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内蒙古呼伦贝尔市牙克石林业一中2012届高三数学第四次模拟考试试题 文


内蒙古呼伦贝尔市牙克石林业一中 2012 届高三数学第四次模拟考试 试题 文 一.选择题(12 ? 5 分=60 分)
1.复数 z1 ? 2 ? i , z 2 ? 1 ? 2i ,则 z ? A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内对应点位于( z2
D.第四象限



C.第三象限

2.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0} ,则集合 M ? N 等于( A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 3} 3.渐近线是 2x -



3 y = 0 和 2x + 3 y = 0 且过点 (6, 6) ,则双曲线的标准方程是(
B.



A.

x2 y 2 =1 3 4

y2 x2 x2 y 2 y2 x2 = 1 C. = 1 D. =1 4 3 9 12 16 12

4.某简单几何体的三视图如图所示,其正视图.侧视图.俯视图均为直角三角形,面积分别 是 1 , 2 , 4 ,则这个几何体的体积为( ) A.

8 3

B.

4 3

C. 8

D. 4

正视图 俯 视 图

侧视图

5. 幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 ( 4, ), 则f ( 2) ( )

1 2

A.

1 4

B. ?

1 2

C.

2 2

D. 2

6. 已知向量 p ? ? 2, ?3? , q ? ? x,6? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为( ) A. 5 B. 13 C. 5 D. 13

7. 按如图所示的程序框图运算,若输出 b ? 3 ,则输入的 a 的取值范围是 A. (6 , ? ?) B. (6,19 ]
2

C. (19 , ? ?)

D. (6,19)

8.设 f ( x) 表示 x ? 2 与 x ? 3x ? 2 中的较大者,则 f ( x) 的最小值为 A.0 B.2 C. ?

1 4

D.不存在 )

9. f ( x) ? sin x cos x ,下列结论中正确的是( A. 函数 f ( x) 为偶函数

B.函数 f ( x) 最小正周期为 2?

-1-

C. 函数 f ( x) 的图象关于原点对称 10.有两个等差数列 {an } 、 {bn } ,若 A.

D.函数 f ( x) 的最大值为 1

a a1 ? a2 ? ? ? an 2n ? 1 ,则 3 ? ? b3 b1 ? b2 ? ? ? bn n?3

7 6

B.

11 8

C.

13 9

D.

8 9
) D.65
2

11. 已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如图 所示) ,则甲、乙两人得分的中位数之和是( A.62 B.63 C.64

12. 若关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 4a 有实数解, 则实数 a 的 取值范围为( ) A. (??,1) U (3, ??) B. (1,3) C. (??, ?3) U (?1, ??) D. (?3, ?1)

二.填空题(4 ? 5 分=20 分)
13. 双曲线 4 x2 ? 3 y 2 ? ?12 的渐近线方程为_______.
?x ? 1 ? 14.已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? 1 ,那么 x2 ? y2 的最大值等于 ?x ? y ?1 ? 0 ?

15. 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品.产品数量之比依次为 2∶3∶5,现用分层抽样 方法抽出一个容量为 n 的样本,已知 A 种型号产品共抽取了 16 件,那么此样本的容量 n = . 16.函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图像如图, f ( x) 为函数 f ( x) 的导函数,则不等式
3 2
/

/ x ? f( x) ? 0 的解集为

。 y

三.解答题(共 70 分)
17. (本小题共 12 分) 设函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x( x ? R) 的最大值为 M ,最小正周 期为 T . (Ⅰ)求 M 、 T ; ( Ⅱ ) 若 有 10

个 互 不 相 等 的 正 数 xi 满 足

? 3

O

x

3

f ( xi ) ? M , 且xi ? 10? (i ? 1,2,?,10), 求 x1 ? x2 ? ? x10 的值.

(16 题)

18. (本小题共 12 分) 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; 2 2 (3) 以第一次向上点数为横坐标 x, 第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x +y =15 的内部的概率.
-2-

19. (本小题共 12 分) 如图所示,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD;





G







E 20. (本小题共 12 分) 已知曲线 c 上任意一点 P 到两个定点 F1(- 3 ,0)和 F2( 3 ,0)的距离之和为 4. (1)求曲线 c 的方程; (2)设过(0,-2)的直线 l 与曲线 c 交于 C、D 两点,且 OC ? OD ? 0(O 为坐标原点) ,求直线
l 的方程.

