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广东省惠州市2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题及答案


惠州市 2015—2016 学年第二学期期末考试

高一数学试题
全卷满分 150 分,时间 120 分钟;本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

考生注意:
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号填写在答题卡上. 2. 第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号.第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上 作答,答案无效.

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.已知集合 M ? x ?1 ? x ? 1 (A) M ? N=N

?

? , N ? ? x x 2 ? 2 ? ,则(
(C) M ? N ? ?0? ) (C)

) (D) M ? N ? N

(B) N ? M

2.若 a ? b ? 0, 下列不等式成立的是(
2 2 (A) a ? b 2 (B) a ? ab

3.已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m // n, m // ? ? n // ? ③ m // n, m ? ? ? n ? ? 其中正确命题的序号是( (A) ①③ ) (C) ①④ ② ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? ④ ? ? ? , m // ? ? m ? ?

b ?1 a

(D)

1 1 ? a b

(B) ②④

(D) ②③

4.一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是( (A) 12 (C) 4 )
2 2 1 1

(B) 2 (D) 6

1 2

5.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, a ? 15, b ? 10, A ? 60? , 则 cos B 等于 ( )

高一数学试题

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(A) ?

2 2 3

(B)

2 2 3

(C)

6 3

(D) ?

6 3


6.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 B1C 与 DC1 所成角的大小为( (A) 30 ? (B) 45 ? (C) 60 ? (D) 90 ?

7.已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( (A)



17 2

(B)

19 2

(C) 10 )

(D) 12

8.直线 kx ? y ? k ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 的位置关系是( (A) 相交 (B) 相切 (C) 相离

(D) 不确定

9.已知点 (sin ? ,cos ? ) 到直线: x cos ? ? y sin ? ? 1 ? 0 的距离为 d , 则 d 的取值范围是 ( (A) [?1 ,1] ) (B) [0 , 2] (C) (?2, 2] (D) [0, ]

1 2

10.已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则 y ? (A)

9 2

(B) 5

1 4 ? 的最小值是 ( a b 7 (C) 2

) (D) 4

11 . 已 知 球 O 的 半 径 为 R , A, B, C 三 点 在 球 O 的 球 面 上 , 球 心 O 到 平 面 ABC 的 距 离 为

1 R, 2

AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? , 则球 O 的表面积为 (
(A)

) (D)
2

16 ? 9
2

(B)

16 ? 3
2

(C)

64 ? 9
2

64 ? 3

12.已知圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 9 , M 、 N 分别是圆 C1 、 C2 上的 动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为 ( (A) 5 2 ? 4 (B) ) (D)

17 ? 1

(C) 6 ? 2 2

17

第Ⅱ卷
注意事项: 第II卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.

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第 2 页(共 12 页)

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.在空间直角坐标系中,已知点 A(2, 4, ?3), B(0, 6, ?1) ,则以线段 AB 为直径的圆的面积等于 14.直线 y ? 3x ? 1 绕其与 y 轴的交点逆时针旋转 90 0 所得到的直线方程为 . . .

S ? * 15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 2 , 2an ? 2 ? Sn (其中 n ? N ) ,则 n
16.不等式 ax 2 + 2ax +1 > 0 对一切 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品每吨需耗矿石 2 t 、煤 2 t ;生产乙种产品每吨需耗 矿石 4 t 、煤 2 t .如果甲种产品每吨能获利 600 元,乙种产品每吨能获利 800 元.工厂在生产这两种产品 的计划中要求每天消耗矿石不超过 8 t 、煤不超过 6 t .每天甲乙两种产品应各生产多少能获利最大?最大 利润为多少?

18. (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, c ? 3a sin C ? c cos A (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b, c .

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 * ( n? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a ?1
2 n

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第 3 页(共 12 页)

20. (本小题满分 12 分) 如图, AB 为圆 O 的直径, PA 垂直圆 O 所在的平面,点 C 为圆 O 上异于 A, B 的点. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 AB ? 2, BC ? 3AC, PA ? AB ,点 M 为 PC 的中点,求三棱锥 B ? MOC 的体积.

P

M

A

O C

B

21.(本小题满分 12 分) 已知圆 C 方程为: x 2 ? y 2 ? 4 . (Ⅰ)直线 l 过点 P(1, 2) ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 AB ? 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量

uuu r uuur uuu r OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程.

22. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 .
2 2

(I)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求切线的方程; (II)从圆 C 外一点 P ?x1 , y1 ? 向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点, 且有 PM ? PO ,求使得 PM 取得最小值的点 P 的坐标.

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第 4 页(共 12 页)

机密★启用前

惠州市 2015—2016 学年第二学期期末考试

高一数学试题参考答案
一.选择题(共 12 小题 60 分,每小题 5 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D

C

D

B

C

C

B

A

B

A

D

A

1.[解析] 因为 M ? x ?1 ? x ? 1 , N ? x ? 2 ? x ?

?

?

?

2 ,所以 M ? N ? N 。

?

b ? 1。 a 3.[解析] ① m // n, m // ? ? n // ? 还可能有 n ? ?
2.[解析] 因为 a ? b ? 0, 所以 ④ ? ? ? , m // ? ? m ? ? 还可能是 m ? ? 或m / / ? 或m与? 相交但不垂直 4.[解析] 这个几何体是底面为梯形,高为 2 的四棱锥, 所以体积为 V ?

1 (1 ? 2) ? 2 ? ?2 ? 2. 3 2

b sin A ? 5.[解析] 由正弦定理知 sin B ? a
所以 cos B ? 1 ? sin B ?
2

10 ?

3 2 ? 3 ,又因为 a ? b ,故 B 为锐角。 15 3

6 。 3

6.[解析] 如图所示,直线 A1D / / B1C ,所以直线 A1D 与 DC1 所成 的角 ?A 1 DC1 即为异面直线 B 1C 与 DC1 所成角。 ?A 1DC1为正三角形,?A 1DC1 ? 60? 。 7.[解析] {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,

?d ? 1 ?d ? 1 1 19 ? 所以有 ? ,解得 ? 1 ,故 a10 ? a1 ? 9d ? ? 9 ? 。 2 2 a1 ? ?8a1 ? 28d ? 4(4a1 ? 6d ) ? ? 2
2 2 8.[解析] 直线 kx ? y ? k ? 1 ? 0 恒过圆 x ? y ? 4 内的一定点 (1,1) ,故直线与圆相交。

9.[解析] 点 (sin ? ,cos ? ) 到直线: x cos ? ? y sin ? ? 1 ? 0 的距离为

高一数学试题

第 5 页(共 12 页)

d?

sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 1 cos2 ? ? sin 2 ?
y?

? sin 2? ? 1 ,所以 d 的取值范围是 [0 , 2]

10 . [ 解 析 ] ( a ? 0 , b ? 0 ).

1 4 1 1 4 1 b 4a 9 ? ? ( ? )(a ? b) ? (5 ? ? ) ? , a b 2 a b 2 a b 2

2 4 , b ? 时等号成立。 3 3 ? ABC 11.[解析] 如图所示, 所在的截面圆的即 ?ABC 的外接圆的半径为 2 1 1 r? ? 2 所以有 R 2 ? ( R) 2 ? r 2即R 2 ? ( R) 2 ? 22 2sin 30? 2 2 16 64 2 2 ?。 解得 R ? ,故球 O 的表面积为 S ? 4? R ? 3 3
当且仅当 a ? 12.[解析] 由题意知,圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 9
2 2 2 2

的圆心分别为 C1 (2,3), C2 (3,4) ,且 PM ? PN ? PC1 ? PC2 ? 4 , 点 C1 (2,3) 关于 x 轴的对称点为 C (2,?3) , 所以 PC1 ? PC2 ? PC ? PC2 ? CC2 ? 5 2 , 即 PM ? PN ? PC1 ? PC2 ? 4 ? 5 2 ? 4 . 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13. 15. 13.

3?

14. y ? ?

1 x x ? 1,x ? 3 y ? 3 ? 0, ? y ? 1或其它等价方程皆可。 3 3
0 ? a ? 1, ?a 0 ? a ? 1? , ? x 0 ? x ? 1? 等形式皆可

2 n ?1 ? 2
[解析] AB ?

