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2014·新课标高考总复习·数学2-3函数的单调性与最值


2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

第三节

函数的单调性与最值

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一、函数的单调性 1.单调函数的定义

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2.单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间M上是 增函数 =f(x)在这个区间M上具有单调性, 区间M 或是 减函数 ,就称函数y 叫做y=f(x)的单调区间.

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二、函数的最值

[疑难关注] 1.函数单调性定义的理解 (1)函数的单调区间必须是定义域的子集 (2)定义的两种变式: 设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么
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f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a, x1-x2 x1-x2 b]上是减函数. ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)- f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数.

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2.两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区 间上单调时最值一定在端点取到; (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

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1 1.(课本习题改编)函数 y= 的递减区间为( x-1 A.(-∞,+∞) C.(-∞,-1) B.(-1,2)
?1 ? D.?2,3? ? ?

)

1 1 解析: y= 由 的图象知, 函数 y= 在(-∞, -1)上单调递减, x-1 x-1 故选 C.
答案:C

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2.(课本习题改编)下列函数 f(x)中满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞), 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)的是( 1 A.f(x)=x C.f(x)=e2 )

B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1)

1 解析:由题意知,A 项 f(x)=x,f(x)在(0,+∞)上为减函数,B 项 f(x)不单调,C 项 f(x)为常数函数,D 项 f(x)在(0,+∞)上为增函数.故 选 A.
答案:A

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b 3.(2013 年佛山模拟)若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减 x 函数,则 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是( A.增函数 C.先增后减 B.减函数 D.先减后增 )

解析:由已知得 a<0,b<0,∴对于 y=ax2+bx,a<0 时图象开口 b 向下,对称轴方程为 x=- <0,∴y=ax2+bx 在(0,+∞)为减函数. 2a
答案:B

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4.若f(x)在(-∞,+∞)为减函数且f(1-m)>f(2+m),则m的范围 是________.

解析:由条件可知 1-m<2+m, 1 ∴m>- . 2
? 1 ? 答案:?-2,+∞? ? ?

5.(课本习题改编)f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为
________;f(x)max=________. 解析:函数f(x)的对称轴为x=1,单调增区间为[1,4],所以f(x)max

=f(-2)=f(4)=8.
答案:[1,4] 8
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考向一 函数单调性的判断 [例 1] (2012 年高考广东卷)下列函数中, 在区间(0, +∞)上为增函 数的是( ) B.y=- x+1

A.y=ln(x+2)
?1?x C.y=?2? ? ?

1 D.y=x+ x [解析] 利用复合函数单调性的判断方法——同增异减求解. 对于 A

选项,可看成由函数 y=ln u,u=x+2 复合而成,由于两函数都为增函 数,单调性相同,所以函数 y=ln(x+2)在(-2,+∞)上为增函数.B、 1 C 均为减函数.对于 D 选项,y=x+x 在(-∞,-1),(1,+∞)上为增 [答案] A 函数.
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? 5? a ?2, ?. 1.(2013 年宜昌模拟)设函数 f(x)=x+x的图象过点 A 2? ?

(1)求实数 a 的值,并证明 f(x)的图象关于原点对称; (2)证明函数 f(x)在(0,1)上是减函数.
? 5? a 5 a 解析:(1)因为函数 f(x)=x+x的图象过点 A?2,2?,所以2=2+2?a ? ?

=1. 1 1 f(x)=x+ ,又因为 f(-x)=-x+ =-f(x),且函数 f(x)的定义域 x -x 为{x|x≠0},所以函数 f(x)为奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称. (2)证明:设 x1,x2 是 f(x)在(0,1)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 x2-x1 x1x2-1 1 1 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =x1-x2+ =(x1-x2) . x1 x2 x1x2 x1x2
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由x1,x2∈(0,1),得0<x1x2<1,x1x2-1<0, 又由x1<x2,得x1-x2<0, 于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)在(0,1)上是减函数.

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[例2] ( )

(2013年太原模拟)函数f(x)=||2x-1|-2x|的单调递减区间为

A.(-1,0)
C.(-∞,0)

B.(-∞,-1)
D.(-1,+∞)

1 [解析] 当|2x-1|>2x,即 2x-1<-2x,当 x<-1 时,2x<2<1,则 f(x) =|2x-1|-2x=1-2x+1 在(-∞,-1)上是减函数;当|2x-1|≤2x,即 x≥
?2x 1-1,-1≤x≤0, 1 -1 时, x≥2, 2 f(x)=2x-|2x-1|=? 易知 f(x)在(- 1,x>0. ?