21. (本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (k ?1) x ? (k ? 5) x ,其中 k ? R .
3 2

(I)若函数 f ( x) 有三个不同零点,求 k 的取值范围; (II)若函数 f ( x) 在区间 (0, 3) 上不是单调函数,求 k 的取值 范围. 22.(本小题满分 10 分) 注: 考生可在下列三题中任选一题作答, 多选者按先做题评分。 (1). 几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,EF 垂 直 BA 的延长线于点 F. 求证: (1) ?DEA ? ?DFA ; (2)AB =BE?BD-AE?AC.
2

(2).坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程是 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴
-3-

为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在曲线 C : ?

? x ? ?1 ? cos ? (? 为参数) 上求一点,使 ? y ? sin ?

它到直线 l 的距离最小,并求出该点坐标和最小距离. (3).不等式选讲 已知 a, b, c 均为正实数,且 a ? b ? c ? 1 . 求 4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 的最大值.

-4-

牙克石林业一中 2011---2012 学年高三年级第四次模拟考试 数学试卷(文)参考答案 命题时间:2012.2 一.选择题(12 ? 5 分=60 分) 命题人:陈海忠

二.填空题(4 ? 5 分=20 分) 13.

y??

2 3 x 3

14.

2

15. 80

16. (??,? 3) ? (0, 3)

三.解答题(共 70 分)

18. 解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件 (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件, 所以 P(A)=

1分

4 1 ? ; 36 9
1 . 9
4分

答:两数之和为 5 的概率为

(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件, 所以 P(B)= 1 ?

9 3 ? ; 36 4 3 . 4
2 2

答:两数中至少有一个奇数的概率

8分

(3)基本事件总数为 36,点(x,y)在圆 x +y =15 的内部记为事件 C,则 C 包含 8 个事 件,所以 P(C)=

8 2 ? . 36 9
2 2

2 . 9 19. 解: (1)证明:∵ AD ? 平面 ABE , AD // BC ,
答:点(x,y)在圆 x +y =15 的内部的概率 ∴ BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC

12 分

----------------3 分

-5-



BF ? 平面 ACE ,则 AE ? BF
----------------6 分

? AE ? 平面 BCE

(2)由题意可得 G 是 AC 的中点,连接 FG

BF ? 平面 ACE ,则 CE ? BF ,
而 BC ? BE ,? F 是 EC 中点 在 ?AEC 中, FG // AE ,? AE // 平面 BFD ---------9 分 --12 分

20. 解: (1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆, ????????1 分 其中 a ? 2 , c ? 3 ,则 b ? a2 ? c2 ? 1 . ???????????2 分 所以动点 M 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1.??????????????4 分 4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意.????????????5 分 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,∵

OC ? OD ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .??????6 分
∵ y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 , ∴ y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . ∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .???? ① ?????7 分

? x2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 由方程组 ? 4 得 ?1 ? 4k ? x ? 16kx ? 12 ? 0 . ? y ? kx ? 2. ?
则 x1 ? x2 ?

16k 12 , x1 ? x2 ? ,????????????9 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

代入①,得 1 ? k 2 ?

?

? 1 ?12 4k

2

? 2k ?

16k ?4?0. 1 ? 4k 2

即 k 2 ? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ?2 .?????????????11 分 所以,直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 .???????12 分
2 21. 解: (I)因为 f (0) ? 0 ,所以函数 f ( x) ? x ? ? x ? (k ? 1) x ? (k ? 5) ? ? 有三个不同零点的

充要条件是关于 x 的方程 x ? (k ?1) x ? (k ? 5) ? 0 有两个不相等的非零实根,????1 分
2

即?

?k ? 5 ? 0,

?k ? ?5, ? ? ?11 ? k ? ?3 ,且 k ? ?5 . ? 2 2 ?(k ? 3)(k ? 11) ? 0 ?(k ? 1) ? 4(k ? 5) ? 0

故 k 的取值范围是 ? ?11, ?5?
2

(?5, ?3). ????5 分

(II)解法一: f ? ? x ? ? 3x ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) ,函数 f ( x) 在区间 (0,3) 上不是单调函数的

-6-

充要条件是关于 x 的方程 f ? ? x ? ? 3x ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) ? 0 有两个不相等的实数根,且至
2

少有一个实数根在区间 (0,3) 内. ????7 分 (2)若 f ? ? 0? ? k ? 5 ? 0 ,则 k ? ?5, f ? ? x ? ? 3x ?12x ? 3x( x ? 4) .
2

方程 f ? ? x ? ? 0 的两个实根 0, 4 均不在区间 (0,3) 内,所以 k ? ?5. ????8 分

26 1 , f ? ? x ? ? 3( x ? 3)( x ? ) . 7 7 1 26 . ????9 分 方程 f ? ? x ? ? 0 在区间 (0,3) 内有实根 ,所以 k 可以为 ? 7 7 (4)若方程 f ? ? x ? ? 0 有一个实根在区间 (0,3) 内,另一个实根在区间 ?0,3? 外,
(3)若 f ? ? 3? ? 7k ? 26 ? 0 ,则 k ? ? 则 f ? ? 0? f ? ? 3? ? 0 ,即 (k ? 5)(7 k ? 26) ? 0, ?5 ? k ? ?