16. [0,1) ,

(2 ? 0) 2 ? (4 ? 6) 2 ? (?3 ? (?1)) 2 ? 2 3 ,

所以以线段 AB 为直径的圆的半径为 3 面积等于 S ? ( 3)2 ? ? 3? . 14. [解析] 旋转 90 所得到的直线与原直线互相垂直,在 y 轴上的截距不变。
0

15. [解析] 由题意知 2an ? 2 ? Sn可得2an ?1 ? 2 ? Sn ?1所以an?1 ? 2an

所以数列为等比数列,an ? 2n , Sn ? 2n?1 ? 2.
16. [解析] 当 a ? 0时, 1 ? 0恒成立; 当 a ? 0时, 若 ax + 2ax +1 > 0 对一切 x ? R 恒成立,
2

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第 6 页(共 12 页)

则?

? ?a ? 0 ,则有0 ? a ? 1 。 2 2 a ? 4 a ? 0 ? ? ? ?

所以实数 a 的取值范围为 [0,1) 。

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) [解析]设每天甲乙两种产品各生产 x , y 吨,则每天的生产利润 z ? 600 x ? 800 y .........1 分

?2 x ? 4 y ? 8 ?2 x ? 2 y ? 6 ? 且满足 ? ....................3 分 ?x ? 0 ? ?y ? 0
如右图,作出可行域,…………5 分 当 z ? 600 x ? 800 y 经过点 A 时取得最大值 ………………7 分 由?

?2 x ? 4 y ? 8 解得 A(2,1) , ?2 x ? 2 y ? 6

故 zmax ? 600 ? 2 ? 800 ?1 ? 2000 …………………9 分 答:当每天生产甲 2 吨,乙 1 吨时产品能获利最大,最大利润为 2000 元。……10 分

18. (本小题满分 12 分) [解析] (Ⅰ)? c ? 3a sin C ? c cos A ……………2 分 ?sin C ? 3 sin Asin C ? sin C cos A ,且 sin C ? 0 ? ?1 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ) 6 ?0 ? A ? ? ? 1 ? ? ? 5? ? sin( A ? ) ? , A ? ? 或A ? ? (舍) …………………………4 分 6 2 6 6 6 6 ? ?A? …………………………6 分 3 ? (2)? a ? 2, ?ABC 的面积为 3 , A ? 3

高一数学试题

第 7 页(共 12 页)

?1 ? bc sin A ? 3 ??2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ?1 ? bc sin 60? ? 3 ??2 ?22 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 60? ?

即?

?bc ? 4 ?b ? c ? 4

…………………………10 分

?b ? 2 解得 ? ?c ? 2
19. (本小题满分 12 分) [解析]

…………………………12 分

(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d

? a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 .

?a1 ? 2d ? 7 ?a ? 3 …………………………3 分 ?? 解得 ? 1 ?d ? 2 ?a1 ? 4d ? a1 ? 6d ? 26
? an ? 2n ? 1
(Ⅱ)? bn ? …………………………6 分

1 a ?1
2 n

? bn ?

1 1 ? 2 2 (2n ? 1) ? 1 4n ? 4n 1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

…………………………7 分

? bn ?

…………………………9 分

? 数列 ?bn ? 前 n 项和
Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? L L ? bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? ) 4 1 2 4 2 3 4 3 4 4 n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ) = (1 ? ) 4 1 2 2 3 3 4 n n ?1 4 n ?1 ?

?

n 4(n ? 1)

………12 分

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第 8 页(共 12 页)

20. (本小题满分 12 分) [解析] (Ⅰ)证明:? AB 为圆 O 的直径,点 C 为圆 O 上异于 A, B 的点.
P

? BC ? AC

……………………1 分
M

? PA 垂直圆 O 所在的平面,即 PA ? 平面ABC
且 BC ? 平面ABC
A

O C

B

? BC ? PA

……………………3 分

? PA ? AC ? A, PA ? 平面PAC, AC ? 平面PAC
? BC ? 平面 PAC
(Ⅱ)解:取 AC中点N,连结MN ……………………6 分

? M 为PC中点 1 ? MN ? PA ? 1, 且MN / / PA 2

……………………7 分

? PA ? 平面ABC
? MN ? 平面ABC ,即 MN 为三棱锥 M ? BOC 的高
……………………8 分

? 在 ?ABC中,?ACB ? 90? , AB ? 2,BC ?
解三角形可得 AC ? 1,BC ?

3AC
……………………9 分

3

? O为AB中点

? S?BCO ?

