当前位置:首页 >> 数学 >> 北京市2014高考二轮总复习函数第1讲——函数及其表示

北京市2014高考二轮总复习函数第1讲——函数及其表示


§ 2.1
复习备考要这样做

函数及其表示

1.在研究函数问题时,要树立“定义域优先”的观点;2.掌握求函数解析式的基本方

法;3.结合分段函数深刻理解函数的概念.

1.函数的基本概念 (1)函数的定义: 设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的

任意一个数 x,在集合 B 中都 有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫作自变量,x 的取值范围 A 叫作函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值 叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (3)函数的三要素:定义域、对应关系和值域. (4)函数的表示法:表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法. 2.映射的概念: 设 A、B 是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集 合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 3. 函数解析式的求法:求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法. 4. 常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零. (3)一次函数、二次函数的定义域为 R.
?

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (4)y=ax (a>0 且 a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为 R.
?

π ? ? (5)y=tan x 的定义域为?x|x∈R且x≠kπ+2,k∈Z?.

(6)函数 f(x)=xa 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}.

(7)对数的真数大于 0,对数函数与指数函数的底大于 0 且不等于 1.

[难点正本 疑点清源] 1.函数的三要素:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的 定义 域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等. 2.函数与映射: (1)二者都是“一对一”或者“多对一” ,而且“原象”必须有“象” 。 (2)函数是特殊的映射, 其特殊性在于集合 A 与集合 B 只能是非空数集, 即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射. (3)映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不是函数. 3.函数的定义域: (1)解决函数问题,函数的定义域必须优先考虑; (2)求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x))的定义域; ②若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域.

1.设函数 f(x)=

4 ,若 f(a)=2,则实数 a=________. 1-x

2.(课本改编题)给出四个命题:①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)= x-2+ 2-x是函数;③函数 x2 y=2x (x∈N)的图像是一条直线; ④f(x)= 与 g(x)=x 是同一个函数. x 其中正确命题的序号有________.

3. 函数 y=f(x)的图像如图所 示,那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其中只与 x 的一个 值对应的 y 值的范围是________. 4.下列函数中,与函数 y= 1 A.y= sin x 1 3 x C.y=xex sin x D.y= x 定义域相同的函数为( )

ln x B.y= x

1,x>0, ? ? 5.(2012· 福建)设 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, A.1 B .0

?1,x为有理数, ? g(x)=? ?0,x为无理数, ?

则 f(g(π))的值为(

)

C.-1

D.π

答案 (1) -1 (2) ①② (3) [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] (4) D (5) B

题型一 例1

函数的概念 有以下判断:

?1 ?x≥0? ? |x| (1)f(x)= 与 g(x)=? 表示同一函数; x ? ?-1 ?x<0?

(2)函数 y=f(x)的图像与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数;

?1?? (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f? ?f?2??=0.

其中正确判断的序号是________.

探究提高 函数的三要素:定义域、值域、对应关系.这三要素不是独立的,值域可由定义域和对应关系 唯一确定;因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.即对应关系是否相同,不能只看 外形,要看本质;若是用解析式表示的,要看化简后的形式才能正确判断. 下列各组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=|x|,g(x)= x2 x2-1 C.f(x)= ,g(x)=x+1 x-1 答案 题型二 例2 (2)(3) A )

B.f(x)= x2,g(x)=( x)2 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1

求函数的解析式 2 ? (1)已知 f? ?x+1?=lg x,求 f(x);

(2)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的解析式; (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. 思维启迪:求函数的解析式,要在理解函数概念的基础上,寻求变量之间的关系.

答案

(1) f(x)=lg

2 2 1 (x>1).(2) f(x)=x2+2x+1.(3)f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3 x-1

探究提高 函数解析式的求法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x) 的解析式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 1? (4)消去法:已知关于 f(x)与 f? ? x?或 f(-x)或 f(1-x)的表达式, 可根据已知条件再构造出另外一个等式组 成方程组,通过解方程组求出 f(x). 给出下列两个条件: (1)f( x+1)=x+2 x; (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式.

