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1.3三角函数的诱导公式课件


1.知识与技能 (1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。 (2)能够运用诱导公式,把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角 函数的化简、求值问题。 2.过程与方法 (1)经历由几何直观探讨数量关系式的过程,培养学生数学发现能力和概括能力。 (2)通过对诱导公式的探求和运用,培养化归能力,提高学生分析问题和解决问 题的能力。 3.情感、态

度、价值观 (1)通过对诱导公式的探求,培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。 (2)在诱导公式的探求过程中,运用合作学习的方式进行,培养学生团结 协作的精神。

教学重点: 探求π-?的诱导公式。π+?与-?的诱导公式在小结π-?的诱导公式 发现过程的基础上,教师引导学生推出。 教学难点: π+?,-?与角?终边位置的几何关系,发现由终边位置关系导致(与单 位圆交点)的坐标关系,运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。

一.复习回顾

任意角三角函数的定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么:
(1)正弦sinα= (2)余弦cosα=

y
P(x,y)

y

x
O

(3)正切tanα=

y x

x

问题探究
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 ? 相等

2.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于x轴对称 3.角 ? -α与α的终边 有何位置关系?

终边关于y轴对称
4.角 ? +α与α的终边 有何位置关系? 终边关于原点对称

终边相同的角的同一三角函数值相等
(公式一)

sin( ? ? 2k? ) ? sin ? (k ? Z )

cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z )

tan( ? ? 2k? ) ? tan ? (k ? Z )

二、思考:

已知任意角? 的终边与单位圆相交于点P?x,y ? , 请同学们思考回答点 P 关于原点、x 轴、y 轴对称 的三个点的坐标是什么?

x

? y ? ,关于 点 P?x,y ?关于原点对称点 P 1 ? ? x, ? y ? ,关于 y 轴对称点 P2 ?? x,y ? 轴对称点 P3 ? x,

探究1
r ?1
sin ? ? y cos? ? x y tan ? ? x sin(? ? ? ) ? ? y cos(? ? ? ) ? ? x
?y y tan(? ? ? ) ? ? ?x x

形如 ? ? ? 的三角函数值与 ? 的三角函数值之间 的关系
? ??
?

sin(? ? ? ) ? ? sin ?

公式二

cos(? ? ? ) ? ? cos ?
tan(? ? ? ) ? tan ?

探究2
我们再来研究角? 与 ? ? 的三角 函数值之间的关系

r ?1 sin ? ? y
cos( ?? ) ? x

公式三
cos? ? x
y tan ? ? x

sin( ?? ) ? ? y
?y y tan( ?? ) ? ?? x x

?
??

公式三
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

探究3
sin( ? ? ?) ? ? sin? cos(? ? ?) ? ? cos? tan(? ? ?) ? tan?

si n ( ? ? ) ? ? si n? cos(? ? ) ? cos? tan( ? ? ) ? ? tan?

由上面两组公式的推导方法, 你能同理推导出 角 ? ? ? 与? 的三角函数值之间的关系吗?

r ?1 sin ? ? y

公式四
cos? ? x
y tan ? ? x

sin(? ? ? ) ? y cos(? ? ? ) ? ? x
y y tan(? ? ? ) ? ?? ?x x

? ??

?

公式四
sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?

公式一:
sin( ? ? k ? 2? ) ? sin? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan(? ? k ? 2? ) ? tan? (k ? Z )

公式二: sin( ? ? ? ) ? ? sin? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan(? ? ? ) ? tan?
公式四:
sin( ? ? ? ) ? sin? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan(? ? ? ) ? ? tan?

公式三:

sin( ? ?) ? ? sin? cos(? ?) ? cos? tan(? ?) ? ? tan?

三.发现规律:
公式一、二、三、四,都叫做诱导公式. 等于? 的同名三角函数值前面加上把 ? 看作 锐角时原函数值的符号。

2k? ? ? (k ? z )、??、 ? ? ? 的三角函数值,

简记为“函数名不变,符号看象限”

小结
1、通过例题,你能说说诱导公式的作用以及化任 意角的三角函数为锐角三角函数的一般思路吗?
任意负角的 三角函数 用公式 任意正角的 三角函数 用公式一 锐角的三 角函数 用公式 二或四

三或一

0 ~ 2? 的
三角函数

负化正,大化小,化到锐角为终了。
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。

2 (1) cos225? ? cos(180? ? 45?) ? ? cos 45? ? ? 2 11? ? ? ? sin ? ? ? 3 (2) sin ? sin( 4? ? ) 3 3 2 3
? 3 16 ? ? 16? ? ? sin( 5? ? ) ? ? ( ? sin ) ? (3) sin( ? ) ? ? sin 3 3 2 3 3

例1.求下列三角函数值

四.例题分析

(4) cos(?2040 ?) ? cos 2040 ? ? cos(5 ? 360? ? 240?)

