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高中数学



第一讲

圆的方程

1、方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件是: (1)B=0; (2)A=C≠0; (3)D2+E2-4AF>0.

一、知识清单
(一)圆的定义及方程
定义 标准 方程 一般 方程 平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹

2、求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上. (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

3、中点坐标公式:已知平面直角坐标系中的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),点 M(x,y)是线段 AB 的中 圆心:(a,b),半径:r 点,则 x= D E - ,- ?, 圆心:? 2? ? 2 1 半径: D2+E2-4F 2

x1 ? x2 y ? y2 ,y= 1 . 2 2

x +y +Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)

2

2

二、典例归纳
考点一:有关圆的标准方程的求法
【例 1】圆

1、圆的标准方程与一般方程的互化 (1)将圆的标准方程 (x-a) +(y-b) =r 展开并整理得 x +y -2ax-2by+a +b -r =0,取 D=- 2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得 x2+y2+Dx+Ey+F=0. (2)将圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 通过配方后得到的方程为: D2+E2-4F D E (x+ )2+(y+ )2= 2 2 4 D E 1 ①当 D2+E2-4F>0 时,该方程表示以(- ,- )为圆心, D2+E2-4F为半径的圆; 2 2 2 D E D E ②当 D +E -4F=0 时,方程只有实数解 x=- ,y=- ,即只表示一个点(- ,- );③当 D2+ 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? m 2 ? m ? 0 ? 的圆心是
2

,半径是

.

【例 2】 点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 内,则实数 a 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(0,1) D.(1,+∞)

)

【例 3】 圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1

)

E2-4F<0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.

2、圆的一般方程的特征是:x2 和 y2 项的系数 都为 1 ,没有 xy 的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.

【例 4】 圆(x+2)2+y2=5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为( A.(x-2) +y =5 C.(x+2) +(y+2) =5
2 2 2 2

)

(二)点与圆的位置关系
点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系: (1)若 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若 M(x0,y0)在圆上,则(x0-a) +(y0-b) =r . (3)若 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2
2 2 2

B.x +(y-2) =5 D.x2+(y+2)2=5

2

2

【变式 1】已知圆的方程为

? x ?1?? x ? 2? ? ? y ? 2?? y ? 4? ? 0 ,则圆心坐标为
2 2

(三)温馨提示
1

【变式 2】已知圆 C 与圆 ? x ? 1? ? y ? 1 关于直线

y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为

【变式 3】 平面直角坐标系中有 A? 0,1? , B ? 2,1? , C ?3,4? , D ? ?1,2? 四点,这四点能否在同一个圆
【变式 3】 若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方 程是( ) B.(x-2)2+(y-1)2=1 3?2 2 D.? ?x-2? +(y-1) =1

上?为什么?

7 y- ?2=1 A.(x-3)2+? ? 3? C.(x-1)2+(y-3)2=1 【变式 4】已知 ?ABC 的顶点坐标分别是 A

? ?1,5? , B ? 5,5? , C ? 6, ?2? ,求 ?ABC 外接圆的方程.

【 变 式 4 】 如 果 三 角 形 三 个 顶 点 分 别 是 O(0,0) , A(0,15) , B( - 8,0) , 则 它 的 内 切 圆 方 程 为 ________________.

方法总结: 1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于 a,b,r 的方程组. 2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形结合思想的 运用.

方法总结:
1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于 D,E,F 的方程组. 2.熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化

考点三、与圆有关的轨迹问题
【例 1】 动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的轨迹方程为( ) A.x2+y2=32 C.(x-1)2+y2=16 D.m>1 【例 2】 方程 ) D .x -y +3 =0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 B.x2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16 )

考点二、有关圆的一般方程的求法
【例 1】 若方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆,则 m 的取值范围是( 1 A . <m<1 4
2 2

1 B.m< 或 m>1 4

1 C.m< 4

【例 2】 将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0

y ? ? 25 ? x2 表示的曲线是(
B. 一个圆

) D. 半个圆

A. 一条射线

C. 两条射线

【例 3】 在 ?ABC 中,若点 B, C 的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线 AD 的长度是 3,则点 A 的轨

【例 3】 圆 x -2x+y -3=0 的圆心到直线 x+ 3y-3=0 的距离为________.

2

2

迹方程是( A.

) B. D.

x2 ? y 2 ? 3

x2 ? y 2 ? 4

【变式 1】 已知点 P 是圆 C : x ? y ? 4 x ? ay ? 5 ? 0 上任意一点,P 点关于直线 2 x ? y ? 1 ? 0
2 2

C.

x2 ? y 2 ? 9 ? y ? 0?

x2 ? y 2 ? 9 ? x ? 0?

的对称点也在圆 C 上,则实数 a =
1 【例 4】 已知一曲线是与两个定点 O(0,0),A(3,0)距离的比为 的点的轨迹.求这个曲线的方程,并画出 2

【变式 2】 已知一个圆经过点 A ? 3,1? 、 B ? ?1,3? ,且圆心在 3x ? y ? 2 ? 0 上,求圆的方程.

曲线.

2

【变式 1】 方程 A. 一个圆

x ? 1 ? 1 ? ? y ? 1? 所表示的曲线是(
2

) D. 两个半圆

【例 2】 已知 x,y 满足 x2+y2=1,则

y-2 的最小值为________. x-1

B. 两个圆

C. 一个半圆

【例 3】 已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点,则|MN|的 最小值是( ) B.1 C. 4 5 D. 13 5

【变式 2】 动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的轨迹方程为( A.x +y =32 C.(x-1)2+y2=16
2 2

)

B.x +y =16 D.x2+(y-1)2=16

2

2

A.

9 5

【变式 3】 如右图,过点 M(-6,0)作圆 C:x2+y2-6x-4y+9=0 的割线,交圆 C 于 A、B 两点,求线 段 AB 的中点 P 的轨迹.

【例 4】已知实数 x,y 满足(x-2)2+(y+1)2=1 则 2x-y 的最大值为________,最小值为________. 【变式 1】 P(x,y)在圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 上移动,则 x2+y2 的最小值为________. 【变式 2】 由直线 y=x+2 上的点 P 向圆 C:(x-4)2+(y+2)2=1 引切线 PT(T 为切点),当|PT|最小时, 点 P 的坐标是( A.(-1,1) ) B.(0,2) C.(-2,0) D.(1,3)

【变式 3】 已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的最小值是 【变式 4】 如图,已知点 A(-1,0)与点 B(1,0),C 是圆 x2+y2=1 上的动点,连接 BC 并延长至 D,使得 |CD|=|BC|,求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程. 【变式 4】已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求四边形 PAMB 面积的最小值. ________.

方法总结:求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:

方法总结:解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如 u= y-b 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题 x-a

(1)直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简.
(2)定义法:根据直线、圆等定义列方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.

(2) 形如 t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题.

考点四:与圆有关的最值问题
【例 1】 已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称,则 a-b 的取值范围是________
3

(4)一条直线与圆相离,在圆上找一点到直线的最大(小)值: d ? r (其中 d 为圆心到直线的 距离)


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