1 1 1 3 S?ABC = ? ? 1 ? 3 ? 2 2 2 4

……………………10 分

1 1 3 3 ?1 ? …………………12 分 ?V三棱锥B?MOC ? V三棱锥M ?BOC ? ? S?BOC ? MN = ? 3 3 4 12

21.(本小题满分 12 分) [解析]
2 2 (Ⅰ)解:由圆 C : x ? y ? 4 的圆心为 (0, 0) ,半径 r ? 2 ,

…………1分

若直线 l 斜率不存在,则方程为 x ? 1 ,

高一数学试题

第 9 页(共 12 页)

此时与圆 C 交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 3 ,满足题意;

…………2 分

若直线 l 斜率存在,设为 k ,方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 所以圆心到直线的距离 d ?

?k ? 2 k 2 ?1



…………3分

? AB ? 2 3
=2 4-( 由直线与圆相交的几何性质可得 AB ? 2 r ? d 即2 3
2 2

?k ? 2 k ?1
2

2 )

解得 k ?

3 ,此时,直线 l 方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 4

…………5分 …………6分

综上所述,可知直线 l 方程为: 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 (Ⅱ) 解:设圆 C 上的动点 M 坐标为 ( x0 , y0 ) ,则有 x02 ? y02 ? 4 过 M 作平行于 x 轴的直线 m ,则直线 m 方程为 y ? y0 ,

m 与 y 轴的交点为 N 的坐标为 (0, y0 ) 。
设动点 Q 坐标为 ( x, y ) ,则 OQ ? ( x, y), OM ? ( x0 , y0 ), ON ? (0, y0 ) ………8 分

??? ?

???? ?

????

??? ? ???? ? ???? ?O Q ? O? M ON
? (x , y )? x0 ( y 0 , ? ) y ( 0 0 , ? x0 ? x ? x ? x0 ? ?? 即 ? 1 y0 ? y ? y ? 2 y0 ? ? 2 )
…………10 分

? x02 ? y02 ? 4
y2 ? x2 ? 4 4 ?
…………11 分

且直线 m ∥ x 轴,则点 M 不在 x 轴上,即 y0 ? 0 ,得 y ? 0

y2 ? 4 ( y ? 0) 所以动点 Q 的轨迹方程为 x ? 4
2

…………12 分

(说明:若没有说明 y ? 0 ,只需扣掉 1 分)

高一数学试题

第 10 页(共 12 页)

22. (本小题满分 12 分) .解: (I)∵切线在两坐标轴上的截距相等 ∴ ( 1 )当截距不为零时,直线斜率为-1,可设切线方程为 y ? ? x ? b

?

| ?1 ? 2 ? b | ? 2, 解得b ? ?1或b ? 3 2
…………2 分

故切线方程为 : x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 3 ? 0

(2)当截距为零时, 可设切线方程为y ? kx,即kx ? y ? 0
? | ?k ? 2 | k 2 ?1 ? 2, 解得k ? 2 ? 6或k ? 2 ? 6

故切线方程为 : y ? (2 ? 6) x或y ? (2 ? 6) x
综上可知,切线方程为: x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 3 ? 0 或 y ? (2 ? 6) x或y ? (2 ? 6) x ………4 分 (II) ? 切线PM 与半径CM 垂直

?| PM |2 ?| PC |2 ? | CM |2 , 又 | PM |?| PO | , CM ? r ?| PC |2 ? | CM |2 ?| PO |2 即( x1 ?1)2 ? ( y1 ? 2)2 ? 2 ? x12 ? y12 ?2x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0 即点P( x1, y1 )在直线2x ? 4 y ? 3 ? 0上
? | PO | 的最小值为点O到直线2 x ? 4 y ? 3 ? 0的距离d ? 3 5 10
…………6 分

又 | PM |?| PO |, ?| PM | 的最小值为 3 5 , 10
3 5 2 9 ) ? 10 20
…………10 分

故 | PO |2 ? x12 ? y12 ? (

3 ? 9 x1 ? ? ? 2 2 ? x ? y ? ? ? 10 1 ?? 1 解得 ? 20 ? ?y ? 3 ?2 x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0 1 ? 5 ?

高一数学试题

第 11 页(共 12 页)

? 所求点坐标P(?

3 3 , )。 10 5

…………12 分

(或者:求出直线 CP 的方程 2 x ? y ? 0 ,解出直线 CP 与直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 交点坐标即得)

高一数学试题

第 12 页(共 12 页)


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