? cos 240 ?
? ? cos 60?

? cos(180? ? 60?)
1 ?? 2

练习反馈
填写下表
?
3

?
sin ?

?

2? 3

4? 3
3 ? 2

3 ? 2

cos?

1 2

1 ? 2

3 2

5? 3
3 ? 2

7? 3
3 2

1 ? 2

1 2

1 2

cos(180 ? ? ) ? sin(? ? 360 ) 例2 化简: 0 0 sin(?? ? 180 ) ? cos(?180 ? ? )
0 0

练习反馈

(1)已知: tan ? ? 3, 求 2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 的值. 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? )
3 (2)已知cos( +? )= , 6 3 5? 求cos( -? )的值. 6

?

探索研究

已知任意角? 的终边与单位圆相交于点P?x,y ? , 请同学们思考回答点 P 关于直线 y ? x 对称的 点的坐标是什么?

y 1

P′(y,x)

公式五 : π sin( ?α )? cos α , 2 π cos( ?α )? sin α . 2

-1 0 -1

?

P(x,y) 1 x

公 式六 :

π sin( ?α )? cos α , 2 函数值,前面加上一个 把α 看 π 成锐角时原函数值的符 号。 cos( ?α )? ?sin α . 2

π ?α 的正弦(余弦)函数 2 值,分别等于 α 的余弦 (正弦)

总结:

1.公式五,六口诀: 函数名改变,符号看象限;

11

公式五 :

公 式七 :

3π π sin( ?α )? cos α , sin( ?α )? ?cos α , 2 2 3π π cos( ?α )? sin α . cos( ?α )? ?sin α . 2 2 公 式六 : 公 式八 : 3π π sin( ?α )? cos α , sin( ?α )? ?cos α , 2 2 3π π cos( ?α )? ?sin α . cos( ?α )? sin α . 2 2
.

诱导公式记忆 口诀:

奇变偶不变 符号看象限
?

1 、奇偶指的是 k ? 中 k 的奇偶 注意: 2

k? ?? 2

2 .? 看成锐角,原函数值的符号

例题与练习
3π 例 3、 证 明 : ( 1) in( s ?α )? ?cos α ; 2 3π (2)cos( ?α )? ?sin α . 2

练习. 教材P.28练习第7题.

化简: ?? ? cos? ? ? ? 2? ? (1) ? sin(? ? 2? ) ? cos(2? ? ? ); ? 5? ? sin? ?? ? ? 2 ? o tan( 360 ? ? ) 2 ( 2) cos ( ?? ) ? . sin( ?? )

例题与练习
1 求下列三角函数值 (1)sin(-12000) (1) ? 3 2 (2)cos(47?/6)
3 ( 2) 2

2 求三角式sin(-12000)· cos(12900)+cos(-10200)· sin(-10500)+tan9450 2

3 计算 cos(?/5)+ cos(2?/5)+ cos(3?/5)+ cos(4?/5)

0

例题与练习
练习1 已知sin(?/4+?)=1/2,则sin(3?/4-?)的 值是 1/2 。

2 已知cos (750+?)=1/3, 求cos(1050-?)+cos(2850-?)

0

例题与练习
1 已知角?的终边上的一点P(3a,4a) (a<0) 则cos(5400-?)的值是 3/5 。 2 cos(?-8?/3)+cos(?+13?/3)= 0 .

例题与练习
例5 化简

sin[(k ? 1)? ? ? ] ? cos[(k ? 1)? ? ? ] (k ? Z ) sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? )
3 当n为奇数时, 4

练习1 求sin(2n?+2?/3)· cos(n?+4?/3)的值(n?Z)
3 当n为偶数时, 4

2 化简 cos[(4n+1)?/4+x]+ cos[(4n-1)?/4-x]
当n为奇数时,原式=-2cos(?/4+x) 当n为偶数时,原式=2cos(?/4+x)

小结

①三角函数的简化过程图:

任意负 角的三 角函数

公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
0o~90o间 角的三角 函数

②三角函数的简化过程口诀: ? 负化正,正化小,化到锐角就行了
?



诱导公式记忆口诀: 奇变偶不变 符号看象限

作业
1.新新学案

2.每日一练


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