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指数函数讲义与练习(含答案)


指数函数 突破思路 本节主要学习分数指数幂与指数函数. 1.理解有理数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算性质. 在初中我们学习了正整数指数幂的意义: 一个数 a 的 n 次幂表示 n 个 a 相乘的积. 正整 数指数幂有五条运算性质: (1)aman=am+n; (2)am÷an=am-n(a≠0,m>n) ; (3) (am)n=amn; (4) (ab)

n=anbn; (5) ()n=若(b≠0) . 另外规定了 a0=1(a≠0) 、a-n=(n 为正整数,a≠0) ,这样一来,原来的 5 条运算 律可以归纳为(1) (3) (4)三条,同时将指数幂的概念扩大到了整数. 2.分数指数幂的引进是受根式的性质的启发. 从根式的基本性质=(a≥0,m、n、pN*) , 我们知道 a≥0 时,=a3=,=a4=.于是我们规定: (1)=(a≥0,m、nN*) ; (2)=(a>0,m、nN*,n>1) ; (3)零的正分数次幂是零,零的负分数次幂没有意义. 这样一来, 我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了, 有理数幂的运算性质归纳为: (1)aras=ar+s; (2) (ar)s=ars; (3) (ab)r=arbr,式中 a>0,b>0,r、s 为有理数. 3.理解指数函数的概念和意义.在指数函数的定义中限定了底数 a>0 且 a≠1,这主 要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性. (1)若 a=0,当 x>0 时,ax=0;当 x≤0 时,ax 没有意义; (2)若 a<0,如 y=(-2)x 对于 x=、等都是没有意义的; (3)若 a=1,则函数为 y=1x=1 是一个常数函数,它的性质没有研究的必要,且不 具有单调性. 4.能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与 特殊点,体会指数函数是一类重要的函数模型. 5.在方法上,要体现“形”与“数”的结合,要重视指数函数的实际背景,会利用指 数函数的有界性解题. 合作讨论 【问题 1】下列各式中正确的是( ) A.=a(nN*) B. ()n=a(nN*) C.=(n,m,pN*)D.=(m,nN*,a>0) 我的思路:我们知道,如果 xn=a,则称 x 是 a 的 n 次方根.若 a=0 时,则 x=0,即 =0,若 a≠0 时,当 n 为正奇数时,x=,其符号与 x 的符号一致;当 n 为正偶数时,则 a 一定大于零,x=士,即正数的偶次方根有两个,它们互为相反数.A、C 中的根指数与被开 方式的指数能否约分,取决于实数 a 的符号.如:≠-2 和≠,应该先将被开放式底数-2 化成 2,然后再进行化简.故 A,C 不一定成立.一般地,根式有如下性质: (1)=(nN*) ; (2 ) ()n=a(nN*) . 对于分数指数幂不能理解为有个 a 相乘,我们规定=(a>0,m,nN*) . 应该注意,分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系, 不可颠倒.故 D 不成立.因此选 B.

