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新人教版高中数学必修1第一章


已知函数f ( x), 对任意的x, y恒有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) (1)求证f ( x)是奇函数 在[?3,3]的最值

(2)若x ? 0时,f ( x) ? 0, 且f (1) ? 2,求f ( x

理论迁移
例7 例2: 已知 log18 9 ? a,18b ? 5, 求 log

36 5; (1) 45

2 1 (2) 设3 ? 4 ? 36, 求 ? 的值。 x y
x y

练习:p68 t4 P74 T4, P83 T2

练习 :求值 1 log 5 6 ? log 6 7 ? log 7 8 ? log8 9 ? log 9 10
45

已知lg 2 ? a, lg 3 ? b, 用a, b表示 lg

知 识 改 变 命 运,勤 奋 创 造 奇 迹.

2013年12月13日星期 五

复习:对数的概念
定义: 一般地,如果 a ? a ? 0, a ? 1? 的b次幂等于N, 就是 a b ? N 那么数 b叫做 以a为底 N的对数,记作:

log a N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

例5 生物机体内碳14的“半衰期” 为5730年,湖南长沙马王堆汉墓女尸 出土时碳14的残余量约占原始含量的 76.7%,试推算马王堆古墓的年代.

当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰 减,大约经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为” 半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t之间的关系:

?1? P?? ? ?2?
?

t 5730

碳14的含量P 生物死亡年 数t

0.5

0.3

0.1

0.01

0.001

5730

9953 19035 38069

57104

?

考古学家通过提取附着在出土文物,古迹址生物体 的残留物,利用 t ? log 1 P 估算出出土文物 5730 或古遗址的年代. 2 对于任意个碳14的含量P,利用上式都有唯一确定 的年代t与之对应,所以,t是P的函数.

对数函数
定义:函数 y ? log a x(a ? 0,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定 义域是(0,+∞)。


判断:以下函数是否是对数函数 1. y=log2(3x-2) 3. y=log1/3x2 5. y ? log x 6 2. y=log(x-1)x 4.y=lnx 6. y ? 3log 2 ? 5
x

思考1:函数 y ? log3 x 与 y ? 2log3 x 相同吗? 为什么?
2

思考2:你能类比前面探讨指数函数性质的思 路,提出研究对数函数的性质的方法和步骤吗?

研究方法: 具体到一般;画出函数图象,结合图象 研究函数的性质; 研究内容: 定义域、值域、定点 、单调性、奇偶 性.

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log 2 x和y ? log 1 x 的图象。

作图步骤:

2

①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质
作y=log2x图象

列 表 描 点
连 线

X y=log2x y 2 1
0
11 42

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

1 2 3

4

x

-1 -2

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log 1 x
2

x



1/4 1/2
-1 1

1
0 0

2 4
1 -1



2 … -2 …



2

描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 作出: 对数函数 y 2
3

y ? log 3 x和y ? log 1 x的图象。
y ? log 2 x
y ? log 3 x
11 42

1
0

1 2 3

4

x
y ? log 1 x
y ? log 1 x
2

-1 -2

3

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 y 2 探索发现:认 1 真观察函数 x 0 1 2 3 4 y=log2x -1 的图象填写 -2
1 1 4 2

下表

图象特征

代数表述

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是:增函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

探索发现:认 真观察函数

y 2 1
11 42

y ? log1
2

x

的图象填写 下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3

4

x

函数性质

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : 值 域 :

( 0,+∞) R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是:减函数

对数函数及性质

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)

a>1 图 象
y o (1, 0) x y

0<a<1
(1, 0) o x

?? 0 ? log (1) 定义域: (0,+∞) a N ?? 0 性 ?? 0 (2) 值域:R ?

a, N ? (0,1)或a, N ? (1,??) N ?1

a, N中一个在(0,1), 另一个在

(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 在(0,+∞)上是增函数 (4) 在(0,+∞)上是减函数 质 (5) 0<x<1时, y<0; (5) 0<x<1时, y>0; x>1时, y>0 x>1时, y<0

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 y 2 探索发现:认 1 真观察函数 x 0 1 2 3 4 y=log2x -1 的图象填写 -2
1 1 4 2

