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江苏省张家港高级中学2014-2015学年高一数学上学期期中试题


江苏省张家港高级中学 2014-2015 学年高一数学上学期期中试题
【注意】 1.本试卷满分 160 分,答题时间为 120 分钟。 2.填空题的答案务必填写在答题卷上。 3.解答题答案写在答题卷上,要有必要的解题过程。 一、 填空题(共 14 题,每小题 5,计 70 分) 1.若全集为 U=R,A= ?? ?,1? ,则 2.函数 f ?x ? ?
2<

br />
U

A=



. ▲ ▲ . ▲ ▲ 个. . .

2 x ? 1 ? lg(1 ? x) 的定义域为

3.函数 f(x)=x -2x+3( x ? ?0,3? )的值域为

4.已知 A={1,2,3,4},B={1,2},若 B ? C ? A ,则满足条件的集合 C 有 5.若幂函数 f(x)= x
0.2

m ?1

在区间 ?0,??? 是单调减函数,则实数 m 的取值范围是 ▲ . ▲ .

6.比较 3 与 log30.2 的大小,按从小到大的顺序为

7.若函数 f(x)=lg(1+x)-lg(1+ax)是奇函数,则实数 a 的值是 8.log93+log45log58 的值为 ▲ .
4

9.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的 3 ,要使存留污垢不超过原来的 1%,则至少要漂 洗 ▲ 次.

10.若关于 x 的一元二次方程 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ? 0 有两个不相 等的实数根,则 m 的取 值范围是 ▲ .
x

11.若函数 f ?x ? ?| 2 ? 1 | -a 有且只有一个零点,则实数 a 的取值范围是



.

12.设函数 f ?x ? 的定义域为 ?0,??? 的增函数,且 f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ? , f ?2? ? 1 ,则满 足 f ? x ? ? f ? x ? 3? ? 2 的 x 的取值范围是 13.若 f ? x ? ? ? x ▲ .

?a ? ,

x ?1

? ? ? x ? 3a, x ? 1

是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为



.

14 .已知 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x?2 ,若对任意实数 x ?1

1

?1 ? t ? ? , 2? ,都有 f ?t ? a ? ? f ?t ?1? ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ?2 ?
二、解答题(共 6 题,计 90 分) 15. ( 本题 14 分)已知 A ? {x | (1)求 A ? B 和 A ? B ; (2)定义 A ? B ? {x x ? A 且 x ? B} ,求 A ? B 和 B ? A .



.

1 ? 3 x ? 9} , B ? {x log2 x ? 0} . 3

16.(本题 14 分)已知函数 f ? x ? ? ? (1)在下 图中画出该函数的图象;

? x 2 ? 1, x ? 1 . ?? log 2 x, x ? 1

(2)写出函数 f(x)的值域、单调区间及零 点.

17. (本题 15 分)某服装店以 400 元/件的价格新进一款衣服,为确保利润,该服装店欲 将其单价定于不低于 500 元/件,又不高于 800 元/件.经试销调查,发现销售量 y(件)与 销售单价 x(元/件)可近似看做一次函数 y=kx+b 的关系(图象如图所示).
2

(1)根据图象,求一次函数 y=kx+b 的表达式; (2)设服装店获得的毛利润(毛利润销售总价-成本总价)为 S 元. ①求 S 关于 x 的函数表达式; ②求该服装店可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价.

18. (本题 15 分)设函数 f ( x) ? (1)判断函数的奇偶性;

1 ? x2 . x

(2)计算 f ( ) ? f ( ) ? f (1) ? f (2) ? f (3) 的值; (3)判断函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上的单调性,并用单调性的定义证明.

1 3

1 2

19. (本题 16 分)二次函数 f(x)的图像顶点为 A(1,16),且图像在 x 轴上截得线段长为 8 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=(2-2a)x-f(x),
3

①若函数 g(x)在[0,2]上是单调增函数,求实数 a 的取值范围; ②求函数 g(x)在[0,2]的最小值.

20. (本题 16 分)定义在 R 上的函数 y ? f ( x) , f (0) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 .且对 任意的 a , b ? R 有 f ?a ? b ? ? f ?a ? ? f ?b ? . (1)证明: f (0) ? 1 ; (2)证明:对任意的 x ? R ,恒有 f ? x ? ? 0 ; (3)证明: f ? x ? 是 R 上的增函数; (4)若 f ? x ? ? f 2 x ? x

?

2

? ? 1 ,求 x 的取值范围.

―――――――――――

2014~2015 学年第一学期期中考试四校联考 高 一 年级 数学 试卷(答题卷) 命题学校:张家港高级中学 命题人:储聪忠
4

一、填空题(共 14 题,每小题 5,计 70 分) 1 . __________ 6.__________ 2 . __________ 7.__________ 3 . __________ 8.__________ 4 . __________ 9.__________ 5 . __________ 10.__________

11.__________ 12.__________

13.__________ 14.__________

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答卷纸指定 区域内作答,解答时应写出文字 ..... 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14) 解:

5

16.(本小题满分 14) 解:

17.(本小题满分 15 分) 解:

6

7

18.(本小题满分 15 分) 解:

19.(本小题满分 16 分) 解:

8

20.(本小题满分 16 分) 解:

9

2014~2015 学年第一学期期中考试四校联考 高 一 年级 数学 试卷(答案与评分标准)

一、填空题(共 14 题,每小题 5,计 70 分) 1. ?1,??? 6.log30. 2<3
0.2

2. ?0,1? 7.-1 12. ?3,4?

3.[2,6] 8.2

4.4 9.4

5. ?? ?,?1? 10. (?