1,0)上是增函数.结合各选项知,选 B.
[答案] B

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?1,x>0, ? 2.(2013 年广州模拟)设函数 f(x)=?0,x=0, g(x)=x2f(x-1), ?-1,x<0, ?
则函数 g(x)的递减区间是( A.(-∞,0] C.[1,+∞) ) B.[0,1) D.[-1,0]

x2,x>1, ? ? 解析:g(x)=?0,x=1, ?-x2,x<1. ? 如图所示,其递减区间是[0,1).故选 B.
答案:B
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考向三 单调性的应用 a x, ?x>1?, ? ? [例 3] (1)(2013 年长春模拟)f(x)=? a ?4-2?x+2, ?x≤1? ? ? 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( A.(1,+∞) C.(4,8) B.[4,8) D.(1,8) )

是 R

(2)(2013 年北京模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)在(0,+∞)上是增函 数,则( ) B.f(-π)<f(-4)<f(3) D.f(-4)<f(-π)<f(3)

A.f(3)<f(-4)<f(-π) C.f(3)<f(-π)<f(-4)

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[解析]

(1) 因 为 f(x) 是 R 上 的 单 调 递 增 函 数 , 由 题 意 可 得

?a>1, ? ?4-a>0, ? 2 ? a ?a≥4-2+2. ?

解得 4≤a<8.

(2)∵f(x)是偶函数, ∴f(-π)=f(π),f(-4)=f(4). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(3)<f(π)<f(4), ∴f(3)<f(-π)<f(-4),故 C 正确.
[答案] (1)B (2)C
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? 3? 在本例(2)条件不变的情况下,试比较 f?-4?与 f(a2-a+1)的大小. ? ?
? 1? 3 3 解析:∵a2-a+1=?a-2?2+ ≥ >0, ? ? 4 4 ? 3? ?3? ∴又 f(x)为偶函数,f?-4?=f?4?,由条件知 f(x)在(0,+∞)为增函数 ? ? ? ? ? 3? 故 f(a2-a+1)≥f?-4?. ? ?

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【思想方法】 等价转化思想在利用单调性求解不等式问题中的应 用 【典例】 (2013 年济宁模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)
?1? 1 上递增,f?3?=0,则满足 f(log8x)>0 的 x 的取值范围是( ? ?

)

A.(0,+∞)
? 1? ?1 ? C.?0,8?∪?2,2? ? ? ? ?
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? 1? B.?0,2?∪(2,+∞) ? ? ? 1? D.?0,2? ? ?

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1 【思路导析】 由于 log8x 的符号不确定,故可利用 f(-x)=f(x)= f(|x|),将不等式进行等价转化后求解. ?1? 1 1 1 1 1 【解析】 由 f(log x)>0?f(|log x|)>f?3?,即 log x> 或 log x<- 8 8 8 3 8 ? ?
1 1 ,0<x< 或 x>2. 3 2
【答案】 B
【思维升华】 若已知f(x)为偶函数且在[0,+∞)递增,那么对于

形 如 f(m)>f(n) 的 不 等 式 中 m , n 符 号 不 确 定 可 转 化 为 f(m)>f(n)?f(|m|)>f(|n|)?|m|>|n|,可避免分类讨论.

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1.(2012年高考山东卷)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减

函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

解析:结合函数单调性的定义求解. 由题意知函数f(x)=ax在R上是减函数等价于0<a<1,函数g(x)=(2 -a)x3在R上是增函数等价于0<a<1或1≤a<2, 所以“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R 上是增函数”的充分不必要条件. 答案:A
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2.(2012年高考安徽卷)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3, +∞),则a=________.

解析:利用函数图象确定单调区间.

?2x+a,x≥-a, ? 2 f(x)=|2x+a|=? ?-2x-a,x<-a. 2 ?
作出函数图象,由图象知:
? a ? 函数的单调递增区间为?-2,+∞?, ? ?

a ∴- =3,∴a=-6. 2
答案:-6
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