质定理和公理4、公理2作出.

解:(1)在平面A′C′内,过点P作直线EF,使
EF∥B′C′,

并分别交棱A′B′,C′D′于点E,F.
连接BE,CF,则EF,BE,CF就是应画的线.
D′ A′ E D A P F C′ B′

C
B

(2)
A′

D′ P E

F
C′ α

B′

D A

C
B

因为棱BC∥平面A'C',平面BC'与平面A'C'交于B'C', 所以BC∥B'C'.由(1)知,EF∥B'C',所以EF∥BC,
EF ∥BC ? 因此 EF ? 平面AC ? ∥平面AC. ? ? EF BC ? 平面AC ? ? BE,CF显然都与平面AC相交.

例2

已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这

个平面, 求证:另一条也平行于这个平面. 第一步:将原题改写成数学符号语言; 如图,已知直线a,b,平面α, 且a∥b,a∥α , a,b都在平面

α外.
求证:b∥α . 第二步:分析,作辅助平面;

β a c

b

α

第三步:书写证明过程.
证明:过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.

因为a∥α,a ?β,α∩β=c, 所以 a∥ c.
因为 a∥b, 所以 b∥c.

β
a α c

因为 c ?α, b ? α,
所以 b∥α.

b

【提升总结】 线面平行的判定定理 线线平行 线面平行

线面平行的性质定理
线面平行 线线平行

这种直线与平面的位置关系同直线与直线的位置关系 的相互转化是立体几何的一种重要的思想方法.

1.如果一条直线和一个平面平行,则这条直线( D )
A.只和这个平面内的一条直线平行 B.只和这个平面内的两条相交直线不相交 C.和这个平面内的任意直线都平行 D.和这个平面内的任意直线都不相交

2.直线a∥平面α ,平面α 内有n条交于一点的直线, 那么这n条直线和直线a 平行的 ( B ) A.至少有一条 C.有且只有一条 B.至多有一条 D.不可能有

3.如下图所示,长方体 ABCD-A′B′C′D′中,E,F 分 别为 AA′,BB′的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G,H,则 HG 与 AB 的位置关系是(

A )

A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面

4.如图所示,直线 a∥平面 α,A?α,并且 a 和 A 位于平面 α 的两侧,点 B,C∈a,AB,AC 分别交平面 α 于点 E,F,若
3 BC=4,CF=5,AF=3,则 EF=________. 2

【解析】由于点 A 不在直线 a 上,则直线 a 和点 A 确定一个平 面β , 所以 α ∩β =EF. 因为 a∥平面 α ,a?平面 β ,所以 EF∥a.

EF AF 所以 = . BC AC AF·BC 3×4 3 所以 EF= = = . AC 5+3 2

5.在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,

AD∥BC, E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交 点.
证明: EF∥A1D1.

BC ∥ B1C1 可得 AD∥ B1C1 , 证明: 由 AD∥BC,

又 B1C1 ? 平面AA1D1D ,AD ? 平面AA1D1D , 所以 B1C1 ∥ 平面AA1D1D . 又平面 B1C1E ? 平面AA1D1D = EF , 所以 B1C1 ∥ EF ,又 A1D1∥ B1C1 ,所以 EF∥ A1D1.

性质定理

直线与平面平行 的性质
应用: 判定线线平行

线面平行?线线平行

做了好事受到指责而仍坚持下去,这才是
奋斗者的本色。

——巴尔扎克


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