答案 题型三 例3

(1) f(x)=x2-1 (x≥1).(2)f(x)=x2-x+3. 函数的定义域 (1)函数 y= 的定义域为______________. -x2-3x+4 ln?x+1?

f?2x? (2)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

)

答案

(1)(-1,1) (2)B

探究提高 (1)求函数的定义域, 其实 质就是以函数解析式所含运算有意义为准则, 列出不等式或不等式组, 然后求出它们的解集. (2)已知 f(x)的定义域是[a,b],求 f[g(x)]的定义域,是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围,而已知 f[g(x)] 的定义域是[a,b],指的是 x∈[a,b].

x-4 (1)若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是__________. mx +4mx+3

(2)已知 f(x)的定义域是[0,4],则 f(x+1)+f(x-1)的定义域是__________.

答案 题型四 例 4

3? (1)? ?0,4? 分段函数

(2) [1,3]

?log2?1-x?, ? ( 典题新编 ) 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ?f?x-1?-f?x-2?, ?

x≤0, x>0,

则 f(2 014)的值为

_________________________________. 思维启迪:注意到 2 014 较大,较难代入计算求出值,所以可通过 x 取较小数值探 究函数 f(x)值的规律性, 再求 f(2 014).也可以先用推理的方法得出 f(x)的规律性,再求 f(2 014). 答案 1 解析 方法一 由已知得 f(-1)=log22=1,f(0)=log21=0, f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1, f(3)=f(2)-f(1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=1, f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0, f(7)=f(6)-f(5)=-1,f(8)=f(7)-f(6)=-1,?, 所以 f(x)的值以 6 为周期重复出现, 因此,f(2 014)=f(4)=1. 探究提高 求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解,有时每段交替使 用求值.若给出函数值求自变量的值,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否 符合相应段的自变量的取值范围.
x ? ?2 ,x≤2, 1 ? 设函数 f(x)= 则满足 f(x)= 的 x 值为 ( 4 ?log81x,x>2, ?


方法二 ∵x>0 时,f(x)=f(x-1)-f(x-2), ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1). 两式相加得 f(x+1)=-f(x-2), ∴f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)的周期为 6. 因此,f(2 014)=f(6×335+4)=f(4)=1.

)

A.2 C.2 或 3

B .3 D.-2

答案 C

分段函数意义理解不清
?x2+bx+c?x≤0? ? 典例:设函数 f(x)=? ,若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,求关于 x 的方程 f(x)=x 的解. ?2 ?x>0? ?

易错分析 (1)条件中 f(-2),f(0),f(-1)所适合的解析式是 f(x)=x2+bx+c.所以可构建方程组求出 b, c 的值.(2)在方程 f(x)=x 中,f(x)用哪个解析式,要进行分类讨论,不能忽视自变量的限制条件. 规范解答 解 当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c,因为 f(-2)=f(0),
??-2?2-2b+c=c ?b=2, ? ? f(-1)=-3,∴? ,解得? [4 分] 2 ? ? ??-1? -b+c=-3 ?c=-2, ?x2+2x-2?x≤0?, ? ∴f(x)=? [6 分] ?2 ?x>0?. ?

当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+2x-2=x, 得 x=-2 或 x=1.由 x=1>0,所以舍去.[8 分] 当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2,[10 分] 所以方程 f(x)=x 的解为-2、2.[12 分] 温馨提醒 (1)分段函数问题是高考的热点.在解决分段函数问题时,要注意自变量的限制条件. (2)就本题而言,当 x≤0 时,由 f(x)=x 得出两个 x 值,但其中的 x=1 不符合要求,应舍去此值,勿导 致增解.分段函数问题分段求解,但一定注意各段的限制条件.

方法与技巧 1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同. 2.定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行. 3.函数的解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、消去法. 4.分段函数问题要分段求解. 失误与防范 求分段函数应注意的问题: 在求分段函数的值 f(x0)时,一定要首先判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分 段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 1.(2012· 山东)函数 f(x)= + 4-x2的定义域为 ln?x+1? A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2] 答案 B x+1>0, ? ? 解析 由?ln?x+1?≠0, ? ?4-x2≥0 B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2] ( )

得-1<x≤2,且 x≠0.