思考:对于根式在什么条件下有意义? 【问题 2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象: ①y=2x;②y=5x;③y=()x;④y=()x. 观察四个函数图象,看它们有何特点?你能从中总结出一般性结论吗? 我的思路:指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)恒过两个点(0,1)和(1,a) .这四个函 数都经过(0,1) ,又分别经过(1,2) 、 (1,5) 、 (1 , ) 、 (1 , ) .再由函数的单调性就可以 画出四个函数的大致图象 (如下图) . 根据图象可知函数①与④, ②与③分别关于 y 轴对称. 结论: (1)一般地,指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与 y=a-x(a>0 且 a≠1)的图 象关于 y 轴对称. (2)在 y 轴的右侧,由下向上函数图象相应的底数由小变大(可简记为“右侧底大图 高” ) ;在 y 轴的左侧,由上向下图象相应的底数由小变大(简记为“左侧底大图低” ) . (3) (有界性)若 a>1,当 x>0 时,y>1 当 x<0 时,0<y<1.若 0<a<1,当 x>0 时,0<y<1;当 x<0 时,y>1. 思维过程 在本小节的学习过程中,我们应该从下面几个方面去掌握知识,提高能力. 1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.分数指数幂的运 算性质与整数指数幂的运算性质完全相同. 正整数指数幂的五条运算性质可以归结为以下三 条: ①ar·as=ar+s;②(ar)s=ars;③(ab)r=arbr,其中 a>0,b>0,r,sQ. 这三条运算性质对于 r,sR 也成立,我们要记准公式,不仅会直接使用,更要会准确地 逆用、活用. 2.对根式的学习,要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式 的性质进行类比, 有利于我们正确地理解 n 次方根的概念以及 n 次根式的性质; 要能够灵活 地将分数指数幂与根式相互转化. 3.在指数函数的概念中,对底数 a>0 且 a≠1 的规定是为了使函数的定义域为实数集 且具有单调性. 运用指数函数性质解题时要注意对底数 a 的分类讨论, 注意函数有界性的运 用. 4.在本节的学习过程中,要学会正确处理由指数函数与其他函数构成的复合函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性等问题,注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的 运用. 5.在解决简单的实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 【例 1】化简下列各式: (1)-[3×()0]-1· [81-0.25+]-10×; (2)÷(1-2)×. 思路:此类问题的化简需要先将小数化为分数,根式化为分数指数幂,结果要化为最简 形式.在最简结果中,不能既有根式又有分数指数幂的形式,同时,也不能既有指数幂又有 分母的形式.如,都不是最简形式.我们经常要用到下列公式: ①a-b=(-) (+) ; ②a±2+b=(±)2; ③a±b=(±) (++) . 答案: (1)原式=0.3-1-3-1· (3-1+)-10×0.3=--3=0; (2)原式=××=××=a. 【例 2】设 yl=a3x-1,y2=(a>0,a≠1) ,确定 x 为何值时有(1)y1=y2; (2)y1

>y2. 思路:显然需对 a 进行分类讨论,分别解指数方程和指数不等式. 答案: (1)由题意得 a3x-1=,则 3x-1=x2+x-4,解得 x=3 或 x=-1. (2)当 a>1 时,a3x-1>,则 3x-1>x2+x-4,解得-1<x<3; 当 0<a<1 时,<a3x-1,则 3x-1<x2+x-4,解得 x<-1 或 x>3. 【例 3】比较下列各数的大小: ①;②;③;④;⑤. 思路:先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简, ①=;②=;③=; ④=-;⑤= 显然,以 0、 1 为界将五个数分成三类: ①>1, ④<0, ②③⑤三个数均在 0 到 1 之间, 注意到这三个数的底数相同,考查指数函数,y=在实数集上递减,所以③>②>⑤. 答案:>>>>. 点评:比较幂的大小是典型的一类问题.解决这类问题一般用如下思路: (1)将两个数化成同底数幂的形式,再利用指数函数的单调性进行比较. (2)将两个数化成同指数幂的形式,再利用指数函数图象在 y 轴的右侧“右侧底大图 高” ;在 y 轴的左侧“左侧底大图低” . (3)寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较.如比较 0.40.8 与 0.50.7,我们可以以 0.40.7 为中间数,0.40.8 与 0.40.7 利用指数函数的单调性进行比较,得 0.40.8<0.40.7,而 0.40.7 与 0.50.7 由“右侧底大图高”得 0.40.7<0.50.7,因此 0.40.8<0.50.7;再如本题是先 以 0、1 为桥梁将五个数分成三类的. 新题解答 【例 1】对于函数 y=, (1)求函数的定义域,值域; (2)确定函数的单调区间. 解析:函数 y=可以看成是由函数 u=x2-2x-1 与函数 y=“复合”而成. (1)由 u=x2-2x-1=(x-1)2-2,当 xR 时,u≥-2,此时函数 y=总有意义,∴ 定义域为 R; 又由 u≥-2,∴0<≤9,∴原函数的值域为(0,9] . (2)∵函数 u=x2-2x-1 在[1,+)上递增, ∴对于任意的 1≤x1<x2 都有 u1<u2, ∴>,即 y1>y2. ∴函数 y=在[1,+]上递减. 同理可得函数 y=在(-,1)上递增. 点评:形如 y=(a>0,a≠1)的函数有如下性质: (1)定义域与函数定义域相同; (2)先确定函数 u=f(x)的值域,然后以 u 的值域作为函数 y=(a>0,a≠1)的定 义域求得函数 y=(a>0,a≠1)的值域; (3)函数 y=(a>0,a≠1)的单调性,可以由函数 u=f(x)与 y=(a>0,a≠1) 按照“同增异减”的原则来确定. 从本题中,我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用. 【例 2】求下列函数的定义域,值域: (1)y=; (2)y=; (3)y=; (4)y=+2×-1. 解析: 这是与指数函数有关的复合函数, 可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定