下表

图象特征

代数表述

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是:增函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

探索发现:认 真观察函数

y 2 1
11 42

y ? log1
2

x

的图象填写 下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3

4

x

函数性质

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : 值 域 :

( 0,+∞) R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是:减函数

对数函数及性质

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)

a>1 图 象
y

0<a<1
a, N ? (0,1)或a, N ? (1,??) N x ?1
(1, 0) o y

?? 0 ? log (1, 0) o a N ?? 0 ?? 0 ?

a, N中一个在(0,1), 另一个在(1, ?)中

x

(1) 定义域: (0,+∞) 性 (2) 值域:R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 在(0,+∞)上是增函数 (4) 在(0,+∞)上是减函数 质 (5) 0<x<1时, y<0; (5) 0<x<1时, y>0; x>1时, y>0 x>1时, y<0

结合对数函数的性质思考: a和 x为何值时,y ? log a x 是一个正数?是一个负数?

练习:判断下列对数  式的符号 log 2.5 4  log 0.7 5  log 3 0.2  log 0.1 0.2  log 2.71
+ + 0

例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)

(3) y=log(x-1)(3-x) (4) y=?log2(2x-3)
1 (5) y ? log 2 x

(6) y ? ln 16 ? 4

?

x

?

3x 2 (7) y ? lg( x ? 1) ? 1? x

对数函数及性质

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)

a>1 图 象
y

0<a<1
a, N ? (0,1)或a, N ? (1,??) N x ?1
(1, 0) o y

?? 0 ? log (1, 0) o a N ?? 0 ?? 0 ?

a, N中一个在(0,1), 另一个在(1, ?)中

x

(1) 定义域: (0,+∞) 性 (2) 值域:R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 在(0,+∞)上是增函数 (4) 在(0,+∞)上是减函数 质 (5) 0<x<1时, y<0; (5) 0<x<1时, y>0; x>1时, y>0 x>1时, y<0

1.函数 y ? log a (2 x ? 1) ? 1(a>0且a≠1)图象 恒过定点 (0,-1) .

已知f ( x ) ? log2 x, 求f (8)的值.
6

P74 练习7

一、利用对数函数单调性比较大小
1、底数相同,真数不同
例2 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 2 3.4, log 2 8.5 (2) log 0.3 1.8, log 0.3 2.7

口答:P73

T3

⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 )
1、底数确定, 函数的单调性直接进行判断。 2、底数不确定,应对底数进行分类讨论。

练一练: 比较a、b、c、d、1的大小。
y

y=log a x y=log b x

0

1

x

y=log c x

y=log d x

答:b>a>1>d>c

2、底数不同,真数相同

(4) log35 和 log45
(5) log23 和 log43
(二)同真数, 常借助图象比较,也可 用换底公式转化为同底数的对数后比较。

3、底数不同,真数不同
(6)log 6 7 与 log 7 6
(7) log 3π 与 log 20.8

(三)若底数、真数都不相同, 行比较,也可借助图象进行比较

则常借助1、0等中间量进

练习:
(1) log 1 3与 log 1 3

?2?3 log 4 5与2 log 2 3 ?3? log 1 0.3与 log 2 0.8
3

2

5

P74

T8

二、利用对数函数单调性解不等式

log 变式1:、 1 (2 x ? 1) ? log 1 2
2 2

?2 x ? 1 ? 0 解:原不等式可化为: ? ?2 x ? 1 ? 2

1 1 ?? ? x ? 2 2

? 1 1? ? 原不等式的解集是?? , ? ? 2 2?
变式

变式2: 3、已知函数y=loga x在[2,4]最大值

比最小值大1,求a的值。

若改为最大值与最小值的和3,求a

三、利用对数函数的单调性求最值
例3: 例1、函数y=log 2 x的定义域是 ?1, ?,则值域是( ) 64

A. R

B. 0, ?? ? ?

C. ?0, 6 ?

D. ?0, 64 ?

变式1:求函数 y=log0.5 (x-1) (1 <x≤3) 的值 域.