x +1,x≤1, ? ? 2. (2012· 江西)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))等于 ?x,x>1, ? 1 A. 5 答案 D 2? ?2?2 2 13 解析 由题意知 f(3)= ,f? = +1= , 3 ?3? ?3? 9 2? 13 ∴f(f(3))=f? ?3?= 9 . 3.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于 A.-2x+1 C.2x-3 答案 D 解析 由 g(x)=2x+3, 知 f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7. B.2x-1 D.2x+7 B .3 2 C. 3 13 D. 9

2

(

)

(

)

4.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图像可能是 ( )

答案 B 解析 可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答 案. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.已知 f(x)=x2+px+q 满足 f(1)=f(2)=0,则 f(-1)=________. 答案 6 解析
2 ? ?1 +p+q=0 由 f(1)=f(2)=0,得? 2 , ?2 +2p+q=0 ?

? ?p=-3 ∴? ,∴f(x)=x2-3x+2. ?q=2 ?

∴f(-1)=(-1)2+3+2=6.
2 ?1-x?=1-x ,则 f(x)的解析式为____________. 6.已知 f? ? ?1+x? 1+x2

2x 答案 f(x)= 1+x2

?1-t?2 ? 1-x 1-t ?1+t? 2t 2x 解析 令 t= ,由此得 x= ,所以 f(t)= = . 2,从而 f(x)的解析式为 f(x)= 1+x 1+t 1 - t 1 + t 1 + x2 ? ?2 1+? ? ?1+t?
1-? 7.若函数 f(x)= 2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________. 答案 [-1,0] 解析 由题意知 2x2+2ax-a-1≥0 恒成立. ∴x2+2ax-a≥0 恒成立, ∴Δ=4a2+4a≤0,∴-1≤a≤0. 三、解答题(共 22 分) 8.(10 分)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1.求函数 f(x)的解析式. 解 设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),又 f(0)=0, ∴c=0,即 f(x)=ax2+bx. 又 f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1.[来源:学+科+网 Z+X+X+K] ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,
? ?2a+b=b+1 ∴? ,解得 ? ?a+b=1

?a=2 ? 1 ?b=2

1 1 1 .∴f(x)= x2+ x. 2 2

9.(12 分)记 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= (1)集合 M、N;(2)集合 M∩N,M∪N. 解 3? ? (1)M={x|2x-3>0}=?x|x>2?,
? ? ? ?

2 1- 的定义域为集合 N,求: x-1

2 ? ? N=?x|1-x-1≥0?={x|x≥3 或 x<1}; 3 (2)M∩N={x|x ≥3},M∪N={x|x<1 或 x> }. 2 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.设 f(x)=lg 2+x x? ?2? ,则 f? 2 ? ?+f?x?的定义域为 2-x B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-4,-2)∪(2,4) ( )

A.(-4,0)∪(0,4) C.(-2,-1)∪(1,2) 答案 B 2+x 解析 ∵ >0,∴-2<x<2. 2-x x 2 ∴-2< <2 且-2< <2, 2 x 2 取 x=1,则 =2 不合题意(舍去), x

故排除 A,取 x=2,满足题意,排除 C、D,故选 B.
x ? ?2 ,x>0, 2.(2011· 福建)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ?x+1,x≤0, ?

)

A.-3 答案 A

B.-1

C.1

D.3

解析 由题意知 f(1)=21=2.∵f(a)+f(1)=0, ∴f(a)+2=0. ①当 a>0 时,f(a)=2a,2a+2=0 无解; ②当 a≤0 时,f(a)=a+1,∴a+1+2=0,∴a=-3.
2 ? ?x ,|x|≥1, ? 3. 设 f(x)= g(x)是二次函数,若 f(g(x))的值域是[0,+∞),则 g(x)的值域是( ?x,|x|<1, ?

)

A.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.[0,+∞)

B.(-∞,-1]∪[0,+∞) D.[1,+∞)

答案 C 解析 f(x)的图像如图.

g(x)是二次函数,且 f(g(x))的值域是[0,+∞),∴g(x)的值域是 [0,+∞). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.(2012· 江苏)函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________. 答案 (0, 6] 解析 要使函数 f(x)= 1-2log6x有意义,
?x>0, ? 则? ? ?1-2log6x≥0.

解得 0<x≤ 6. ?a≤b? ?a>b?

?a ? 5.对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b=? ?b ?