义域、值域,对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法. (1)要使函数有意义,则 x-1≠0, ∴x≠1.∴函数定义域为{x|x≠1}; ∵x≠1,≠0, ∴≠1,∴函数值域为{y|y>0,且 y≠1}. (2)∵2x-1≥0,∴函数定义域为{x|x≥}; ∵2x-1≥0,∴≥0,∴y=≥1.∴函数值域为{y|y≥1}. (3)函数定义域为 R; ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, ∴y=≥.∴函数值域为{y|y≥}. (4)函数定义域为 R; 令 t=,则 t>0,y=t2+2t-1=(t+1)2-2,其对称轴为 t=-1. ∵t>0,函数 y=(t+1)2-2 单调递增, ∴y=(t+1)2-2>1-2=-1. ∴函数值域为{y|y>-1}. 点评:本题求函数值域时,采用了逐步求解的方法, (4)利用了换元法.一般来说,求 复合函数的值域,通常先求函数的定义域 A,再由函数的定义域 A 求内函数的值域 B,然后 以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域,如(4)是由函数 y=t2+2t-1 和 函数 t=3x 复合而成, 先求得原函数的定义域为 R, 再由 xR 得 t>0 (即得到内函数的值域 B) , 然后由 t>0 得到函数值域为{y|y>-1}.若(4)中的 x≥1,你还能求出它的值域吗? 【例 3】若函数 y=为奇函数, (1)确定 a 的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域; (4)讨论函数的单调性. 解析:先将函数化简为 y=. (1)由奇函数的定义,可得 f(-x)+f(x)=0,即 +=0,∴2a+=0,∴a=-. (2)∵y=--,∴-1≠0. ∴函数 y=--定义域为{x|x≠0}. (3)法一: (逐步求解法)∵x≠0,∴-1>-1. ∵-1≠0,∴0>-1>-1 或-1>0. ∴-->,--<-, 即函数的值域{y|y>或 y<-}. 法二: (利用有界性)由 y=--≠-,可得=. ∵>0,∴>0.可得 y>或 y<-, 即函数的值域{y|y>或 y<-}. (4)当 x>0 时,设 0<x1<x2,则 y1-y2=-=-=. ∵0<x1<x2,∴1<<. ∴-<0,-1<0,-1<0. ∴y1-y2<0,因此 y=--在(0,+)上递增. 同样可以得出 y=--在(-,0)上递减. 点评:本题是一道函数综合题,需利用函数的有关性质,如求函数的定义域、值域,判 断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时,我们也可以采用复合函数单调性 的判断方法.当 x>0 时,∵为增函数,∴-1 为增函数,递减,一为增函数,∴y=--在 (0,+)上递增.一般地,函数 y=f(u)和函数 u=g(x) ,设函数 y=f[g(x) ]的定义 域为集合 A,如果在 A 或 A 的某个子区间上函数 y=f(u) (称外函数)与 u=g(x) (称内