1 ,0) ? ?0,?? ? 4

11. ?0?? ?1,???

13. [ ,?? ) 14. ?? ?,?3? ? ?0,???

1 2

二、解答题(共 6 题,计 90 分) 15.(1)A=(-1,2)……3 分,B=(1,+ ? )……6 分, 从而 A ? B ? (1,2) ,……8 分

A ? B ? ?? 1,??? ;……10 分
(2) A ? B ? ?? 1,1?,……12 分

B ? A ? ?2,??? . ……14 分
16. (1)图象如下图所示,……6 分(评分说明:每一段画对给 3 分,共计 6 分;关键的点 (-1,0),(0,-1),(1,0)三个点要画对,错一个扣 1 分)

(2)值域为 ?? ?,??? ……8 分, 减区间为 ?? ?,0?, ?1,??? ,增区间 ?0,1? ……12 分, 零点为 x1 ? ?1, x2 ? 1. ……14 分 17 . ( 1 )根据图象,知函数 y=kx+b 过点 (600,400) 与 (700,300) 两点,从而得到方程组
10

?600k ? b ? 400 ,……4 分 ? ?700k ? b ? 300
解得 ?

? k ? ?1 ,故所求的函数表达式为 y= ? x ? 1 000 ,定义域为[500,800];……7 分 ?b ? 1 000

(2)①S=(x-400)(-x+1 000),即 S= ? x2 ? 1 400x ? 400 000,定义域为[500,800]……11 分 ②当 x ? 700 时,S 取得最大值为 90 000.……14 分 答:该店可获得的最大毛利润为 90 000 元,此时相应的销售单价为 700 元/件.……15 分 18. (1)函数的定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? ,……2 分 因为 f ?? x ? ?

1 ? ?? x ? 1 ? x2 ?? ? ? f ?x ? ,所以函数 f ?x ? 是奇函数.……5 分 ?x x
2

1 1 1 1 1 , f ( ) ? ? x ,所以 f ? x ? ? f ( ) ? 0 ,从而 f ( ) ? f (3) ? 0 , x x x x 3 1 1 1 f ( ) ? f (2) ? 0 ,又 f ?1? ? 2 ,所以 f ( ) ? f ( ) ? f (1) ? f (2) ? f (3) =2……10 分 2 3 2 1 1 (评分说明:若直接计算出 f ( ), f ( ), f (1), f (2), f (3) 的值,再给出结果,也是可以的, 3 2
(2)因为 f ? x ? ? x ? 错一个扣 1 分) (3)函数 f ?x ? 在 ?1,??? 上是单调增函数,证明如下: 设任意的 x1, x2 ? ? 1,??? ,且 x1 ? x2 ,则 f ?x1 ? ? x1 ?

1 1 , f ?x2 ? ? x2 ? , x1 x2

从而 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x1 ?

1 1 ( x ? x )(x x ? 1) ,……13 分 ? ( x2 ? ) = 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2 ( x1 ? x2 )(x1 x2 ? 1) <0, x1 x2

因为 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 ,又 1 ? x1 ? x2 ,所以 x1x2 ? 1 ? 0 ,故

从而 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,故函数 f ?x ? 在 ?1,??? 上是单调增函数.……15 分 (评分说明:若第一步,没有判断函数的单调性,而在后面的证明中给出了正确的结论时, 不扣分) 19. (1)设二次函数 f(x)=a(x-1) +16=ax -2ax+a+16,……2 分 ∵图象在 x 轴上截得线段长为 8,所以函数的图象过 点(-3,0),(5, 0)
2 2

11

即 f(5)=0,解得 a=-1, ∴函数的解析式为 f(x)=-x +2x+15.……5 分 (2)∵f(x)=-x +2x+15,∴g(x)=(2-2a)x-f(x)=x -2ax-15, ①g(x)在[0,2]上是单调增函数, ∴对称轴 x=a 在[0,2]的左侧(含 x=0) ,∴a≤0.所以 a 的取值范围是{a|a≤0}.……9 分 ②g(x)=x -2ax-15,x∈[0,2],对称轴 x=a, 当 a>2 时,g(x)min=g(2)=-4a-11;……11 分 当 a<0 时,g(x)min=g(0)=-15;……13 分 当 0≤a≤2 时,g(x)min=g(a)=-a -15.……15 分 综上所述函数 g(x)在[0,2]的最小值为 g ? x ?min
2 2 2 2 2

a?2 ? ? 4a ? 11, ? 2 ? ?? a ? 15, 0 ? a ? 2 .……16 分 ? ? 15, a?0 ?

20. (1)依题意,取 a=b=0,得 f(0)=[f(0)] ,而 f(0)≠0,所以 f(0)=1;……2 分 (2)取 b=-a,得 f(0)=f(a)f(-a)=1,从而 f(a)与 f(-a)同号,又当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 , 所以当 x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1 .而 f (0)=1,故对于任意的实数 x,都有 f(x)>0;……6 分 (3)设任意的 x1, x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,因为 f ?x2 ? ? f ?x2 ? x1 ? x1 ? ? f ?x2 ? x1 ? f ?x1 ? ;而

2

x2 ? x1 ? 0, f ?x2 ? x1 ? ? 1 , f ?x1 ? ? 0 ,故 f ?x2 ? ? f ?x1 ? ,即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,从而 f ? x ? 是
R 上的增函数;……11 分
(4)根据题意,知前面(1)与(3)的结论,原不等 式化为 f x ? 2x ? x

?

2

? ? f (0) ,从而

3x ? x 2 ? 0 ,解得 0 ? x ? 3 ,所以 x 的取值范围是(0,3).……16 分

12


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