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专题1集合与常用逻辑用语、函数与导数 第5讲最新衡水中学专题复习专用精品


专题一 一、选择题 第五讲 1.(文)(2017· 郑州市质检)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+lnx, 则 f′(e)=( A.1 C.-e -1 ) B.-1 D.-e [答案] C 1 1 [解析] 依题意得,f′(x)=2f′(e)+ ,取 x=e 得 f′(e)=2f′(e)+ ,由此解得 f′(e) x e 1 - =- =-e 1,故选 C. e (理)(2017· 云南检测)已知常数 a、b、c 都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34 的导函数为 f′(x),f′(x)≤0 的解集为{x|-2≤x≤3},若 f(x)的极小值等于-115,则 a 的值是( 81 A.- 22 C.2 [答案] C [解析] 依题意得 f′(x)=3ax2+2bx+c≤0 的解集是[-2,3],于是有 3a>0,-2+3= 2b c - ,-2×3= , 3a 3a 3a ∴b=- ,c=-18a,函数 f(x)在 x=3 处取得极小值,于是有 f(3)=27a+9b+3c-34 2 81 =-115,- a=-81,a=2,故选 C. 2 2.(文)(2017· 长春市调研)已知函数 f(x)=x2 的图象在点 A(x1,f(x1))与点 B(x2,f(x2))处的 切线互相垂直,并交于点 P,则点 P 的坐标可能是( 3 A.(- ,3) 2 C.(2,3) [答案] D 2 [解析] 由题意知,A(x1,x2 1),B(x2,x2),f′(x)=2x,则过 A,B 两点的切线斜率 k1= ) 1 B. 3 D.5 ) B.(0,-4) 1 D. (1,- ) 4 1 2x1,k2=2x2,又切线互相垂直,所以 k1k2=-1,即 x1x2=- .两条切线方程分别为 l1∶y= 4 x1+x2 2 2x1x-x2 ,代入 1,l2∶y=2x2x-x2 ,联立得(x1-x2)[2x-(x1+x2)]=0,∵x1≠x2,∴x= 2 1 l1,解得 y=x1x2=- ,故选 D. 4 π (理)在函数 y=x3-9x 的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 ,且横、纵坐标都 4 为整数的点的个数是( A.0 C.2 [答案] A 10 [解析] 依题意得,y′=3x2-9,令 0<y′=3x2-9<1 得 3<x2< ,显然满足该不等式 3 π 的整数 x 不存在,因此在函数 y=x3-9x 的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 , 4 且横、纵坐标都为整数的点的个数是 0,选 A. x2 y2 3.(文)(2017· 太原五中月考)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,抛物线 a b 1 y= x2+1 与双曲线 C 的渐近线相切,则双曲线 C 的方程为( 16 x2 y2 A. - =1 8 2 x2 C. -y2=1 4 [答案] C 1 1 1 [解析] ∵y= x2+1,∴y′= x,设切点(x0,y0),则切线方程 y-y0= x0(x-x0),∵ 16 8 8 1 切线过原点,∴y0= x2 8 0 ①,又切点在抛物线上,∴y0= 1 2 x +1 ②,由(1)(2)得 x0=± 4, 16 0 x2 y2 B. - =1 2 8 y2 D. x2- =1 4 ) ) B .1 D.3 b 1 1 x2 ∴ =| x0|= ,∴a=2b,代入 a2+b2=c2=5 中得 b2=1,a2=4,∴双曲线方程为 -y2= a 8 2 4

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