函数)单调性相同,则复合函数 y=f[g(x) ]在该区间上递增;如单调性相反,则复合函 数 y=f[g(x) ]在该区间上递减(可以简记为“同增异减” ) .另外,记住以下结论对判断 复合函数单调性很有帮助:①若函数 y=f(x)递增(减) ,则 y=-f(x)递减(增) ;②若 函数 y=f(x)在某个区间上恒为正(负)且递增(减) ,则 y=递减(增) ;③若函数 y=f (x)递增(减) ,则 y=f(x)+k 递增(减) . 【例 4】已知函数 y=x(+) . (1)求定义域; (2)讨论奇偶性; (3)证明它在定义域上恒大于 0. 解析: (1)定义域为{x|x≠0}. (2)f(x)-f(-x)=x(++1)=x(+1)=0, ∴f(x)=f(-x) .∴f(x)是偶函数. (3)当 x>0 时,>1,∴-1>0.∴+>. ∴x(+)>x>0,即当 x>0 时,y>0; 当 x<0 时,1>>0.∴0>-1>-1.∴+<-1. ∴x(+)>-x>0,即当 x<0 时,y>0. 综上,f(x)在定义域上恒大于 0. 点评:这里判断函数的奇偶性,运用了定义的等价式,即 f(x)-f(-x)=0,则 f (x)是偶函数;证明函数在定义域上恒大于 0,转化为证明值域为(0,+) ,这里运用分 类讨论来逐步求解. 【例 5】如果函数 y=(a>0 且 a≠1)在[-1,1]上有最大值 14,试求 a 的值. 解析:设 t=,则原函数可化为 y=(t+1)2-2,对称轴为 t=-1. (1)若 a>1,∵x[-1,1] ,∴-1<≤t≤a. ∵t=在[-1,1]上递增, ∴y=(t+1)2-2 当 t[,a]时也递增, ∴原函数在[-1,1]上递增. 故当 x=1 时,ymax=a2+2a-1. 由 a2+2a-1=14,解得 a=3 或 a=-5(舍,∵a>1) . (2)若 1>a>0,可得当 x=-1 时,ymax=a-2+2a-1-1=14,解得 a=或 a=- (舍) .综上,a=或 3. 点评:本题运用了复合函数单调性的判断方法,以及复合函数值域的求法;对于底数进 行了分类讨论. 【例 6】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度是 T0,则经过一定时间 h 后的温度 T 将满足 T-Ta=(T0-Ta) ,其中 Ta 是环境温度,使上式 成立所需要的时间 h 称为半衰期.在这样的情况下,t 时间后的温度 T 将满足 T-Ta=(T0 -Ta) . 现有一杯 F 用热水冲的速溶咖啡,放置在 F 的房间中,如果咖啡降温到 F 需 20 分钟, 问欲降到 F 需多少时间? 解析:由题意,温度 T 是时间 t 的指数函数型关系,即 T=(T0-Ta)+Ta, 将有关数据代入,得 T=75+(195-75)×=75+120×. 再将 t=20,T=105 代入得 105=75+120×,解得 h=10. ∴T=75+120×, 欲使 T=95,代入上式解得 t=26(分) . 点评:本题是一道跨学科应用题,要解决它需要有较好的阅读能力.本题中给出了函数 模型,利用待定系数法确定系数,得出解析式,从而解决问题.

变式练习 1.等式=成立的充要条件是( ) A.x≠-2 B.x≥2 或 x<-2 C.x≥2 D.x<-2 解析:若使等式成立,则等式中三个偶次根式必须都有意义,故选 C. 答案:C 2.若=7,=6,则等于( ) A. B. C. D. 解析:要熟练逆用幂的运算公式,选 D. 答案:D 3.若>,则 a 的范围是( ) A.a>1 B.0<a<1 C.<a< D.a> 解析:利用函数的单调性,选 B. 答案:B 4.若>,则 x 的范围是( ) A.0<x<1 B.x>1 C.x<-1 D.x<0 解析:在同一坐标系中画出两个指数函数图象,利用图象解题.选 D. 答案:D 5.下列函数是指数函数的是( ) A.y= B.y= C.y= D.y= 解析:符合指数函数定义的是 D,y==. 答案:D 6.下列函数值域是(0,+)的是( ) A.y= B.y= C.y= D.y= 解析:利用求值域的逐步求解法,选 A. 答案:A 7.若 a=,b=,则(a+1)-2+(b+1)-2 的值是( ) A.1 B. C. ; D. 答案:D 8.若函数 y=+m-1 的图象在第一,三,四象限,则( ) A.a>1 且 m>1 B.a>l 且 m<0 C.0<a<1 且 m>0 D.0<a<1 且 m<1 答案:B 9.一种细胞在分裂时由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成八个??每天 分裂一次.现在将一个该细胞放入一个容器,发现经过 10 天就可充满整个容器,则当细胞 分裂到充满容器一半时需要的天数是( ) A.5 B.9 C.6 D.8 解析:每一天的细胞数都是前一天的两倍,选 B.

