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1.3求定义域和值域


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求函数的定义域及值域
一 求函数的定义域
方法:① 零的零次幂没有意义; ② 分母不能为零; ③ 偶次根式里被开方数不能为负; ④ 考虑实际问题约束.

例题 1 求函数 f(x)=

x0 3? x

的定义域.

{x|x>0 且 x≠9} 练习 1、求下列函数的定义域 ⑴ y =

1 1 1? x

⑵ y =

1 x ?1

⑶ y =

1 1? x ?1

⑷ y= 2 x 2 ? 1

{x| x≠0 且 x≠-1}

{x|x>-1}

{x|x≥-1 且 x≠0}

x? R

⑸ y=

?x 2 2 x ? 3x ? 2

⑹y= π ? x ? x ?π

⑺ y=

( x ? 1) 0 2? x

{x|x≤0 且 x≠ ?

1 } 2

{x| x=π }

{x|x≥0 且 x≠1 且 x≠4}

例题 2

⑴已知函数 f(x)的定义域为[1,3],求函数 f(2x+1)的定义域; ⑵已知函数 f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数 f(x)的定义域. [解题牢记:定义域指自变量 x 的取值范围;相同对应关系 f(x)和 f(kx+b)中,x 和(kx+b)的范围相同] 解: ⑴[0,1] ⑵[3,7]

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练习 1、⑴已知函数 f(x)的定义域为[0,4],求 f(2x)的定义域; ⑵已知函数 f(2x-1)的定义域为[-1,1],分别求 f(x)和 f(x-2)的定义域; ⑶已知函数 f(x)的定义域为[0,5],求 h(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域. 解:⑴[0,2] ⑵[-1,3] ⑶[1,4]

2、若 y=f(x)的定义域是[0,3],则 g(x)=

f ( x) 的定义域是 x ?1

[0,1) ? (1,3] [1,6]

. .

3、已知函数 f(x+1)的定义域是[-2,3],则 f(x-2)的定义域为 4、已知集合 A={x|x≥4},g(x)=

1 1? a ? x

的定义域为 B,若 A ? B=?,则 a 的取值范围是 (-∞,3] .

例题 3 把长度为 16cm 的细铁丝围成一个长方形,设这个长方形的一个边长为 x,长方形的面积为 y,把 y 表示成 x 的函数,并写出这个函数的定义域. 解: y=-x?+8x ; x ? (0,8)

二 求函数的值域
方法:观察法、配方法、分离常数法、换元法、图像法.【注意:求值域要考虑定义域】 例题 1 求下列函数的值域 1. y=|x| y=

x +1

y= x 2

y= x?+x+ x ? 2

(观察法)

y= x 2 ? 1

y=

1 x

y=

1 x ?1

y=2+

1 x

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(配方法) 2. ⑴y=x?-2x,x ? {0,1,2} ⑵y=x? -4x+6 ⑶y=-x? +4x+1,x ? [1,5)

(分离常数法) 3、 y=

2x ? 1 x

y=

2x ? 1 x?3

y=

x x ?1

y=

5x ? 4 x ?1

(换元法) 4、 y=2x- x ? 1 y=2x+ 1 ? 2 x y=2x+4 1 ? x

5、把长度为 16cm 的细铁丝围成一个长方形,设这个长方形的一个边长为 x,长方形的面积为 y,把 y 表 示成 x 的函数,并写出这个函数的定义域和值域. 解: y=-x?+8x ; x ? (0,8) y ? (0,16). 6、函数 y= 16? | x | 的值域是 A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4)

( B

) D.[0,16]

观察法,求值域注意定义域

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课堂小测试 (满分 100 分) 一 选择 1、下列图形中可以表示 M={x|0≤x≤1}为定义域,N={0≤y≤1}为值域的函数图像是 ( C )
y y y y

1

1

1

1

0

1 A

x

0

1 B

x

0

1 C

x

0

1 D

x

2、已知 f(2x+1)的定义域为(-2, A. (-2,

1 ) ,则 f(x)的定义域为( C ). 2
C.(-3,2) D.(-1,

1 ) 2

B.(-

3 1 , ) 2 4

3 ) 2

二 填空 3、y=f(x)与 y= x ? 3 ? 1 ? x 是相等函数,则函数 y=f(x)的定义域为 [-3,1] 4、y= x ? .

8 x 的值域为 [0,+∞) .y= 的值域是 {y|y≠0} x
[-1,+∞) {2} .

. [-1,8] .

5、f(x)=x? -2x 的值域是

. f(x)=x? -2x(0≤x≤4)的值域是

6、函数 y= x ?π ? π ? x ? 2 的值域为

7、函数 f(x)的定义域为[0,4],函数 f(3x-1)的定义域为

[ ,

1 5 ] ; 3 3
[

8、y=

x 的值域为 x ?1

{y|y≠1}

,y=x- x ? 1 的值域为

3 ,+∞) 4

.

9、已知 A、B 是非空集合,定义运算 A△B={x|x ? A 且 x ? B },若 M={x|y= 1 ? x },N={y|y=x? },M△ N= .

三 解答题 10、画出下列函数图像,并分别求出它们的值域. ⑴ y=–x+3,x ? [-1,3) 值域(0,4] ⑵ y=

6 x

⑶ y=x? -x-6,x ? ( 值域 ( ?

1 ,+∞) 2

值域{y|y≠0}

25 ,+∞) 4


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