(5)若方程 f ? ? x ? ? 0 在区间 (0,3) 内有两个不相等的实根,则

26 . ????10 分 7

26 ? f ?(3) ? 7k ? 26 ? 0 ? ? f ?(0) ? k ? 5 ? 0 ?k ? ? 7 ? ? 26 ? ? ? ?k ? ?5 ? ? ? k ? ?2. ???11 分 k ?1 ? 7 ?0 ? ? 3 ? 3 ??8 ? k ? 1 ? ? 2 ? ?? ? 4(k ? 1) ? 12(k ? 5) ? 0 ?(k ? 2)(k ? 7) ? 0 ? 综合①②③④得 k 的取值范围是 ? ?5, ?2? . ????12 分
(II)解法二: f ? ? x ? ? 3x ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) ,
2

函 数 f ( x) 在 区 间 (0,3) 上 不 是 单 调 函 数 的 充 要 条 件 是 关 于

x 的方程

3x ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) ? 0 在区间 (0,3) 上有实根且 ? ? 4(k ?1)2 ?12(k ? 5) ? 0. ????7 分 关于 x 的方程 3x2 ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) ? 0 在区间 (0,3) 上有实根的充要条件是
2

?x ? ? 0,3? , 使得 k (2x ? 1) ? ?(3x2 ? 2x ? 5) ????8 分
(3x 2 ? 2 x ? 5) 3? 9 10 ? ? ? ?? 2 x ? 1? ? ? ? ? ?x ? ? 0,3? , 使得 k ? ? 2x ?1 4? 2x ?1 3 ? 9 9 (t ? 3)(t ? 3) 令 t ? 2 x ? 1, 有 t ? ?1,7 ? ,记 h(t ) ? t ? , h?(t ) ? 1 ? 2 ? t t t2 h?(t ) ? 0 ? 1 ? t ? 3; h?(t ) ? 0 ? 3 ? t ? 7. ????10 分
3? 10 ? h(t ) ? ? ? ? ?5, ?2? .????11 分 ? 4? 3? 2 又由 ? ? 4(k ?1) ? 12(k ? 5) ? 0, 得 k ? ?2, 且 k ? 7. 故 k 的取值范围是 ? ?5, ?2? . ????12 分
即k ? ?
2

则函数 h ? t ? 在 ?1,3? 上单调递减,在 ?3,7 ? 上单调递增,所以有 h ? t ? ??6,10? ,

(II)解法三:记函数 f ? ? x ? ? 3x ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) 在区间 ?0,3? 上的最大值为 f ?( x)max , 最小值为 f ?( x)min . 函数 f(x)在区间 (0,3) 上不单调 ? 函数 f(x)在区间 ?0,3? 上不单调

? f ?( x)min ? 0 ? f ?( x)max . ????7 分

-7-

因为函数 f ? ? x ? 的图像是开口向上、对称轴为 x ? ?

k ?1 3 ? ? f (3), ? ? ? ? 3 2 所以 f ?( x) max ? ? k ? 1 3 ? f ?(0), ? ? ? 3 2 ? f ?( x)max ? 0 ? k ? ?5. ????9 分 k ?1 ? 2, 当 k ? ?5 时, ? 3 k ?1 ? ? k ?1 f (? ), 0 ? ? ?2 ? 1 ? ? ?? (k ? 7)(k ? 2), ?5 ? k ? 1 3 3 f ?( x) min ? ? ?? 3 , ??11 分 ? f ?(0), ? k ? 1 ? 0 ?k ? 5, k ?1 ? ? 3 ? 故 k 的取值范围是 ? ?5, ?2? . ……12 分 f ?( x)min ? 0 ? ?5 ? k ? ?2.

k ?1 的抛物线, 3 7 ? 7 k ? 26, k ? ? ? ? 2 ?? , 7 ?k ? 5, k ? ? ? ? 2

(3)解:由柯西不等式得

?1

4a ? 1 ? 1 4b ? 1 ? 1 4c ? 1 ? (12 ? 12 ? 12 ) (4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1)
?

?

? 3[4(a ? b ? c) ? 3] ? 21
当且仅当 a=b=c=

1 时等号成立 3

故 4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 的最大值为 21 .?

-8-


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