答案:B 10.若 0<a<1,b<-2,则函数 y=+b 的图象一定不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:A 11.函数 y=与 y=ax-a 的图象大致是下图中的( )



答案:D 12.在下列等式中,函数 f(x)=不满足的是( ) A.f(x+1)=2f(x) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x) ·f(y) D.f(-x)= 答案:B 13.若 a2x=8,则___________. 解析:将分子分解因式,然后代入可得值为. 答案: 14.化简÷(3)÷=___________. 答案: 15.若函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则 a 的值是___________. 答案:2 16.函数 f(x)的定义域为[1,4] ,则函数 f()的定义域为___________. 答案: [-2,0] 17.若 f(x)=,f-1()则___________. 解析:利用函数与它的反函数的定义域与值域之间的关系来解题. 答案:-2 18.若函数 y=+b 的图象经过点(1,3) ,它的反函数的图象经过点(2,0) ,则函数 y=+b 的值域是___________. 解析:由 a=2,b=1 求得 y=+1. 答案: (1,+) 19. (1) 函数 y= (以 a>0 且 a≠1) , 当[ x 1, 3] 时有最小值为 8, 则 a 的值为___________; (2) 函数 y= (a>1) 的定义域___________, 单调增区间___________, 值域___________. 答案: (1)16 (2){x|x≥2,或 x≤0} (2,+) {y|y≥1} 20. (1)已知 0<a<1,则方程 a|x|=|x|的实根个数为___________. (2)关于 x 的方程=有正根,则 a 的取值范围是___________. 解析:利用图象解题. 答案: (1)2 个 (2) (-,0) 21.解下列关于 x 的方程: (1)81×=; (2)+3×-1=0. 解析: (1)把方程两边都化成同底数指数幂的形式; (2)用换元法.令 t=,则方程可 化为 4t2+3t-1=0,先解出 t 再去解 x,但要注意 t>0.所以 x=-2. 答案: (1)-2; (2)-2. 22.设 f(x)是定义域为 xR 且 x≠0 上的奇函数,则当 x>0 时,f(x)=. (1)写出 x <0 时 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)<-. 解析: (1)x<0 时,f(x)=x· ; (2)x>0 时,由 f(x)=<一,解得 0<x<2;