1 ,则函数 f(x)=log (3x-2)*log2x 的值域 2

为________. 答案 (-∞,0] 解析 f(x)=log2 1
2

1 *log2x 3x-2

?log 3x-2 ?x≥1? =? 2 ?log x ?3<x<1?
2

.

1 ∴当 x≥1 时, ≤1,f(x)≤0; 3x-2 2 2 当 <x<1 时,log2 <f(x)<0. 3 3 ∴f(x)的值域为(-∞,0].
?2x+a,x<1, ? 6.(2011· 江苏)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为______. ? ?-x-2a,x≥1.

3 答案 - 4 解析 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 所以 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 因为 f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2, 3 所以 a=- . 4 当 a>0 时,1-a<1,1+a>1,

所以 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 因为 f(1-a)=f(1+a), 3 所以 2-a=-3a-1,所以 a=- (舍去). 2 3 综上,满足条件的 a 的值为- . 4 三、解答题
? ?x-1,x>0 7.(13 分)已知 f(x)=x2-1,g(x)=? . ?2-x,x<0 ?

(1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式. 解 (1)∵g(2)=1,∴f(g(2))=f(1)=0,

∵f(2)=3,∴g(f(2))=g(3)=2. (2)f(g(x))=(g(x))2-1
2 ? ??x-1? -1, ? = 2 ??2-x? -1, ?

x>0 x<0

.

?x2-2x,x>0 ? ∴f(g(x))=? 2 . ? ?x -4x+3,x<0 ? ?f?x?-1,f?x?>0 g(f(x))=? . ?2-f?x?,f?x?<0 ?
2 2 ? ??x -1?-1,x -1>0 ? = . 2 2 ?2-?x -1?,x -1<0 ?

?x2-2,x>1或x<-1 ? ∴g(f(x))=? 2 ? ?3-x ,-1<x<1.


更多相关文档:

北京市2014高考二轮总复习函数第5讲导数及其应用

北京市2014高考二轮总复习函数第5讲导数及其应用 第5讲 导数及其应用 【高考考情解读】 1.本讲主要考查导数几何意义, 导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性...

2014高考总复习(理数)-题库:2.1 函数及其表示

2014高考总复习(理数)-题库:2.1 函数及其表示_数学_高中教育_教育专区。2.1 函数及其表示 、选择题 1.下列各组函数中表示相同函数的是( 5 A.y= x5与...

...一轮复习限时规范训练 第二篇 第1讲 函数及其表示

2014高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练 第二篇 第1讲 函数及其表示第二篇函数与基本初等函数 I 第1讲 函数及其表示 A级 基础演练(时间:30 分钟 ...

【高考精品复习】第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第1讲 函数及其表示

第1讲高考会这样考】 函数及其表示 1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法. 2.考查分段函数的简单应用. 3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与...

2010~2014年高考真题第2章 第1节 函数及其表示 (4)

2010~2014高考真题第2章 第1函数及其表示 (4)_高考_高中教育_教育专区...答案:D 2.(2013 北京,5 分)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得...

...Word版含答案 第二篇 第1讲 函数及其表示]

【配套】2014届《创新设计·高考总复习》限时训练 北师大版(理) Word版含答案 第二篇 第1讲 函数及其表示]第二篇函数与基本初等函数 I 第1讲 函数及其表示 ...

2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析:2.1函数及其...

2014高考一轮复习热点难点精讲精析 : 2.1 函数及其表示一、求函数的定义域、值域 1、确定函数的定义域的原则 (1)当函数 y=f(x)用列表法给出时,函数...

2014《步步高》高考数学第一轮复习02_函数及其表示

2014《步步高》高考数学第一轮复习02_函数及其表示_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§ 2.1 2014 高考会这样考 函数及其表示 1.考查函数的定义域、值域、解析...

...届高考数学一轮复习 第二章函数2.1函数及其表示教学...

【志鸿优化设计】(山东专用)2014高考数学一轮复习 第二章函数2.1函数及其表示教学案 理 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数 2.1 函数及其表示...

...第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示

(全国通用)2014高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示_高考_高中教育_教育专区。第二章 函数与导数第 1 课时 函数及其表示...
更多相关标签:
相关文档

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com