变式2:y ? log 4 16 ? 4

?

x

?

f 变式3:求函数 ( x) ? log 2 (? x 2 ? 2 x ? 3) 的值 域

? 变式4 :求函数y ? ? log 1 ? ? 2 在区间?2,?的值域 4

? 1 x ? ? log 1 x ? 5 ? 2 2 ?

2

四、对数函数单调性的判断
2、求(x)=log 0.2 2 x- )的单区间。 f ( 1

f ( x) ? log 2 (? x 2 ? 2 x ? 3) 单调区间 变式:求函数

说明:利用对数函数性质判断函数单调性时 ,首先要考察函数的定义域,再利用复合函 数单调性的判断方法来求单调区间。

五、对数函数奇偶性的判断
1? x . 例4、已知函数 f ( x) ? lg 1? x (1)求函数f ( x) 的定义域

(2)判断函数 f ( x) 的奇偶性;

(3)判断函数 f ( x) 在 (?1, ??)上的单
调性并证明.

(2)f(x)=lg(x+ x ? 1)
2

解:由f(x)=lg(x+ x 2 ? 1),知 x+ x 2 ? 1 ? x ? x ? 0,? 定义域为R 又 ? f(-x)=lg(-x+ x 2 ? 1) =f(x)=lg(x+ x 2 ? 1)?1 =-lg(x+ x 2 ? 1)=-f(x), ? f(x)为奇函数

画出下列函数的图象,说出由 经过怎样的变化得到

y ? lg的图象 x

(1). y ? lg( x ? 1) (2). y ? lg x ? 1 (3). y ? lg( x ? 1) ? 1 (4). y ? lg x
(5). y ? lg x

一般地,对数函数y=logax在a>1及0<a<1这两种情况 下的图象和性质如下表所示: a>1 0<a<1

图 象
当0<x<1时,y<0 当x=1时,y=0 当x>1时,y>0 当0<x<1时,y>0 当x=1时,y=0 当x>1时,y<0

性 值域: R 过特殊点: 过点(1,0),即x=1时y=0 质 单调性 :在(0,+∞)上是增函数 单调性:在(0,+∞)上是减函数

定义域: (0,+∞)

观察y=2 与y=log 2 x的图象,
x
y?2 说出这两个图象的特点? y=x y
x

y ? log 2 x

x

反函数:
对数函数y=log a x就是指数函数y=a 的反函数。
x

即它们互为反函数。

对数函数y=log x的图象
1 x y?( ) 2

y

y=x

x
y=log x
1 x 先画 y ? ( ) 的图象 2

y=ax

(a>1)
1 0 x

y=logax(a>1)
y 0

图象 定义域
值域 性质

y

1

x

R

(0, ??)
R
当x>1时y>0; 当0<x<1时y<0; 当x=1时y=0; 在R上是减函数.

(0, ??)
当x>0时y>1; 当x<0时0<y<1; 当x=0时y=1; 在R上是增函数.

1.互为反函数的图像的两个函数的图像关于直线 y=x对称

2.互为反函数的两个函数的定义域与值域互换
求下列函数的反函数: (1) y

?3

x

;(2) y

? log 6 x

函数y ? f ( x)是函数y ? 1 ? log 2 x的反函数,求f (3)

对数函数及性质

练习

1.函数 y ? log a (2 x ? 1) ? 1(a>0且a≠1)图象 恒过定点 (0,-1) . 1

2、已知函数f ( x5 ) ? lg x,则f (2)=_________; 5
2 3、方程 log2 ( x ? 3) ? 3 的实根的个数为 ______;
x

lg 2

1 若 8] 4.已知函数 y ? log 2 x, x ? ( ,, 2 ( -1,3] 则y ? __________

例3、已知函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 2 x ? x ).
2 2

( )求函数 f ( x) 的定义域; 1 (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)求函数 f ( x) 的值域。

1? x . 例2、已知函数 f ( x) ? lg 1? x (1)求函数 f ( x) 的定义域和值域;

(2)判断函数 f ( x) 的奇偶性;
(3)判断函数 f ( x) 在 (?1, ??)上的单 调性并证明.


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