x<0 时,由 f(x)=x·<一,解得 x<-2. 答案: (1)x· ; (2)0<x<2; (3)x<-2. 23.已知函数 f(x)=(a>1) 。 (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求出函数的值域; (3)证明函数 f(x)是(-,+)上的增函数. 答案: (1)奇函数; (2)f(x)==1-,逐步求解得值域(-1,1) ; (3)用增函数定义证明,过程略. 24.已知函数 f(x)=,g(x)=, (1)证明:f(x)是奇函数,并求 f(x)的单调区间; (2)分别计算 f(4)-5f(2)g(2) ,f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及 函数 f(x)和 g(x)的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明. 解析: (1)函数 f(x)的定义域为(-,0) (0,+)关于原点对称,由奇函数的定义 可得 f(-x)===-f(x) , ∴f(x)是奇函数. 当 x>0 时,设 0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=(-) (1+)<0,∴f(x)在(0,+) 上递增. ∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(-,0)上也递增. (2)计算得 f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0. 由此可以概括出对所有不为零的实数 x 都有 f(x2)-5f(x)g(x)=0. (证明略) 答案: (1)略; (2)f(x2)-5f(x)f(x)=0,证明略. 规律总结 1.对指数幂的运算规律是:由括号的要先算括号内的,没有括号的按照先算乘方和开 方,再算乘除,最后算加减;负指数幂要先化为正指数幂的倒数;底数如果是负数,要先定 符号,底数是小数要先化成分数,底数是带分数,要化成假分数;根式尽可能化成分数指数 幂,便于指数幂运算性质的运用. 2.求由指数函数和其他的函数构成的复合函数的定义域、值域、单调区间时,要注意 换元法的使用. 3.判断复合函数单调性时,要注意前面我们总结过的结论的运用. 相关链接 指数拟合实例 现实世界中事物的运动和变化与它周围事物的变化是紧密相连的, 因而反映事物运动的 量之间也必然存在着一定的关系.比如在物理中,当速度一定时,物体运动的位移和时间满 足。s=vt 但是,有时我们并不知道两个变量之间的函数关系式,通常是通过实验或统计得 到一批数据, 然后再进行处理, 找出其中蕴含的相互关系. 函数拟合就是研究变量之间关系, 并给出近似数学表达式的一种方法. 根据拟合的模型, 我们还可以对某些变量进行预测和控 制. 指数函数是用来进行数据拟合的常用非线性函数模型之一. 【例题】据世界人口组织公布,地球上的人口在公元元年为 2.5 亿,1600 年为 5 亿, 1830 年为 10 亿,1930 年为 20 亿,1960 年为 30 亿,1974 年为 40 亿,1987 年为 50 亿,到 1999 年底地球上人口达到 60 亿.请你根据 20 世纪人口增长规律推测,到哪一年世界人口 将达到 100 亿?到 2100 年地球上将会有多少人口?

解析: (1) 数据分析: 所给的数据均为大致时间粗略估计的量, 带有较多的误差. 因此, 寻找人口增长规律时不需要也不应该过分的强调规律与数据完全吻合,特别是 20 世纪以前 的人口资料更加粗略;另一方面,可以认为人口预测的准确程度主要受到 20 世纪人口增长 的规律的影响,因而,在建立函数模型时,可以不考虑 20 世纪以前的数据资料. (2)建立坐标系:描出数据的散点图(图略) ,发现 20 世纪世界人口增长速度是逐渐 加快的,因此,用直线变化即匀速增长的模型显然不恰当.我们可以考虑用指数函数模型来 拟合. (3)不妨用两组数据(1974,40) , (1990,60)来确定指数函数 y=a·bx 中的 a、b, 可得 y=f(x)=40·1.015717x-1974. (4)预测:令 f(x)=100,得 x≈2032.76,故照此规律,大约 2033 年世界人口将达 到 100 亿.在将 x=2100 代入得 y≈285.38,即到 2100 年世界人口将达到 285 亿. 最早 利用 指 数函 数模 型 来预 测世 界 人口 的是 英 国的 经济 学 家马 尔萨 斯 ( 1766 ~ 1834) .他称,如果不遇到阻碍,人口将按照几何级数增长,所以人口的增长快于生活资料 的增长,减少人口使之与生产资料相适应的决定因素是贫困、饥饿、战争、瘟疫等,把资本 主义制度造成的一切灾难和罪恶, 都归结为所谓的自然规律的作用, 利用人口问题为帝国主 义的战争辩护. 事实上,随着人口的增长,自然资源、环境条件等因素对人口的增长开始起阻滞作用, 因而人口增长率开始下降,其趋势呈“S”形.一般认为,世界人口超过地球极限人口一半 时,世界人口便进入了缓慢的增长期. 地球的极限人口大约为 100 亿,1987 年 7 月 11 日世界人口达到 50 亿,为了引起国际 社会对人口问题更深切的关注, 联合国人口基金决定从 1988 年起把每年的 7 月 11 日定为 “世 界人口日” ,人口问题已成为人类实现社会和经济持续发展所面临的最严峻的挑战. 从上面的分析可以看出,用指数函数模型只能作近期的预测,以此来预测 2100 年世界 人口数是不恰当的.


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指数函数专题讲义含答案

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