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课时跟踪检测(十五) 导数的应用(一)


课时跟踪检测(十五) 导数的应用(一)

1.函数 f(x)=x+eln x 的单调递增区间为( A.(0,+∞) C.(-∞,0)和(0,+∞)

)

B.(-∞,0) D.R

2. (2012· “江南十校”联考)已知定义在 R 上的函数 f(x), 其导函数 f′(x)的大致图象如图所示,则

下列叙述正确的是( A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d) 2 3.(2012· 陕西高考)设函数 f(x)= +ln x,则( x 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 4. (2012· 大纲全国卷)已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, c=( 则 A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1 ln x 5.若 f(x)= ,e<a<b,则( x A.f(a)>f(b) C.f(a)<f(b) ) ) ) )

B.f(a)=f(b) D.f(a)f(b)>1

6.函数 f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则 实数 t 的最小值是( A.20 C.3
3 2

) B.18 D.0

7.已知函数 f(x)=x +mx +(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值 范围是________. 8.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m∈[-1,1],则 f(m)的最小值 为________.

9.已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线平 行于直线 6x+2y+5=0,则 f(x)极大值与极小值之差为________. 1 10.已知函数 f(x)=ax2+bln x 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间. 1 3 11.(2012· 重庆高考)设 f(x)=aln x+ + x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 2x 2 处的切线垂直于 y 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 12.已知函数 f(x)=x3-ax2+3x. (1)若 f(x)在 x∈[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)在 x∈[1,a]上的最大值和最小值.

1.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下 列图象不可能为 y=f(x)的图象是( )

2.(2012· 沈阳实验中学检测)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),设其导函数为 f′(x),当 x ∈(-∞,0]时,恒有 xf′(x)<f(-x),令 F(x)=xf(x),则满足 F(3)>F(2x-1)的实数 x 的取值 范围是( ) 1 B.?-1,2? ? ? D.(-2,1)

A.(-1,2) 1 C.?2,2? ? ?

3.(2012· 湖北高考)设函数 f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n 为正整数,a,b 为常数.曲线 y =f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 x+y=1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的最大值. [答 题 栏] 1._________ 2._________ 3._________ 4._________ A级 5._________ 6._________ 7. __________ 8. __________ 9. __________ B级 1.______ 2.______





课时跟踪检测(十五)

A级 1.A 2.C 3.D 4.A

1-ln x 5. A f′(x)= 选 , x>e 时, 当 f′(x)<0, f(x)在(e, 则 +∞)上为减函数, f(a)>f(b). x2 6.选 A 因为 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令 f′(x)=0,得 x=± 1,所以-1,1 为函 数的极值点.又 f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上 f(x)max =1,f(x)min=-19.又由题设知在区间[-3,2]上 f(x)max-f(x)min≤t,从而 t≥20,所以 t 的最小 值是 20. 7.解析:f′(x)=3x2+2mx+m+6=0 有两个不等实根,即 Δ=4m2-12×(m+6)>0.所 以 m>6 或 m<-3. 答案:(-∞,-3)∪(6,+∞) 8.解析:求导得 f′(x)=-3x2+2ax,由 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0,即-3×4 +2a×2=0, a=3.由此可得 f(x)=-x3+3x2-4, 故 f′(x)=-3x2+6x.由此可得 f(x)在(-1,0) 上单调递减,在(0,1)上单调递增, 所以对 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4. 答案:-4 9.解析:∵y′=3x2+6ax+3b,
2 ? ? ?3×2 +6a×2+3b=0 ?a=-1, ? ?? 2 ?3×1 +6a+3b=-3 ?b=0. ? ?

∴y′=3x2-6x,令 3x2-6x=0,则 x=0 或 x=2. ∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4. 答案:4 b 10.解:(1)∵f′(x)=2ax+ . x 1 又 f(x)在 x=1 处有极值 . 2

?f?1?=1, ?a=1, ? ? 2 ∴? 即? 2 ? ? ?f′?1?=0, ?2a+b=0.
1 解得 a= ,b=-1. 2

1 (2)由(1)可知 f(x)= x2-ln x,其定义域是(0,+∞), 2 1 ?x+1??x-1? 且 f′(x)=x- = . x x 由 f′(x)<0,得 0<x<1; 由 f′(x)>0,得 x>1. 所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1), 单调增区间是(1,+∞). 1 3 11.解:(1)因 f(x)=aln x+ + x+1, 2x 2 a 1 3 故 f′(x)= - 2+ . x 2x 2 由于曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f′(1)=0, 1 3 从而 a- + =0, 2 2 解得 a=-1. 1 3 (2)由(1)知 f(x)=-ln x+ + x+1(x>0), 2x 2 1 1 3 f′(x)=- - 2+ x 2x 2 = = 3x2-2x-1 2x2 ?3x+1??x-1? . 2x2

1 1 令 f′(x)=0,解得 x1=1,x2=- ?因x2=-3不在定 义域内,舍去. 3? 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,1)上为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数. 故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3. 12.解:(1)∵f′(x)=3x2-2ax+3≥0 在[1,+∞)上恒成立, 1 3 ∴a≤?2?x+x ??min=3(当 x=1 时取最小值). ? ?

?

?

∴a 的取值范围为(-∞,3]. (2)∵f′(3)=0,即 27-6a+3=0, ∴a=5,f(x)=x3-5x2+3x,x∈[1,5], f′(x)=3x2-10x+3. 1 令 f′(x)=0,得 x1=3,x2= (舍去). 3 当 1<x<3 时,f′(x)<0,当 3<x<5 时,f′(x)>0,

即当 x=3 时,f(x)取极小值 f(3)=-9. 又 f(1)=-1,f(5)=15, ∴f(x)在[1,5]上的最小值是 f(3)=-9,最大值是 f(5)=15. B级 1.选 D 因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,所以 f(1)+f′(1)=0;选项 D 中,f(1)>0,f′(1)>0,不满足 f′(1)+f(1)=0. 2. A 由 F(x)=xf(x), F′(x)=f(x)+xf′(x)=xf′(x)-f(-x)<0, 选 得 所以 F(x)在(-∞, 0)上单调递减,又可证 F(x)为偶函数,从而 F(x)在[0,+∞)上单调递增,故原不等式可化为 -3<2x-1<3,解得-1<x<2. 3.解:(1)因为 f(1)=b,由点(1,b)在 x+y=1 上, 可得 1+b=1,即 b=0. 因为 f′(x)=anxn 1-a(n+1)xn,所以 f′(1)=-a. 又因为切线 x+y=1 的斜率为-1, 所以-a=-1,即 a=1.故 a=1,b=0. (2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn 1, n - f′(x)=(n+1)xn 1?n+1-x?. ? ? n 令 f′(x)=0,解得 x= , n+1 即 f′(x)在(0,+∞)上有唯一零点 x0= n . n+1
+ -

n 在?0,n+1?上,f′(x)>0,故 f(x)单调递增;

?

?

n 而在?n+1,+∞?上,f′(x)<0,f′(x)单调递减.

?

?

故 f(x)在(0,+∞)上的最大值为 n n n f?n+1?=?n+1?n?1-n+1?

?

? ?

??

?



nn + . ?n+1?n 1


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