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人教版高考数学课件:基本不等式解应用题


第 31 课时§3.4 基本不等式(3) 互 动 课 堂 知识清单 知识点 1:函数 y ? x ? 质及应用 (1)当 x ? 0 时,且 x ? 形结构:二次比一的分式结构的变形,很多 时候用到; (2) 若由 y ? x 2 ? 9 ? 1 ? 2 , x2 ? 9 推出 y 的最小值为 2, 就不对了, 究其原因, p ( p ? 0) 的性 x 是因为由 x2 ? 9 ? 1 x ?9 2 ? x 2 ? ?8 而 无实数解,即上述不等式等号不成立,而运 p 时,函数 用基本不等式只能证明 y ? 2 ,但无法求出 最小值, 这体现了基本不等式求最值方法的 局限性, 此时动用函数 y ? x ? 性质尤为重要。 变式训练: 求函数 y ? 有最小值,可以运用函数单调定义证明 p 在 ? p , ?? y ? x ? 在 0, p ? ? 内递减, ? x 内递增; ? ? p ( p ? 0) 的 x p (2)由 y ? x ? 为奇函数,可知 x 在 x x2 ? a ? 1 x2 ? a 的最 ? ??, ? ? p? ? 内递增;在 ? ? p , 0 内递减 ? 小值,其中 a ? 0 。 【解析】? a ? 0 ,? 当 0 ? a ? 1 时, 知识点 2: 基本不等式解应用题 (1)解应用题的基本步骤 (2)在解应题中运用基本不等式求最 值时要注意最值能否取得到, 同时取得最值 的条件也要符合实际问题。 学法指导 1. 函数 y ? x ? y ? x2 ? a ? 1 x ?a 2 ?2 ,当且仅当 x ? ? 1 ? a 时, ymin ? 2 ; 当 a ? 1 时,令 x2 ? a ? t ( t ? ,则 a) p ( p ? 0) 性质的应用 x 有 y ? t ? ,设 t2 ? t1 ? a ? 1 ,则 1 t 【例 1】求函数 y ? x 2 ? 10 x2 ? 9 f (t2 ) ? f (t1 ) ? 的最小值。 (t2 ? t1 )(t1t2 ? 1) ? 0, t1t2 ? f (t ) 在 ? ? a , ?? 上是增函数, ? ymin ? f ( a ) ? a ?1 ,此时 x ? 0 ; a ? 【解析】设 t ? x2 ? 9 ? 3 , ?t? 1 t ?y ? ( x 2 ? 9) 2 ? 1 x ?9 2 综上可知:当 0 ? a ? 1 , x ? ? 1 ? a 时, 当 a ? 1 ,x ? 0 时? ymin ? ymin ? 2 , 当 t ? 3 时, y ? t ? 递增 故 t ? 3 时, ymin ? 3 ? 1 t a ?1 a 1 10 ? 3 3 2.一类特殊结构中的基本不等式 【点评】 (1)本例体现了一种重要的变 【例 2】已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 令 t ? a ? b ? 0 ,?t ? 4t ? 12 ? 0 , 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ;求: (1) xy 的最小值; (2) x ? y 的最小值。 【解析】 (1)由 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ,得 ? (t ? 6)(t ? 2) ? 0 ,? t ? 6 即 a ? b ? 6 , 当且仅当 a=b=3 时取等号。 3.运用基本不等式解应用题 【例 3 】某单位建造一间地面面积为 8 2 ? ? 1 ,又 x ? 0, y ? 0 ,则 x

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